专题02：商不变的规律&用乘除法解决问题（导学案）新四年级数学暑假自习课（冀教版·新教材）

四年级数学上册暑假自习课（冀教版·新教材） 专题02：商不变的规律&用乘除法解决问题 知识点精讲 知识点01：商不变的规律 内容 商不变的规律 被除数和除数同时乘以或除以一个不为0的数，商不变。 【典型例题1】 算式△÷□＝600，要使商变成6，可以进行（    ）运算。 A．（△×10）÷（☐÷10） B．（△÷10）÷（☐×10） C．（△÷10）÷（☐÷10） D．（△×10）÷（☐×10） 【典型例题2】 1500÷400＝3……（    ）。 A．300 B．30 C．3 D．A、B、C都不正确 【变式训练1】 已知a÷b＝20（a、b均不为0），如果被除数a乘5，除数b不变，商是（    ）。 A．4 B．20 C．100 D．5 【变式训练2】 小明在做一个除法算式时，把除数36抄成6并计算出了结果。要得到正确的结果，应该再（    ）。 A．除以6 B．乘6 C．除以36 D．乘36 知识点02：用乘除法解决问题 内容 步骤 先审题，再根据题干整理数量关系，列出式子，最后进行计算，得出答案。 【典型例题1】 如下图，一辆小轿车上午8：00出发，从甲地开往乙地。 (1)出发3小时后，小轿车大约在图上的什么位置？先算一算，再用▲标出来。 (2)小轿车到达乙地是什么时间？ 【典型例题2】 旬阳市特产魔芋干，它低脂健康，深受消费者喜爱。某特产店购进了一批旬阳魔芋干，一共有276盒。店主计划将这些魔芋干整齐摆放在货架上，每层货架固定摆放23盒，这些魔芋干能摆满多少层货架？ 【变式训练1】 神舟二十一号飞船对接空间站天和核心舱前向端口历时约3.5小时，创造了神舟飞船与空间站交会对接的最快纪录。某校观看了神舟二十一号飞船发射新闻的教师有108人，观看的学生人数是教师人数的11倍。该校观看了神舟二十一号飞船发射新闻的学生有多少人？ 【变式训练2】 三北防护林体系工程被誉为中国的“绿色万里长城”、“世界生态工程之最”。1公顷森林一天可以释放750千克氧气，则18公顷森林1天可以释放多少千克氧气？ 课后强化 一、选择题 1．、都不等于，若扩大为原来的10倍，扩大为原来的5倍，则商（    ）。 A．扩大为原来的50倍 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的5倍 D．扩大为原来的10倍 2．已知a÷b＝32……2，a和b同时扩大到原来的5倍， 余数是（    ）。 A．2 B．10 C．5 D．7 3．张爷爷要在一片空地上种植树苗，每行种118棵，种12行，一共需要种（    ）棵树苗。 A．1416 B．1436 C．1316 D．1516 4．学校图书馆新购一批绘本，每班分36本，可以分给15个班。如果每班分45本，可以分给多少个班？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 5．某早餐店昨天上午68碗菜豆腐一共卖了136元，平均每碗菜豆腐（    ）元。 A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 6．已知360÷15＝24，根据商不变规律在横线上填合适的数。 360×4÷（15×( )）＝24            （360÷( )）÷（15÷3）＝24 7．已知67÷4＝16……3，那么670÷40＝( )……( )。 8．把720块积木平均分给12个小组，每个小组再平均分给6个同学，每个同学分到几块积木？列式为720÷12÷6，先算( )，再算每个同学分到的数量；也可以先算( )，再算每个同学分到的数量，此时列式为( )。 9．马阿姨要把680千克果冻橙装在箱子里，若每个箱子最多可以装15千克，至少需要( )个这样的箱子。再添( )千克果冻橙，所有的箱子都能装满。 10．周末骑行爱好者社团组织郊外骑行，队员小张保持每分钟308米的速度，连续骑了22分钟到达中途补给点，出发地到补给点的距离是( )米。 三、解答题 11．为筹备美食体验活动，李老师要为一年级的136位小朋友每人准备一个蛋挞。他看到蛋挞的价目表如图所示： (1)若都买“每盒4个装25元”这一规格的蛋挞，李老师需要付多少钱？ (2)你建议李老师怎么买最省钱？最少需要付多少钱？ 12．近年来，低碳环保理念深入人心，利用共享单车出行，既环保又方便，下面是王叔叔某次骑车的详情，照这样的速度，如果王叔叔骑车上班需12分钟，他从家到公司有多少米？ 13．晓敏家今年前半年的电费共624元，平均每个月的电费多少元？照这样计算，交一年的电费1200元够吗？ 14．在计算“245÷35”时，为了使计算简便，小薇采取了如下算法： 245÷35 ＝（245×2）÷（35×2） ＝490÷70 ＝7 小慧采取了不同的算法： 245÷35 ＝（245÷5）÷（35÷5） ＝49÷7 ＝7 （1）你认为她们的做法对吗？请说出你的理由。 （2）如果简便计算“350÷25”，你打算怎样去算？写出两种不同的计算过程。 15．赵明和刘杰共同栽种一批树苗，赵明人工栽种80棵树苗，每天种16棵。5天种完。刘杰用机器栽种240棵树苗，每天种48棵。不计算，请你说出刘杰几天能种完并说明理由。 参考答案 知识点01 【典型例题1】 B 【分析】已知原商是600，目标商是6，商需要除以100。根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几；被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。结合选项中被除数和除数的变化情况进行逐项分析，找出商变为6的选项。 【详解】原算式为△÷□＝600，要使商变成6，因为600÷100＝6，所以商需要除以100。 A．（△×10）÷（□÷10）与原算式相比，被除数乘10，商扩大到原来的10倍；除数除以10，商扩大到原来的10倍。综合起来商扩大到原来的100倍，600×10×10＝60000。此选项错误； B．（△÷10）÷（□×10）与原算式相比，被除数除以10，商除以10；除数乘10，商除以10。综合起来商除以100，600÷10÷10＝6。此选项正确； C．（△÷10）÷（□÷10）与原算式相比，被除数和除数同时除以10，根据商不变的规律，商不变，结果仍为600。此选项错误； D．（△×10）÷（□×10）与原算式相比，被除数和除数同时乘10，根据商不变的规律，商不变，结果仍为600。此选项错误。 【典型例题2】 A 【分析】根据“被除数＝除数×商＋余数”，可以推导出“余数＝被除数－除数×商”，代入数据计算即可求出余数。另外，若利用商不变的性质，将被除数和除数同时缩小为原来的百分之一进行简算，需注意余数也会随之缩小，求原余数时需扩大到原来的100倍。 【详解】根据有余数除法各部分间的关系：余数＝被除数－除数×商。 列综合算式计算如下： 1500－400×3 ＝1500－1200 ＝300 所以余数是300。 【变式训练1】 C 【分析】在除法算式里，除数不变，被除数乘几（0 除外），商也乘几。已知原来的商是20，被除数乘5，除数不变，因此新的商应该是原来的商乘5，据此计算即可得出结果。 【详解】根据商的变化规律，当被除数a乘5，除数b不变时，商也要乘5。计算新的商：20×5＝100。 【变式训练2】 A 【分析】商的变化规律是：在商不为0的除法算式里，当被除数一定时，除数乘几，商就除以几。 【详解】6×6＝36，即小明计算被除数÷36时，把“36”抄成了“6”并计算出了结果；被除数不变，除数应该再乘6，因此要想得到正确的结果，商就应该再除以6。 故答案为：A 知识点02 【典型例题1】 (1)见详解 (2)15：00 【分析】（1）路程＝速度×时间。由题意得，直接用60乘3算出这辆小轿车一共行驶了多少千米。然后根据路程和420千米的大小关系在图中标注出小轿车的位置即可。 （2）普通计时法换成24时计时法，凌晨和上午的时间不发生变化，而下午和晚上的时间要加上12时。时间＝路程÷速度，用420÷60，求出小轿车从甲地行驶到乙地所用的时间，再用出发的时间加上行驶所用的时间，即可求出到达乙地是什么时间。 【详解】（1）60×3＝180（千米） 由于180千米小于总路程的一半，所以标在中间靠左边一点，如下图： （2）420÷60＝7（小时） 上午8：00即为8：00 8：00＋7小时＝15：00 答：小轿车到达乙地是15：00。 【典型例题2】 12层 【分析】根据题意，已知魔芋干的总盒数和每层货架摆放的盒数，求能摆满的层数，即求276里面包含多少个23，即276÷23，据此解答。 【详解】（层） 答：这些魔芋干能摆满12层货架。 【变式训练1】 1188人 【分析】根据题意，已知观看新闻的教师人数为108人，学生人数是教师人数的11倍。求学生人数，即求108的11倍是多少，依据倍数的意义，用乘法计算。 【详解】108×11＝1188（人） 答：该校观看了神舟二十一号飞船发射新闻的学生有1188人。 【变式训练2】 13500千克 【分析】根据题意，已知1公顷森林一天释放氧气的质量，求18公顷森林一天释放氧气的总质量，即求18个750是多少，根据乘法的意义，用每公顷释放氧气的质量乘公顷数即可。 【详解】（千克） 答：18公顷森林1天可以释放13500千克氧气。 课后强化 1．B 【分析】在除法算式里，被除数乘几，商也乘几；除数乘几，商就除以几，据此作答。 【详解】商应该先乘10，再除以5， 10÷5＝2 商扩大为原来的2倍。 2．B 【分析】根据题意，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。余数也乘或除以这个数。据此解答。 【详解】a÷b＝32……2，a和b同时扩大到原来的5倍，余数也要扩大到原来的5倍。2×5＝10，余数是10。 故答案为：B 3．A 【分析】根据题意，已知每行种植的棵数和行数，求总棵数，依据数量关系“总棵数每行棵数行数”，列出乘法算式 ，计算出结果后与选项进行对比即可。 【详解】（棵） 所以一共需要种1416棵树苗。 4．A 【分析】本题考查整数乘除混合运算解决实际问题的能力。解题的关键是抓住“绘本总数不变”这一隐含条件。首先根据第一种分法（每班本，分个班）求出绘本的总本数，然后再根据第二种分法（每班本），用总本数除以每班分的本数，即可求出可以分给的班级数量。 【详解】求绘本的总本数。根据“总数每份数份数”，列式为： 求每班分本时可以分给的班数。根据“份数总数每份数”，列式为：总本数 得到综合算式： 对比选项，A选项列式为，与推导结果一致。 5．D 【分析】根据“总价数量单价”，用卖的钱数除以碗数即可。 【详解】136÷68＝2（元） 所以平均每碗菜豆腐2元。 6． 4 3 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【详解】①被除数乘4，要使商不变，除数也要乘4，所以360×4÷（15×4）＝24 ②除数除以3，要使商不变，被除数也是除以3，所以（360÷3）÷（15÷3）＝24 7． 16 30 【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。但如果有余数，余数也会乘或除以同一个不为0的数。 【详解】对比算式67÷4和670÷40可知，被除数和除数同时乘10，所以商不变，余数也乘10， 因此670÷40＝16……30 8． 每个小组分到的积木数量 总同学数 720÷（12×6） 【分析】积木的总数除以平均分的小组数等于每组分得的数量，每组分得的数量除以每组的人数等于每个同学分到的积木数；也可以先算12个组一共有多少学生，每组的学生数乘12等于12个组共有的学生数，积木的总数除以总学生数等于每个学生分得的积木数。 【详解】由分析可得： 把720块积木平均分给12个小组，每个小组再平均分给6个同学，每个同学分到几块积木？列式为720÷12÷6，先算每个小组分到的积木数量，再算每个同学分到的数量；也可以先算总同学数，再算每个同学分到的数量，此时列式为720÷（12×6）。 9． 46 10 【分析】（1）计算需要箱子的数量：用果冻橙的总重量除以每个箱子最多装的重量，得到的商是能装满的箱子数，余数是剩余的果冻橙重量。因为剩下的果冻橙也需要1个箱子，所以需要箱子的总数是商加上1。 （2）计算再添多少千克果冻橙能装满所有箱子：最后一个箱子没装满，且知道每个箱子能装15千克，所以用每个箱子的容量15千克减去剩余的重量（5千克），就可得出再添多少千克能装满所有箱子。 【详解】（1）680÷15＝45（个）……5（千克） 45＋1＝46（个） （2）15－5＝10（千克） 马阿姨要把680千克果冻橙装在箱子里，若每个箱子最多可以装15千克，至少需要（46）个这样的箱子。再添（10）千克果冻橙，所有的箱子都能装满。 10． 【分析】速度×时间＝路程，用小张每分钟308米的速度×22分钟＝出发地到补给点的距离。据此解答。 【详解】308×22＝6776（米） 11．(1)850元 (2)我建议李老师买22盒6个装的和1盒4个装的蛋挞，这样最省钱，最少需要付685元钱。 【分析】（1）先用除法计算136个蛋挞里有多少个4，这表示136个蛋挞可分成多少组“4个装”。再用组数乘每组“4个装”的价格，即可计算出总花费；（2）根据题意，先用每种规格的价格除以装的个数，求出一个蛋挞的单价是多少元，尽量买便宜的，用小朋友的人数除以便宜的装的个数，求出的商即为需要买的盒数，余数即为剩下需要买的蛋挞个数，看是否正好可以买另外两种规格的蛋挞，据此即可找出最划算的买法。再根据最划算的买法，用每种规格需要买的盒数乘这种的价格，相加即可求出李老师需要付多少钱。 【详解】（1）136÷4×25 ＝34×25 ＝850（元） 答：李老师需要850元。 （2）1个装：7元 4个装：25÷4＝6（元）……1（元） 6个装：30÷6＝5（元） 尽量买6个装的。 136÷6＝22（盒）……4（个） 4个正好买4个装的一盒。 建议李老师：买22盒6个装的蛋挞和1盒4个装的蛋挞。 22×30＋1×25 ＝660＋25 ＝685（元） 答：李老师需要付685元。 12． 3780米 【分析】根据图片信息可知，王叔叔骑行945米用了3分钟；根据数量关系式“速度路程÷时间”，可以求出王叔叔骑车的速度。题目中指出“照这样的速度”，说明速度保持不变。已知上班骑行时间为12分钟，根据数量关系式“路程速度×时间”，即可求出从家到公司的距离。 【详解】945÷3×12 ＝315×12 ＝3780（米） 答：他从家到公司有3780米。 13． 104元；不够 【分析】前半年一共是6个月，先根据总电费算平均每月电费，再计算一年的总电费，和1200元比较即可。用624除以6，计算出平均每月电费；再乘12，求出 一年的总电费；最后再与1200进行比较即可。 【详解】624÷6×12 ＝104×12 ＝1248（元） 答：平均每个月的电费104元，交一年的电费1200元不够。 14．（1）对，小薇根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 （2）见详解。 【分析】本题利用商不变的规律进行解答的，使计算更简便，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 【详解】（1）对，小薇根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 （2）利用商不变的规律进行解答。使计算更简便。 350÷25 ＝（350×4）÷（25×4） ＝1400÷100 ＝14 350÷25 ＝（350÷5）÷（25÷5） ＝70÷5 ＝14 15．见详解 【分析】工作量÷工作效率＝工作时间，被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变；据此即可解答。 【详解】240÷48＝80÷16，所以刘杰和赵明种完树苗的天数相等，都是5天。 【点睛】熟练掌握商不变规律是解答本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $