25.2.1 配方法&专题1 配方法的四种常见运用（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

25.2 第1课时 【新知导学 >♪◆预习新知 新知梳理 ①一般地，对于方程x2=. 当>0时，根据平方根的意义，方程 有两个不相等的实数根= x2= 当p=0时，方程有两个相等的实数 根x1=x2= 当<0时，方程无实数根。 ②方程(m.x十n)2=p(m≠0，p≥0)的解为 =二+E,x, n ☑例题引路 【例1】解下列方程： (1)4x2-49=0: (2)(x-5)2-9=0: (3)2(x-1)2-36=0. 【方法点拨】先将方程化成x2=p或 (mx十n)2=p(m≠0)的形式，再判断p 的正负.若p为负，则方程无实数根；若 饣为正，则直接开平方求解即可， 【学生解答】 纫易错典例 【例2】若(a2+b2-3)2=25,则a2+b 的值为 【易错剖析】利用直接开平方法求得 a2十b2一3的值后，不要忽略a2+b2的 值为非负数。 【学生解答】 降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 逐点击破 知识点1形如x2=p(p≥0)的方程的解法 1.方程x2=16的解为 A.x=4 B.x=-4 C.x=4或-4 D.x=0或4 2.下列方程中，无实数根的是 A.2x2=5 B.x2=2 C.4x2+25=0 D.4.x2-25=0 【变式题】无实数根→有实数根 半开放性题新趋势若关于x的一元二次方程x2一c=0有 实数根，则c的值可以是 .(写出一个即可) 3.解下列方程： (1)25x2+10=1; (2)5x2=3x2+12. 知识点2形如(mx十n)2=p(m≠0，p≥0)的方程的解法 4.一元二次方程(x十1)2=16可化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程为x十1=4，则另一个一元一次 方程为 A.x-1=4 B.x-1=-4 C.x+1=4 D.x+1=-4 5.方程(x一3)2=9的根为 6.解下列方程： (1)(3x-1)2=81; (2)16(2-x)2-9=0. 九年级数学人教版全一册3 能力提升 ◆♪·整合运用 7.(易错题)用直接开平方法解方程(3x+1)2= (2x一5)2正确的是 A.3x+1=2x-5 B.3.x+1=-(2x-5) C.3x+1=±(2x-5)D.3.x+1=±2x-5 8.一个简单的数值运算程序如图所示，则输入 x的值为 ( /输入x7 x-1)2 ×2日 输出8 A.±2 B.±3 C.3或-1 D.2或-1 9.若关于x的方程x2一c=0的一个根为x= 25,则另一个根为x= 【变式题】进一步弱化条件 若关于x的一元二次方程x2=b(b>0)的两 个根分别是x1=m十1，x2=2m一4，则这两个 根分别是 10.解下列方程： (1)4(2x+1)2-1=24: (2)(3x-2)(3x+2)=3; (3)x2+10x+25=3. 4第二十五章一元二次方程 思维拓展 ♪·强化素养 11.类比思想新理念在解一元二次方程时，发 现有这样一种解法. 解方程：x(x+8)=4. 解：原方程变形，得[(x十4)一4][(x+4)+ 4]=4, .(x十4)2-42=4. ∴.(x+4)2=20. 两边开平方，得x十4=士2√5， .x1=-4+2√5，x2=-4-2√5， 我们称这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十 2)(x+8)=40时写的解题过程， 解：原方程变形，得[(x十a)一b][(x+ a)+b]=40, .(x+a)2-b=40. ∴.(x+a)2=40+b 两边开平方，得x十a=士√40十b. ∴.x1=2,x2=-12 上述解题过程中，a,b所表示的数分别 是 (2)用“平均数法”解方程：(x一2)(x十6)=4. 第2课时 【新知导学 >>◆预习新知 同新知梳理 ①用配方法解方程的依据： 完全平方公式：a2土2ab+b= 直接开平方法 ②用配方法解方程的一般步骤： 一移：将常数项移至等号右边，含未 知数项移至等号左边； 二化：二次项系数化为1； 三配：左右两边同时加上一次项系数 的平方： 四开：根据平方根的意义直接开平方； 五解：分别解两个一元一次方程. ☑例题引路 【例1】用配方法解下列方程： (1)x2+2x-1=0: (2)4x2-7.x+2=0. 【方法点拔】按照“一移二化三配四开五 解”的步骤解方程.注意配方化为 (x十n)2=p后，p为负数时方程无解. 【学生解答】 易错典例 【例2】用配方法解方程2.x2一x一6=0 的步骤如下：02x-1=6:®2-子=3： ③r-3x+=3+子：④(x-) 3是，则开始出错的步骤是 A.① B.②C.③D.④ 【易错剖析】解方程的步骤中，三配是方程 两边同时加上一次项系数一半的平方. 【学生解答】 用配方法解一元二次方程 【基础过关 ●>逐点击破 知识点1二次三项式的配方 1.已知x2+8x+m是完全平方式，则m的值是（ A.2 B.4 C.8 D.16 2.(教材P9练习T1变式)填空： (1)x2+6x+ =(x十 )2; (2)x2+5.x+=(x+ )2; (3)r2-x+=(— 3 )2 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.(2025一2026·毕节期未)用配方法解一元二次方程x2十 2x一6=0时，原方程可变形为 () A.(x+1)2=10 B.(x+1)2=7 C.(x+2)2=10 D.(x十2)2=7 4.用配方法解下列方程： (1)x2+10x+8=0: (2)x2-3x=-7 4 知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 5.用配方法解方程2x2一8x=5时，先把二次项系数化为 1,再把方程左右两边都加上 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 6.用配方法解下列方程： (1)5x2-2x-3=0; (2)7r-4x+2=0: 九年级数学人教版全一册5 能力提升 ·,·整合运用 7.用配方法解下列方程时，配方错误的是( A.x+x+9=0化为(x+号)=-的 B3r-红-2=0化为(e影)=9 C2-14-4=0化为(g-子)-器 D.号-一4=0化为(：多=程 8.新定义新趋势(2026·遵义二模)定义一种 新运算，规定：a⑧b=a2一2a+b,例如：2☒3= 22一2×2十3=3.若x☒1=9，则x的值是 9.用配方法将方程2x2+10x一5=0化成(x十 m)2=n的形式(m,n为常数)，则m-n的值 为 10.用配方法解下列方程： (1)x2-3=23x; (2)x(x+7)=4x+1; 6第二十五章一元二次方程 (3)3(x-1)(x+2)=x-7. 【思维拓展 >强化素养 11.猜想验证新趋势观察下列方程及其解的特征： ①x十1=2的解为x1=2=1; @x十上号的解为=2%=： 1 ®x+=8的解为x=3,2=导 “。4 解答下列问题： 1洁起：方程十士管的解为 (2)猜想：关于x的方程x十1= 的解为1=a,=1(a≠0)： (3)下面是以解方程x+一为例，验证() 中猜想结论的正确性，补全验证过程， 解：原方程可化为5x2一26x=-5. (请用配方法写出解此方程的详细过程) 专题一配方法的四种常见运用 类型1用配方法判断代数式值的正负或求最值 类型2用配方法比较两代数式的大小 1.用配方法求证：代数式4x2一8.x十9的值恒 方法点拨：作差比较两数大小时，若a一b>0,则a> 为正数 b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b. 3.比较代数式x2一1与2x-3的大小. 类型3用配方法构造非负数求值 2.类比思想新理念配方法不仅能帮助我们解 4.已知实数x,y满足x2+4x十y-6y十13=0， 一元二次方程，还能用来求解最值问题.例 则x十y的值为 如，求代数式2x2一x十2十y2的最小值，解 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2-8a十 法如下： b-6b+c2-6c+34=0,试判断△ABC的 解：原式=2(x2一2)十2+y 形状 =2x-+）)写+2+ =2e-++5 2(x-1)≥0y≥0， 2-++≥号 类型4用配方法对多项式进行因式分解 代数式2r-x十2+y的最小值为点 6.运用配方法也可将多项式进行因式分解.例 如，x2+4x-5=x2十4x十22一22-5=(x十 根据上述材料，解答下列问题： 2)2-9=(x+2+3)(x十2-3)=(x+5)(x-1). (1)一x2-4x-3的最大值为 仿照上述过程，将多项式x2一4xy+3y2进 (2)求m2+n2+6m-4n+20的最小值. 行因式分解. 九年级数学人教版全一册7参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 新知梳理 ①一整式2≠常数项②相等 例题引路 【例1】解：去括号，得5x2-10x=4x2-3x.移项、合并同类项，得x2-7x=0.它的二次项系 数是1，一次项系数是一7，常数项是0.【例2】A 易错典例 【例3】2 基础过关 1.C2B3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2-7=0.它的二次项系数是 3,一次项系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2一4x十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是-4，常数项是5.(3)去括号，得2x2十 弥 x一4x-2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2-3x一4=0.它的 帐 二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是一4.4.B5.56.20297.C 能力提升 8.B9.C10.203411.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2+ 7x-44=0.(2)设较短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2.化为一般 形式为x2-4x-12=0. 思维拓展 地 12.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,.3a十2b十c=3×2十2×(-1)十(-4) 0.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入ax2-2x十c=0,得a十2十c=0. .此方程为“波浪方程”，，3a十2×（一2）十c=0,即3a一4十c=0.联立 1a十2十(=0，解得 3a-4+c=0,1 封 1a=3, .这个“波浪方程”为3x2-2x-5=0. c=-5. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①√D -√万0②n二厘 m 例题引路 渠 【例】解：1)整理，得r-织由此可得x=±子“A==一子(2)移项，得（红 5)2=9.由此可得x-5=士3..x-5=3,或x-5=-3.∴.x1=8,x2=2.(3)整理，得(x 1)2=18.由此可得x-1=士3√2.∴x-1=3√2，或x-1=-3√2..x1=1+3√2，x2=1 3√2 易错典例 【例2】8 基础过关 1.C2.C【变式题15（答案不唯-（≥0即可）3解：1)整理，得r=号”一另<0， 原方程无实数根.(2)整理，得x2=6.由此可得x=士√6，即x1=√6，x2=一√6.4.D 5.x1=6,x2=06.解：(1)由方程可得3x-1=士9..3x-1=9,或3x-1=-9,.x1= 38 10 2)整理，得(2-)=品由此可得2-=±是2-=是，或2-= 11 42= 41 55 能力提升 7.C8C9.-25【变式题1k=2=-210.解：0整理，得(2x十1=克由此可 得2x十1=±号2x+1=号或2x十1=-号∴=是，=-子.(2)整理，得9r= 7,即产=子由此可得=±号甲=号=(3)整理，得(x十6=3.由此可得 x十5=士5.∴.x十5=√5，或x十5=-√5.∴.x1=-5十√5，x2=-5-√5. 思维拓展 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，∴.(x十2)2-42=4. ∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士25.x1=-2+2√5，x2=-2-25. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①(a±b)2②一半 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2十2x十1=1十12，即(x十1)2=2.由此可得 x十1=士2.∴x=-1十√2，x2=-1一√2.(2)移项，得4x-7x=-2.二次项系数化为1， 得-子=-司配方，得x-子+（餐）=-令+（合），即(x-8)-品由此可 8 易错典例 【例2】C 基础过关 1D2.193(2)华号（3)是是3B4解：1)移项，得x十10x=-8配 方，得x2十10x十52=-8十52，即(x十5)2=17.由此可得x十5=±√17..x1=-5十 =-5-m.2)配方，得x-3x+()=-子+（受），即(x-是)=子.由 此可得一-±=3 -2 2 2,=3,2.5.B6.解：1)移项、二次项系数化为 2 1得一号是配方得r-导十（付）=号(）即（一吉）碧由此可得 一号=士专=1=一子(2)移项、二次项系数化为1，得2-8x=一4.配方，得 x2-8x十42=-4十42，即(x-4)=12.由此可得x-4=士2√5..x1=4+2√3，x2=4- 23. 能力提升 7.D84或-29.-空10.解：1)移项，得r-25x=3.配方，得r-2x十= 3十3，即(x一√5)2=6.由此可得x一√3=士6.∴.x1=5十√6，x2=3-√6.(2)整理，得 x+3x=1.配方，得x+3x+(受)广=1+（受），即(x+受)-9由此可得x+多 ±.x=二3士区，=二3压.(3)整理，得3x+2x=-1.二次项系数化为1， 2 2 2 得父+号=一子配方，得+号x+(信)=言十(）)即(+）-号 :-号<0原方程无实数根。 思维拓展 1山.解：)x=5=号(2)士(3)三次项系数化为1，得r-29=-1.配方，得 a 2- （得）=-1+（号）(x-号)-岩由此可得x-号=士号=5 5 x=行经检验，=5，=号都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 1 -56 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)十5=4(x-1)2+5.4(x-1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5.∴.代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)1(2)原式=m2十6m十9 十n2-4十4十7=(m十3)2十(n-2)2十7..(m十3)2≥0，(n-2)2≥0，∴.(m十3)2十(n 2)2+7≥7..m2十n2+6m-4n十20的最小值为7.3.解：x2-1-(2x-3)=x2-2x十2= (x-1)2十1.(x-1)≥0，.(x-1)2+1>0.∴.x2-1-(2x-3)>0.∴.x2-1>2x-3. 4.15.解：：a2-8a+b-6b+c2-6c+34=0,.(a2-8a十16)+(b-6b+9)+(c2-6c+ 9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.:(a-4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a 4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3.∴.△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2 4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 基础过关 1.C2.C3B4-2(答案不唯-，m<-号即可）5.解：1)：a=1,b=-3c=4, .△=b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0.∴.方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可 化为x2+5x十10=0，：a=1,b=5,c=10,.△=-4ac=52-4×1×10=-15<0..方程 没有实数根， 能力提升 6.D7.B【变式题】D8.5或69.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]-4×1× (4m-2)=4m2-12m十9.(2)证明：由(1)，得△=4m2-12m十9=(2m-3)2≥0，.无论m 取何值，这个方程总有实数根， 第2课时用公式法解一元二次方程 新知梳理 ①≥ -b士√形-4ac 2a 例题引路 【例1】解：(1)a=1,b=-2,c=3,△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0..方程无实 数根.(2)：a=2,b=7,c=0,∴.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相等的 实数根.生公匹-装里-7学=0。=一号 7 2a 2×2 易错典例 【例2】B 基础过关 1.D2.B3解：1：a=号，6=-2c=3,4=8-4ac=(-2)-4×号×3=0.方 3 程有两个相等的实数根六=9=一2名=-一名=3.(2)方程化为x一25x十100 1 a=1,b=-25,c=10,.△=6-4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0..方程无实数 根.4.解：(1)一用公式法解方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一 5x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,∴.△=b2-4ac=(-5)2-4×1X(-1)=29>0..方程 有两个不相等的实数根.“x=二生4@匹_5±，四1=5士)√四，x 2a 2 2 型，-2四 2 能力提升 5.C6.B7.x1=3,x2=-18.解：方程化为2x2十2x-1=0..a=2,b=2,c=-1, ∴.△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0..方程有两个不相等的实数根.x= 证-2生2=1a=1 Za 4 2 ,9.(1)证明：：△=[-(k十 1)]-4×1×(2k-2)=(k-3)≥0，.此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)得x= 十1)±/=3》，=k-1,=2.由题意，得0<k-1<1,解得1<k<2. 2 57