专题03：三角形（导学案）新四年级数学暑假自习课（冀教版·新教材）

四年级数学上册暑假自习课（冀教版·新教材） 专题03：三角形 知识点精讲 知识点01：三角形的特征 内容 定义 由三条线段围成的封闭图形，叫作三角形，可以用△符号来表示。 特征 三角形具有稳定性。 【典型例题1】 由三条( )围成的图形叫做三角形。一个三角形有( )条边，( )个角，( )个顶点。三角形具有( )性。 【典型例题2】 如图三脚架是运用了三角形具有( )的特点。 【变式训练1】 下面图形中哪些是三角形，哪些不是（是的打“√”，不是的打“×”）。 ( )      ( )     ( )     ( )      ( )     ( )     ( ) 【变式训练2】 小猴子这样搭篱笆，是利用了三角形具有( )。 知识点02：三角形的分类 内容 分类 1. 按角的特征，可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形； 2. 按边的特征，可以分为等腰三角形和等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形的其它特征 1. 三角形的任意两边之和大于第三边； 2. 三角形的内角和为180°。 【典型例题1】 一个三角形最大的内角是，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【典型例题2】 钢城区某生态园要用护栏围一片三角形花圃。现有三组不同长度的护栏（单位：米），其中肯定能围成三角形的是（    ）。 A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，8 【变式训练1】 一个等腰三角形的一个底角是55°，这是一个（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【变式训练2】 在一个三角形中，其中一个角是75°，另外两个角可能是（    ）。 A．70°；35° B．73°；42° C．60°；65° 课后强化 一、选择题 1．下面关于下图三角形的描述中，正确的说法是（    ）。 A．这是一个等腰三角形，有2条对称轴。 B．这个三角形中有两条长度相等的直线，都是7厘米。 C．把这个三角形对折是可以折出直角三角形的。 D．这个三角形也可以叫做等边三角形。 2．学校数学节纸桥承重比赛中，滨滨制作的纸桥放上重物后总是摇摆晃动，按下面选项（    ）的方法进行加固比较合理。 A． B． C． D． 3．下列关系不可能存在的是（    ）。 A． B． C． D． 4．把一根长16厘米的吸管剪成三段，围成一个等腰三角形，下面（    ）可以围成。 A．12厘米、2厘米、2厘米 B．8厘米、4厘米、4厘米 C．3厘米、3厘米、10厘米 D．5厘米、5厘米、6厘米 5．在一个三角形中，有一个角是65°，另外两个角可能是（    ）。 A．60°和50° B．65°和50° C．65°和55° D．75°和45° 二、填空题 6．写出下面三角形各部分的名称。 7．下图有( )个三角形。 8．等腰三角形的一个角是，另外两个角可能是( )或( )。 9．分一分，选一选。 10．如图是乐乐家的太阳能热水器，其中的一段支架损坏，需要更换，则更换的支架长度要大于( )米，小于( )米。 三、解答题 11．如图。 我的方法： 利用的原理： 12．一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是多少度？原来这块纸片的形状是什么三角形，也是什么三角形？ 13．王芳用一根铁丝围成一个边长是15厘米的等边三角形，如果用这根铁丝围成一个底边为17厘米的等腰三角形，它的一个腰长多少厘米？ 14．在一个直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的4倍。这两个锐角分别是多少度？ 15．广东清远英德享有“中国红茶之乡”的美誉。英德的一家茶场想开辟最新的旅游观光茶园，设计的部分位置观光路线图如下。 （1）通过观察上图，完成下表。 路线 方向 路程 自制茶叶区—茶叶售卖区 茶叶售卖区—茶艺表演区 茶艺表演区—自制茶叶区 （2）茶园的观光车集合点距离自制茶叶区2千米，观光车每时行20千米，从观光车集合点出发到自制茶叶区，再按照图片上的路线逆时针绕行观光一圈，需要多少分钟？ 参考答案 知识点01 【典型例题1】 线段 三 三 三 稳定 【详解】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形，任意一个三角形都有三条边，三个角；三个顶点，三角形具有稳定性。 【典型例题2】 稳定性 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；据此解答。 【详解】三脚架的底部支架构成了三角形，从而使三脚架稳定不倾倒，所以三脚架是运用了三角形具有稳定性的特点。 【变式训练1】 √ × × × × × √ 【分析】由三条线段围成的图形叫做三角形，三角形有3条边，有3个角，据此解答。 【详解】 （   √   ）             （   ×   ）              （   ×   ）     （   ×   ）         （   ×   ）        （   ×   ）        （    √  ） 【点睛】本题考查三角形的认识，属于基础题，需熟练掌握。 【变式训练2】 稳定性 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，据此填空即可。 【详解】小猴子这样搭篱笆，是利用了三角形具有稳定性。 知识点02 【典型例题1】 A 【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。据此选择。 【详解】88°的角是锐角，一个三角形最大的内角是88°，那么它的三个角都只能是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A 【典型例题2】 B 【分析】判断三条线段能否围成三角形，要依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边（简便判断：较短两边之和＞最长边）。 【详解】A．较短两边和：1＋2＝3，不满足“大于第三边”，不能围成三角形。 B．较短两边和：2＋3＝5，5＞4，满足三边关系，可以围成三角形。 C．较短两边和：3＋4＝7，7＜8，不满足“大于第三边”，不能围成三角形。 即肯定能围成三角形的是2，3，4。 【变式训练1】 A 【分析】等腰三角形的2个底角相等，内角和是180°，据此计算第三个角的大小，再判断角的类型即可。 【详解】180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 此三角形的三个角都小于90°，所以这是一个锐角三角形。 故答案为：A 【变式训练2】 A 【分析】根据三角形内角和等于180°，只要选项中的两个角的度数的和加上题干中已知角的度数75°，等于180°，即可成立。 【详解】A．75°＋70°＋35°＝180°，可能； B．75°＋73°＋42°＝190°，不可能； C．75°＋60°＋65°＝200°，不可能。 课后强化 1．C 【分析】等腰三角形：有两条边相等的三角形；一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴； 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；直线没有端点，是可以无限延伸的； 直角三角形：有一个角是直角的三角形； 等边三角形：三条边都相等的三角形；逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A．如图： 7＝7，有两条边相等，为等腰三角形，只有1条对称轴，原题说法错误； B．这个三角形中有两条长度相等的线段，都是7厘米，而不是直线，原题说法错误； C．如图： 沿着直线对折，可以折出一个角是直角的三角形，也就是可以折出直角三角形，原题说法正确； D．7＝7，7＞5，那么这个三角形的三条边不相等，不是等边三角形，原题说法错误。 故答案为：C 2．C 【分析】根据三角形的特性，三角形结构具有不易变形的特性。四边形具有不稳定性。据此分析各选项，进而确定符合题意答案。 【详解】A．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 B．加固结构为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 C．加固结构形成了三角形，能有效增强纸桥的稳固性，减少摇晃。 D．加固结构均为四边形，四边形具有不稳定性，无法有效解决纸桥的摇晃问题。 所以用选项C的方法进行加固比较合理。 故答案为：C 3．C 【分析】按角分：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。 按边分：三条边都不相等的三角形是一般三角形；有两条边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形的两个底角相等；三条边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的3个内角都是60°。 按三角形的分类及各种图形之间的关系，结合题意分析解答即可。 【详解】A．直角三角形和等腰三角形有等腰直角三角形这个关系，存在； B．等边三角形一定是锐角三角形，存在； C．钝角三角形和等边三角形没有关系；不存在 D．等腰直角三角形一定是等腰三角形，正确；存在。 故答案为：C 4．D 【分析】围成等腰三角形，首先需要满足三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。其次等腰三角形的两条腰相等。据此解答。 【详解】A．2＋2＝4＜12，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形。 B．4＋4＝8，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形。 C．3＋3＝6＜10，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形。 D．5＋5＝10＞6，6－5＝1＜5，满足三角形三边关系，且有两条边相等，故可以围成一个等腰三角形。 5．B 【分析】根据三角形的内角和是180°，已知其中一个角是65°，用 180°减去 65°求出另外两个角的度数之和。再分别计算各选项中两个角的度数之和，与求出的结果进行比较，据此即可解答。 【详解】三角形的内角和是 180°。另外两个角的度数之和应该是：； A．，110°不等于 115°，此选项错误； B．，115°等于 115°，此选项正确； C．，120°不等于115°，此选项错误； D．，120°不等于 115°，此选项错误。 另外两个角可能是65°和50°。 6．见详解 【分析】三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。三角形有3条边和3个角。据此解答。 【详解】 7．16 【分析】先数单独的三角形，再数由两个小三角形组成的三角形，再数由三个小三角形组成的三角形，再数由四个小三角形组成的三角形，即单独的三角形有7个，由两个小三角形组成的三角形有5个，三个小三角形组成的三角形有3个，由四个小三角形组成的三角形有1个，据此解答即可。 【详解】据分析可得，7＋5＋3＋1＝16（个），所以图中一共16个三角形。 8． 70°和40° 55°和55° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，如果这个内角是底角，另一个底角是70°，根据三角形的内角和是180°可知，顶角是180°－70°－70°；如果这个角是顶角，每个底角是（180°－70°）÷2。 【详解】180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 等腰三角形的一个角是70°，另外两个内角可能是70°和40°，或者55°和55°。 9．①④⑦⑨；②⑤⑩；③⑥⑧ 【分析】钝角三角形定义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；锐角三角形定义：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；直角三角形定义：有一个直角的三角形是直角三角形。据此解答。 【详解】根据分析： 10． 0.5 2.9 【分析】在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三边的长度范围即可解题。 【详解】1.7＋1.2＝2.9（米） 1.7－1.2＝0.5（米） 2.9米＞第三边＞0.5米 则更换的支架长度要大于0.5米，小于2.9米。 11．见详解 【分析】利用三角形的稳定性来加固支架。在架子上添加斜杆，将其分割成三角形，因为三角形具有稳定性，这样就可以加固了。 【详解】我的方法：在架子的支架与横杆之间斜着加一根木棍，形成三角形结构。 利用的原理：三角形具有稳定性（三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，能有效防止架子变形、晃动）。 12．67°；锐角三角形；等腰三角形 【分析】根据三角形内角和为180度，用180度依次减去46度和67度，算出第三个角是67度，再根据三角形按角分：锐角三角形三个角都是锐角的三角形；直角三角形有一个角是直角；钝角三角形有一个角是钝角。判断属于锐角的三角形。根据三角形边的特征分类：有两边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形，据此判断是等腰三角形。 【详解】180－46－67＝134－67＝67（度） 三个角67度，67度，46度都小于90度，则这个三角形是锐角三角形，且有两个角相等，也是等腰三角形。 答：这个角是67度，是锐角三角形，也是等腰三角形。 13．14厘米 【分析】因为用一根铁丝围成一个边长是15厘米的等边三角形，所以先用15乘3，求出等边三角形的周长即这根铁丝的长；再用铁丝的长减17厘米，求出两条腰的长度和；最后用两条腰的长度和除以2，即可求出一个腰长多少厘米。 【详解】15×3＝45（厘米） 45－17＝28（厘米） 28÷2＝14（厘米） 答：它的一个腰长14厘米。 【点睛】本题考查了三角形的周长的应用，要注意等腰三角形和等边三角形的特点是解题的关键。 14．18°；72° 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，直角三角形里面有一个角是90°。另外两个锐角的和是180°－90°＝90°。把较小的锐角的度数看作1份，那么较大的锐角就是这样的4份，两个锐角的度数和是5份。用90°除以5就是较小的锐角的度数。算出结果乘4就是较大的锐角的度数。 【详解】180°－90°＝90° 90°÷（4＋1） ＝90°÷5 ＝18° 18°×4＝72° 答：这两个锐角分别是18°和72°。 15．（1）见详解 （2）42分钟 【分析】（1）①首先确定两地之间的实际距离：根据描述知道图上距离1厘米表示实际距离2千米，测量两地之间的图上距离是几厘米，然后再乘2，结果是几就是几千米； ②确定方向：根据地图上两地之间方向具有相对性，即东对西，南对北，东南对西北，东北对西南；可知自制茶叶区在茶叶售卖区的北偏东35°方向上，则茶叶售卖区在自制茶叶区的南偏西35°方向，即从自制茶叶区到茶叶售卖区的方向是南偏西35°；如图：∠1和53°角是一个直角三角形中的两个锐角，即它们的和是90°，所以∠1＝90°－53°＝37°，而∠1、∠2和35°角组成一个直角即90°，所以∠2＝90°－35°－∠1＝18°，因此茶艺表演区在茶叶售卖区的东偏北18°，即从茶叶售卖区到茶艺表演区的方向是东偏北18°；根据方向的相对性可知茶艺表演区在茶叶售卖区的东偏北18°，则茶叶售卖区在茶艺表演区的西偏南18°即∠3是18°，因此，∠4＝53°－∠3＝35°，即从茶艺表演区到自制茶叶区的方向是西偏北35°； （2）观光车集合点到自制茶叶区的距离＋自制茶叶区到茶叶售卖区的距离＋茶叶售卖区到茶艺表演区的距离＋茶艺表演区到自制茶叶区的距离＝总路程；1小时＝60分，把1个小时平均分成20份，每1份时间是60÷20＝3分钟；观光车每时行20千米，把20千米平均分成20份，每1份是1千米；也就是观光车每3分钟行驶1千米，最后用总路程的千米数乘3即可求出一共需要的时间。 【详解】（1）经测量可知自制茶叶区到茶叶售卖区是2厘米，2×2＝4（千米）； 茶叶售卖区到茶艺表演区是2.5厘米，2.5×2＝5（千米）； 茶艺表演区到自制茶叶区是1.5厘米，1.5×2＝3（千米）； 填表如下： 路线 方向 路程 自制茶叶区—茶叶售卖区 南偏西35° 4千米 茶叶售卖区—茶艺表演区 东偏北18° 5千米 茶艺表演区—自制茶叶区 西偏北35° 3千米 （2）总路程： 2＋4＋5＋3 ＝6＋5＋3 ＝11＋3 ＝14（千米） 14×3＝42（分钟） 答：需要42分钟。 【点睛】解答第一题的关键是要知道掌握直角三角形中两个锐角度数之和为90°，再利用方向的相对性解题；第二题要先把时间和观光车速度用分数求出每1份时间对应行驶的路程，进而求解。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $