湖南省怀化市芷江县2025-2026学年七年级下学期数学期末测试练习卷

**基本信息** 以剪纸艺术、低碳出行等文化与现实情境为载体，通过原创题和新定义题型，考查七年级下册数学核心知识，融合抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形（剪纸艺术）、统计调查（学生年龄）、无理数估算|结合文化传承与现实问题，基础巩固| |填空题|8/24|多项式乘法（卡片拼图）、图形翻折、扇形统计图|注重几何直观与空间观念，能力提升| |解答题|8/66|折纸探究（两次折叠角关系）、利润问题（菠萝苹果销售）、新定义“偏解方程”、平行线综合|分层设计，创新应用，体现推理意识与模型意识|

湖南省怀化市芷江县七年级下册数学 期末测试卷原卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（原创）为了解参加全校的800名学生的年龄情况，从中抽查了80名学生的年龄．下列说法中正确的是（   ） A．本次调查采用的是普查 B．800名学生是总体 C．每个学生是个体 D．80名学生的年龄是总体的一个样本 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4．关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（原创）若，1，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．有两类正方形、，其边长分别为、（ ），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 7．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 10．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．（原创）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    12．如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是 ． 13．已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 14．介于与之间的整数是 ． 15．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 16．如图，在中，，， ．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 17．某公司对员工上班通行方式做了统计，并制作了如图所示的扇形统计图，“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为 ． 18．有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）计算或求的值： (1)； (2)． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 22．（8分）2024年10月教育部办公厅下发了《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》（教语用厅[2024]1号），某校为落实这一通知，组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： (1)条形统计图中_______________． (2)扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为______________度． (3)若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 23．（9分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 24．（9分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 25．（10分）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 26．（10分）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省怀化市芷江县七年级下册数学 期末测试卷解析卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．剪纸艺术，作为我国最古老的民间手工技艺之一，承载着千年农耕文明的智慧与美学．下列剪纸图案中，轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2．（原创）为了解参加全校的800名学生的年龄情况，从中抽查了80名学生的年龄．下列说法中正确的是（   ） A．本次调查采用的是普查 B．800名学生是总体 C．每个学生是个体 D．80名学生的年龄是总体的一个样本 【答案】D 【分析】本题主要考查了样本、总体、个体、调查方式，关键是掌握样本、总体、个体的定义．进行分析即可．总体：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．据此进行解答即可． 【详解】解：A选项：为了解参加全校的800名学生的年龄情况，从中抽查了80名学生的年龄， 本次调查采用的是抽样调查，故A选项不符合题意； B选项：参加运动会的800名学生的年龄情况是总体，故B选项不符合题意； C选项：每个学生的年龄情况是个体，故C选项不符合题意； D选项：80名学生的年龄是总体的一个样本，故D选项正确． 故选：D． 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即估计的值在5和6之间． 故选：D． 4．关于x的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法，先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： 故选：C． 5．（原创）若，1，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用作差法，将计算的结果进行因式分解，即可解答，熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 6．有两类正方形、，其边长分别为、（ ），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为， ， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 7．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 8．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ， ， ， ∴； 故选：C． 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（） A．比大 B． C．与互为余角 D．等于 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，余角和补角等知识，根据垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，通过推理计算得出有关角的度数，逐个进行判断即可，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为余角，故选项不符合题意； D、由B得，故选项符合题意； 故选：D． 10．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．（原创）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    【答案】7 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 12．如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，求出，得到，由对顶角的在得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 14．介于与之间的整数是 ． 【答案】和 【分析】本题考查无理数的估算，先估算和，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴介于与之间的整数是和， 故答案为：和． 15．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式． 先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】 沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 16．如图，在中，，， ．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，根据题意得出是等腰直角三角形，进而得出面积的为，根据垂线段最短，结合已知可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵将、分别沿、翻折至、， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴面积的为 ∴当面积的最小时,最小， ∵在中，，， ． ∴当最小时，，此时 ∴面积的最小值为 故答案为：． 17．某公司对员工上班通行方式做了统计，并制作了如图所示的扇形统计图，“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为 ． 【答案】/162度 【分析】本题主要考查了求扇形统计图中圆心角度数，用360度乘以“驾车”的百分比即可得到答案． 【详解】解：， ∴“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为， 故答案为：． 18．有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ． 【答案】2或/6或2 【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可． 【详解】解：，细线剪开后分成三段， ， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）计算或求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握平方根、立方根的意义是解答本题的关键． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：，   ， ， ， ； （2）解：原式 ． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 代入 和 得 原式 21．（8分）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，点，在边上，连接，，，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用平行线的判定及性质即可求证结论； （2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 22．（8分）2024年10月教育部办公厅下发了《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》（教语用厅[2024]1号），某校为落实这一通知，组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： (1)条形统计图中_______________． (2)扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为______________度． (3)若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)20 (2)24 (3)估计该校成绩优秀的学生有48人 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用良好的人数除以所占的比例求出总人数，再利用总人数减去其他的人数求出的值即可； （2）用360度乘以不及格人数所占的比例，计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）； ； 故答案为：20； （2）； 故答案为：24； （3）（人）； 答：估计该校成绩优秀的学生有48人． 23．（9分）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键． （1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解； ②结合①的计算得到，，则，有即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴； ②根据上述过程可得，， ， ∵， ∴， 解得，， ∴． 24．（9分）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/） 4 5 6 40 零售价格（元/） 5 6 8 50 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为500元 (2)该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设第一天，该经营户批发菠萝，苹果，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发菠萝，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； （2）解：设购进菠萝，则购进苹果， 根据题意：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取94， ∴该经营户第二天有1种批发水果的方案，即购进菠萝，苹果． 25．（10分）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 26．（10分）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版数学七年级下册数学期末测试卷题型细目明细表 题号 考点领域 具体知识点与题目简述 分值 难度系数 考查核心素养 1 几何 轴对称图形：识别剪纸图案中的轴对称图形 3 0.9 直观想象 2 统计 统计概念：区分总体、个体、样本 3 0.9 数据分析 3 代数 实数估算：估算的大小范围 3 0.9 数感 4 代数 不等式表示：在数轴上表示不等式组的解集 3 0.9 数形结合 5 代数 代数式比较：利用配方法或作差法比较M与N 的大小 3 0.7 运算能力 6 几何 几何拼图与面积：利用正方形拼接阴影部分面积求值 3 0.5 几何直观、运算 7 代数 完全平方公式：已知(a+b)2和 ab 求 a2+b2 3 0.7 运算能力 8 几何 平行线性质：结合单车车架示意图求角度 3 0.7 模型思想 9 几何 相交线与垂线：角度计算与比较（余角、角平分线） 3 0.5 逻辑推理 10 代数 新定义（对数）：理解对数定义并判断运算性质正误 3 0.5 学习能力、推理 11 代数/几何 整式乘法几何背景：利用卡片拼长方形求所需卡片数量 3 0.7 几何直观 12 几何 三角板与平行线：直尺与三角板角度计算 3 0.7 推理能力 13 代数 不等式组参数：根据解集包含关系求参数a 的范围 3 0.5 逻辑推理、分类 14 代数 无理数范围：寻找介于-与-之间的整数 3 0.9 数感 15 几何 翻折（轴对称）：三角形连续翻折后利用平行线求角度 3 0.5 空间观念 16 几何 翻折与最值：动点翻折后求三角形面积的最小值 3 0.3 动态几何、最值 17 统计 扇形统计图：计算“驾车”方式对应的圆心角度数 3 0.7 数据分析 18 代数/几何 数轴与折叠：细线折叠剪断问题，结合比例求长度 3 0.3 抽象能力、逻辑 19(1) 代数 立方根方程：解方程 8(x3+1)+56=0 3 0.9 运算能力 19(2) 代数 实数综合运算：含绝对值、平方根、立方根的混合运算 3 0.9 运算能力 20 代数 整式化简求值：整式乘法化简并代入数值计算 6 0.9 运算能力 21 几何 平行线判定与性质：证明平行线，角平分线性质应用 8 0.7 逻辑推理 22 统计 统计图表分析：结合条形与扇形图补全数据，估计总体 8 0.7 数据分析观念 23 几何 折纸（矩形折叠）：折叠角与平行线角度计算，探究角的关系 9 0.5 空间想象、探究 24 代数 方程组应用题：二元一次方程组解决利润问题及方案选择 9 0.5 模型思想、应用 25 代数 新定义（偏解方程）：理解“偏解”概念，探究方程与不等式关系 10 0.3 学习迁移、逻辑 26 几何 平行线探究题：探究“M型”角度关系，含动点与角平分线 10 0.3 辅助线、分类讨论 学科网（北京）股份有限公司 $