精品解析：江苏南京市中华中学高二5月月考数学试卷

中华中学2024级高二年级5月 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式后由交集的概念求解 【详解】由解得，故，所以． 故选：C 2. 某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，， 则. 3. 已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表： 且回归直线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知取值为，共个样本，则， 因为线性回归直线一定过样本中心点， 将代入回归直线方程，得：， ，整理得：. 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断. 【详解】当，时，，但是，故； 当，时，，但是，故； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】由题意得，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 6. 已知函数，定义域为．则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 7. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为18 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，为正实数，且， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 则，即， 解得，即，故当时，取最大值4，所以A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值18，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时取等号， 可得，即， 解得，即当时，取最小值4，所以C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以D错误． 故选：ABC． 10. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可. 【详解】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 11. 已知函数的图象与轴交于两点．则（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意知有两个不相等的实数根，利用根的判别式可判断A；由结合韦达定理求出的值；将变形利用韦达定理计算可判断C；求得，，用换元法求得的范围可判断D. 【详解】由题意知有两个不相等的实数根， 对于A，由题意，，解得，故A正确； 对于B，根据韦达定理，得，，解得，故B正确； 对于C，当时，， ，故C不正确； 对于D，因为所以， 令，所以， 当时等号成立，所以，故D成立. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分组分配求得总的总的情况数，以及分类加法原理求得符合题意的情况数，根据古典概型的概率计算，可得答案. 【详解】依题意，甲，乙，丙，丁四位教师报名三个地区所有的方法数共有种， 甲、乙两人报同一地区的方法数共有， 甲、乙两人不能报同一地区的方法数共有， 甲和乙恰好有一人报地区有如下情况： ①地区只有1人报名，则有种情况； ②地区有2人报名，则有种情况， 所以共有20种情况，所以. 故答案为：. 14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求得零点，根据亲密函数的定义，构造新函数，问题转化为求函数在上的值域，然后求导求出最值即可得到结果. 【详解】函数的导函数为， 故单调递增，其唯一零点为. 根据亲密函数的定义，存在的零点满足，即. 的零点满足.令，则，且. 问题转化为求函数在上的值域. ，可知在上单调递增，在上单调递减. 所以，. 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求的最小值； （3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值； （3）依题意可得对于恒成立，则，解得即可. 【小问1详解】 不等式化简得：， ①当时，解得，即不等式的解集为， ②当时，解得或，即不等式的解集为， ③当时，解得或，即不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 【小问2详解】 函数的对称轴为， ①当，即时，在上为增函数， 所以； ②当，即时，在上为减函数， 所以； ③当，即时，． 综上所述，的最小值为. 【小问3详解】 依题意可得对于恒成立， 所以且， 即，解得或， 即的取值范围为． 16. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Body Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是，中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值． （1）根据调查结果制作下面的列联表，并判断能否有的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关? 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 总计 100 参考公式：，其中． 参考数据： P（） 0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 1.323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据可完善列联表； （2）由已知得出“经常运动且不肥胖”的频率，“不经常运动且不肥胖”的频率，X可能的取值为0，1，2，3，4．求得随机变量取每一个值的概率，可得分布列及期望. 【详解】【解】（1）填表如下： 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 20 40 60 不经常运动员工 24 16 40 总计 44 56 100 所以， 因为，所以有的把握认为肥胖与不经常运动有关． （2）“经常运动且不肥胖”的频率为，“经常运动且肥胖”的频率为．“不经常运动且不肥胖”的频率为，“不经常运动且肥胖”的频率为． 现随机抽取的4人中，4人中肥胖的人数X可能的取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望． 【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 1.首先确定随机变量的所有可能取值； 2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确； 3.进行列表，画出分布列的表格； 4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 17. 在二项式的展开式中， （1）若，求展开式中的有理项； （2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. （3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出通项公式，让的指数为整数，可得有理项； （2）先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出，然后利用赋值法可得答案. （3）利用二项式系数的性质及系数的最大项求出，再列不等式求出即可. 【小问1详解】 的通项公式. 令，解得，对应有理项为，，.​ 【小问2详解】 的通项公式. 第4项系数为，第6项系数为. 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）. 令，则各项系数和为. 【小问3详解】 只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故 . 设第项系数绝对值最大，则， 解得，即或. 当，系数绝对值最大的项； 当，系数绝对值最大的项. 18. 如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. （1）若，证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而证明，得到四边形是矩形，进而可证明； （2）法一：设，建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标，分别求平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式建立关于的方程，解方程求，进而得的值；法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线. 作平面于点，作于点，确定为平面与平面所成锐二面角的平面角.进而可求解. 【小问1详解】 法一：如图，连接， 因为，，点为的中点，所以，， 因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 易知，所以， 所以四边形是矩形. 因为，， 所以，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 法一：设，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 故，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面所成的二面角为， 因为，所以， 则，得， 所以. 法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线. 由（1）知平面，因为平面，所以平面平面. 作平面于点，则在上，，作于点， 连接，又平面，所以平面，又因为平面，所以， 则为平面与平面所成锐二面角的平面角. 设，则，，点到的距离为，则. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为， 所以，则， 即，得， 故. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，按分情况讨论，利用导数分析函数单调性； （2）根据的单调性，结合已知条件转化不等式为，进而求出实数的取值范围； （3）转化不等式为，分离参数得，构造函数，把问题转化为求最小值的问题，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 已知，由（1）知，在上单调递增， 不妨设，则等价于， 整理得， 则在单调递减，即在上恒成立； 求导得，即对任意恒成立， 在上单调递减，最大值为1， ，解得， 综上，． 【小问3详解】 不等式整理得， 分离参数得：， 令，则， 令，求导得，令，解得， 当且仅当时等号成立，故在上单调递增， 则，即，则， 移项得， ，当且仅当时等号成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 是极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，故，结合在上单调递减， ，由零点存在定理，内有一个零点， 故， 综上可知，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2024级高二年级5月 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知具有线性相关两个变量，之间的一组数据如表： 且回归直线方程是，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，定义域为．则的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为18 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 如图，点，分别是棱长为2正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ） A. B. C. D. 向量在方向上的投影向量为 11. 已知函数的图象与轴交于两点．则（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为__________. 14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求的最小值； （3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 16. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Body Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是，中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值． （1）根据调查结果制作下面的列联表，并判断能否有的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关? 肥胖 不肥胖 总计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 总计 100 参考公式：，其中． 参考数据： P（） 0.25 0.10 0.050 0.010 0.005 0.001 1323 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 在二项式的展开式中， （1）若，求展开式中的有理项； （2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. （3）若展开式中只有第5项二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 18. 如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. （1）若，证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $