第2章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第二章综合评价 超 (时间：120分钟满分：150分) 州 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x+y=3 B.3x+y2=2 敏 C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的系数是2， 则一次项系数和常数项分别是 ( A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 3.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边都加上4的是 ( A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8x=5 D.2x2+4x=5 弥 4.若x=2是关于x的一元二次方程x2十a.x一a=0的一个解，则a的值为 ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 5.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 6.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 ! C.x-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 封7.若关于x的一元二次方程(m一2)x2+x十m2-4=0的常数项是0，则m 等于 A.0 B.2 C.-2 D.-2或2 8.若关于x的一元二次方程kx2十2x一1=0有实数根，则k的取值范围是 ( A.k≥-1且k≠0 B.k≥-1 C.k>-1 D.k>一1且k≠0 9.已知m,n为一元二次方程2x2一4x一1=0的两个实数根，则下列式子正 确的是 A.m十n=-2 B.mn=-2 C.m+n-2mn=1 D.m2+n2=5 10.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2一4x十k=0 的两个根，则k的值为 ) A.7 B.3 C.4 D.3或4 11.《四元玉鉴》是我国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著.书中有 这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十 五文.只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹 (5 锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文.已知这匹锦的长度数比 一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？ (注：1贯=1000文)设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为( A.(x-3)(x-47)=2975 B.(x+3)(x-47)=2975 C.(x+3)(x+47)=2975 D.(x-3)(x+47)=2975 12.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的 速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动.当△PQC的面 积等于16cm时，运动时间为 A.2s D B.4s C.10s D.2s或10s 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，则该方程可以为 14.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n+1有实数根，则n的取值范围是 15.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的 值，如max{2,4}=4.按照这个规定，方程max{x,-x}=x2-2的解为 16.已知m是关于x的一元二次方程x2十2x十n一3=0的一个根，则 m一n的最小值是 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(本题满分12分) (1)解方程：x2十6x-2=0; (2)若关于x的方程(a-3)x2-a+8十(a十2)x十5=0是一元二次方程， 求a的值. 18.(本题满分10分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=(x一3)2的过 程如下： 小敏 小霞 两边都除以(x一3)， 原方程可变形为3(x-3)一(x一3)2=0， 得3=x-3. (x-3)(3-x-3)=0. 解得x=6. x一3=0，或3-x一3=0. ∴.x1=3,x2=0. 8 (1)她们的解法都不正确，请你指出错误的原因是什么； (2)请写出正确的解答过程. 19.(本题满分10分)如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙 (墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成，已知栅栏的总长度为18m, 设矩形垂直于墙的一边(AB)的长为xm. (1)用含x的代数式表示BC边的长； (2)若该矩形养殖场的面积为36m,求BC边的长. 10m D xm 20.(本题满分10分)已知关于x的一元二次方程x2-(k十1)x十2k一2=0. (1)试判断方程的根的情况： (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. 21.(本题满分10分)如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a-b十 c=0,那么我们称这个方程为“凤凰方程”. (1)判断一元二次方程3x2+4x十1=0是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程x2十mx一5=0是“凤凰方程”，求m的值. 9 22.(本题满分10分)已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 一m+罗一是-0的两个实数根， (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2一3)=5m,求 m的值. 23.(本题满分12分) “贵州千户苗寨三日游”的调研分析 贵州是西南边陲的明珠，漫步千户苗寨，可感受苗族吊脚楼的古朴风 韵；登临梵净山，能眺望云海翻涌的奇绝风光.这是一座融合民族文 背景 化、山水风情与特色美食的魅力省份.为了让更多人了解贵州，感受深 厚的少数民族文化底蕴，某旅行社推出“贵州千户苗寨三日游”活动， 现要对活动方案进行升级，需对定价和报名人数进行调研 活动推出后，9月份报名参加“贵州千户苗寨三日游”的人数为 素材11000人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月 份报名人数将达到1440人 该旅行社“贵州千户苗寨三日游”活动的初步方案为：40人起组 素材2团，每人的团费为900元.经调查发现，若每人的团费每降低10 元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于700元 完成任务 求10,11两个月“贵州千户苗寨三日游”旅行活动报名人数的月均增 任务1 长率 若该旅行社要使平均每个团的总团费为40000元，求下调后每人 任务2 的团费 10 24.（本题满分12分)阅读下列材料：利用完全平方公式，可将多项式x2+ bx十c化为(x十m)2十n的形式，然后由(x十m)2≥0就可求出多项式 x2+bx+c的最小值. 例题：求x2-12x十37的最小值 解：x2-12x+37=x2-12x+62+1=(x-6)2+1. ,(x-6)2≥0，.(x-6)2+1≥1. ∴.当x=6时，x2-12x十37有最小值，最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： x2-8x+18=x2-8x+42+ =(x一 )2十2： (2)将x2+16x-5化为(x+m)2+n的形式，并求出x2+16x-5的最 小值： (3)如图，矩形甲的长、宽分别为3a+2,2a十5，面积为S1,矩形乙的长、 宽分别为5a,a十5，面积为S2,试比较S1与S2的大小，并说明理由. 3a+2 5a 2a+5 甲 a+5 乙 11 25.(本题满分12分)综合与实践 【初步探索】 (1)欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x2十ax=?的方程，可用如图 ①的几何解法：作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC=6,BC=受， 在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的其中一个正根是哪段线段 的长？说明你的理由. xx+10 x+10 x+10 x+10x 图① 图② 【再次探索】 (2)我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二 次方程的几何解法：以方程x2+10x=36为例，因为x2十10x=36, 所以有x(x十10)=36.如图②，用4个长都是x十10，宽都是x的相 同矩形，拼成如图所示的正方形 图②中，大正方形的面积可以表示为( )2(用含x的代数 式表示)；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形 的面积，即等于4×36+100，故可得原方程的一个正根是 【类比运用】 (3)请分别用上述两种几何方法直观地求方程x2十2x一4=0的正根（请 画出图形，并在图中标注出相关线段的长度). 12综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.A4.B5.C6.D7.A8.D9.B10.C11.B12.C13.AB=BC (答案不唯一)14.22.5°15.(4√2-1)16.817.解：(1)：AB∥EF,∠B=∠BCF= 35°.DC是斜边AB上的中线，.DC=DB..∠DCB=∠B=35°.∠ACB=90°， ∠ACD=90°-35°=55°.(2)：四边形ABCD为矩形，.CD=AB=6,OB=OD.∴.C△c CAx=(OB+OC+BC)-(OD+OC+CD)=BC-CD=2.∴.△BOC与△DOC的周长之差为 2.18.(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=90°，DC∥AB,∴.∠BAN=∠AMD.·BN⊥AM, ∠BNA=90°.∴∠BNA=∠D.又：AB=AM,∴.△ABN≌△MAD(AAS).(2)解： :△ABN≌△MAD,∴.MD=AN=8.在Rt△MAD中，AD=6,.MA=√/MD+AD √/8+62=10.∴.MN=AM-AN=10-8=2.19.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠A= 90°，AD∥BC.由作图知，AB=AF=BE,.AF=BE,AF∥BE..四边形ABEF是矩形. :AB=AF,.四边形ABEF是正方形.20.解：(1)：四边形ABCD是正方形，∴.AB= AD,∠ABC=∠ADC=90°.∴.∠ADF=90°.又BE=DF,∴.△ABE≌△ADF(SAS). (2):△ABE≌△ADF,AF=AE=5,∠BAE=∠DAF.:四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∴.∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°.∴.EF= √/AE+AF=√⑤+5=5√2.21.(1)证明：AO=CO,BO=DO,∴.四边形ABCD是平 行四边形..∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：·∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∠BAC=60.,在矩形ABCD中，OA=OB,∴.△OAB是等边三角形..∠AOB=60°. 22.解：(1)选择②AB=CD.证明：AB∥CD,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形. :AB=AD,四边形ABCD是菱形，（答案不唯一）(2)：Sm=号BD·AC=24,且 BD=6,∴号×6AC=24.AC=8.0A=0C=合AC=4,0B=0D=号BD=3.AB= √OA十OB=√4+3=5.∴菱形ABCD的边长是5.23.(1)证明：：四边形ABCD是 正方形，四边形EFGH是菱形，.∠A=∠C=90°，AD=CD,ED=GD.∴.Rt△ADE≌ Rt△CDG,即△ADE≌△CDG.(2)解：过点E作EQ⊥DF于点Q,则∠EQB=90°.：四边 形ABCD是正方形.∠A=∠ABC=90,AD=AB=AE+BE=4,∠EBQ-号∠ABC 45°..∠QEB=90°-∠EBQ=45°=∠EBQ..EQ=BQ..BE=2,.EQ+BQ=BE,即 2EQ=2,∴EQ=BQ=√2（负值已舍去）.在Rt△DAE中，DE=√AD+AE=2√5.：四 边形EFGH是菱形，.EF=DE=2√5.QF=√EF-EQ=3√2.∴.BF=QF-BQ= 2√2.24.(1)证明：：DE⊥BC,∠DFB=90°.∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB.∴.AC∥ DE.:MN∥AB,即CE∥AD,∴.四边形ADEC是平行四边形.∴.CE=AD.(2)四边形 CDBE是菱形.理由如下：D为AB的中点，.AD=BD.CE=AD,.BD=CE.BD∥ CE,∴四边形CDBE是平行四边形.：∠ACB=9O,D为AB中点，.CD=号AB=BD. .四边形CDBE是菱形.(3)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形.理由 如下：：△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB=90.又由(2) 知，四边形CDBE是菱形，.四边形CDBE是正方形.25.解：(1)AE=CFAE⊥CF (2)AE=CF,AE⊥CF.理由如下：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=90°.由 旋转的性质，得BE=BF,∠EBF=90°，.∠ABE=∠CBF=90°十∠CBE..△ABE≌ △CBF.∴AE=CF,∠E=∠F.设AE与CF相交于点H,BE与CF相交于点G,如图②. :∠EGF=∠E+∠EHG=∠F+∠EBF,∴.∠EHG=∠EBF=90°，∴AE⊥CF,.AE= CF,AE⊥CF.(3)过点B作BE⊥BD,交DC的延长线于点E.连接AE,取CE的中点H,连 接OH,如图③.点O为AC的中点，∴.OH=号AE,OH∥AE.:∠BDC=45°，BE⊥BD, .∠BED=45°=∠BDC..BE=BD=7WE.∴.DE=W√BD+BE=14,:BE⊥BD, ∠ABC=90°，.∠ABE=∠CBD=90°-∠CBE.在△ABE和△CBD中，：BE=BD, ∠ABE=∠CBD,AB=CB,.△ABE≌△CBD..AE=CD=2OH,∠AEB=∠BDC=45 .CE=DE-CD=14-2OH,∠AED=∠AEB十∠BED=90°.H为CE的中点，∴.HC= -88 2CE=7-OH,HD=CD+CH=7+OH.“∠AED=0,OH/AE∠OHD=90.在 Rt△OHD中，OD=OH+HD,∴.132=OH+(7+OH)2.∴.OH=5,或OH=-12(不合 题意，舍去)..CD=AE=2OH=10. G\H 图② 图③ 第二章综合评价 1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.C8.A9.D10.D11.D12.A13.x2-2x=0 (答案不唯-）14.n≥-115.x=2,或x=-216.号 17.解：(1)移项，得x十6x= 2.配方，得十6x十（号）=2+（受），即(x十3)炉=11.两边开平方，得x十3=±，即 x十3=√I,或x+3=-√..x=-3+√I,x=-3-√/1T.(2):关于x的方程(a-3) x2-ia+8+(a十2).x十5=0是一元二次方程，a2-5a十8=2，且a-3≠0，解得a1=2,a2=3 (舍去).∴.a=2.18.解：(1)小敏错误的原因是方程两边都除以(x一3)，导致方程失根；小霞 错误的原因是去括号时，括号中的第二项未变号.(2)正确的解答过程如下：原方程可变形为 3(x-3)-(x-3)2=0,(x-3)(3-x十3)=0.x-3=0,或3-x十3=0.x1=3,x2=6. 19.解：(1)(18-2x)m(2)根据题意，得x(18-2x)=36.解得x1=3,x2=6.当x=3时，18 2x=18-2×3=12>10,不符合题意，舍去：当x=6时，18-2.x=18-2×6=6<10,符合题 意..BC=6m.20.解：(1)，△=b2-4ac=[-(k十1)]2-4×1×(2k-2)=(k-3)2≥0， 心方程有两个实数根.(2)由(1)知4=(k-3),x=二[-+1)门=3) 2 十1±k一3》，即x=k-1,=2.:方程有一个根小于2，k-1<2,解得<3. 2 21.解：(1)3x2十4x十1=0是“凤凰方程”.理由如下：：a=3,b=4,c=1,∴.a-b十c=3-4十 1=0..3x2十4x十1=0是“凤凰方程”.(2).x2十m.x一5=0是关于x的“凤凰方程”，a=1, b=m,c=-5,.1-m十(-5)=0，解得m=-4.22.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD 是菱形，即方程r-mx十受-子=0有两个相等的实数根4=（一m)2一4（受-宁） 0,解得m=m2=1.∴.当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得十= m=-子a-3》(-8》=-3(十)十9=5m受-号-8m十9= 7 5m,解得m=6,23.解：（任务1）设10,11两个月“贵州千户苗寨三日游”旅行活动报名 人数的月均增长率为.根据题意，得1000(1十r)2=1440.解得n=0.2=20%,r2=-2.2 (不符合题意，舍去).答：10,11两个月“贵州千户苗寨三日游”旅行活动报名人数的月均增 长家为20%.（任务2）设下调后每人的团费为x元.根据题意，得x(40+090） 40000.解得x1=800,x2=500.:x≥700，∴.x=800.答：下调后每人的团费为800元. 24.解：(1)24(2)x2+16x-5=x2+16x+82-69=(x+8)2-69.:(x+8)≥0，.(x十 8)-69≥-69.∴.当x=-8时，x2+16x-5有最小值，最小值为-69.(3)S>S2.理由如下： 由题意，得S=(3a十2)(2a十5)=6a2十19a十10，S2=5a(a十5)=5a十25a,.S1-S2= 6a2十19a十10-5a2-25a=a2-6a十10=(a-3)2十1..(a-3)2≥0，∴.(a-3)2十1>0. S一S2>0..S>S2,25.解：(1)在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC+ AC=AB.·()十=（台十AD）·整理，得AD十aAD=.对于形如x十ax= 的方程中一个正根是线段AD的长.(2)2x+10√61-5(3)：x2+2x-4=0,.x2+ 2x=4.方法一：如答图①，作直角三角形ABC,其中∠C=90°，AC=2,BC=1,在斜边AB上 截取BD=BC.在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=√A+I=√5..AD=AB-BD=5 1..该方程的其中一个正根为AD的长，即为√5一1.方法二：如答图②，用4个长都是x十 -89 2,宽都是x的矩形拼成大的正方形.x2十2x=4,x(x十2)=4.∴.一个矩形的面积是4. .(2x十2)2=4×4十22=20.∴.(x十1)2=5..该方程的一个正根为5-1. 1” x+2 +2 2 x+2 x 答图① 答图② 阶段综合评价（一） 1.B2.C3.B4.A5.A6.A7.C8.A9.A10.D11.B12.D13.-214.24 15=1空-15161.51n.解：1原方程可变形为一3》+x一3=0 2 3)(x十1)=0.x-3=0,或x十1=0.x1=3,x2=-1.(2):x1=-1是关于x的方程x2十 mx一5=0的一个根，设另一个根为x2,.x1x2=-5,解得x2=5,该方程的另一个根是5. 18.解：(1)三(2)移项，得2x2十4x=8.两边都除以2，得x2十2x=4.配方，得x2十2x十12 =4十12，即(x十1)2=5.两边开平方，得x+1=士5，∴x1=-1十√5，x2=-1-√5. 19.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,OA=OC..∠EAO=∠FCO.又 :∠AOE=∠COF,∴.△AEO≌△CFO(ASA).(2)解：添加EF⊥AC.理由如下：由(1)知， △AEO≌△CFO,.OE=OF.又OA=OC,.四边形AECF是平行四边形.又.EF⊥AC, .四边形AECF是菱形.20.(1)证明：，△=[-(m-3)]-4×1×(-m)=m2-2m十 9=(m一1)2十8>0，方程有两个不相等的实数根，(2)解：方程的两实数根为x1,x2, x1十x2=m-3,1x2=-m.xf十x号-x1x2=7,.(x1十x2)2-3x1x2=7,∴(m-3)2- 3×(一m)=7,解得m1=1,m2=2.即m的值是1或2.21.(1)证明：四边形ABCD是正 方形，△EBC是等边三角形，∴·.BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC= AB=DC. ∠ECB=60°.，.∠ABE=∠DCE=30°.在△ABE和△DCE中，∠ABE=∠DCE, BE=CE, ∴△ABE2△DCE(SAS.(2)解：BA=BE,∠ABE=30,∠BAE=号×(180 ∠ABE)=75.:在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90° 75°=15°.同理，∠ADE=15°，.∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-15-15°=150. 22.解：(1)设该款火腿销售量的月平均增长率为x.由题意，得150(1十x)=216.解得x1= 0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：该款火腿销售量的月平均增长率为20%. (2)设该款火腿的实际售价为y元/kg.由题意，得(y-120)[200一2(y-160门=9800.整理， 得y2-380y十36100=0.解得M=y2=190.答：该款火腿的实际售价应定为190元/kg. 23.(1)证明：·CE平分∠ACB,.∠ACE=∠ECB..MN∥BC,.∠ECB=∠OEC .∠ACE=∠OEC.∴.OE=OC.同理可得OC=OF,∴.OE=OF.(2)解：CE,CF分别平分 ∠ACB和∠ACD,·∠ACE=∠ACB,∠ACF=专∠ACD.∠ACE+∠ACF= ∠BCD=号×180=90.&EF=VCE+CF=2+5=13.由(1)，得0C=0E- 2 OR,OC-号EF=65.(3)解：当0在AC的中点时，四边形ABCF是矩形.理由如下：当 O为AC中点时，则OA=OC.由(1)可知，OC=OE=OF,.OA=OC=OE=OF..四边形 AECF为平行四边形，AC=EF..四边形AECF为矩形.24.解：(1)113(2)a十十4b- 8a+11=a2-8a+16+B+46+4-9=(a-4)2+(b+2)2-9..(a-4)≥0，(b+2)≥0，∴.a2+6 十4b-8a+11=(a-4)2+(b+2)2-9≥-9..代数式a2+b2+4b-8a十11的最小值 为-9.(3Sasm=SD十Sam=号BD.0A+号BD·0C=号BDOA+OC)=号BD: AC设BD=x,则AC=12-xSam=x12-）=-(x-12)=-7[(x 62-36]=-7（x-6P+18.”-号（x-6≤0，Ssww=-7（x-6P+18≤18. .四边形ABCD面积的最大值为18.25.解：(1)(2,8)(17,0)(2)当t=7时，四边形 AONM是矩形.(3)在运动过程中，四边形MNCB能为菱形.由题意可知OA=8,AB=15. 如图，川 过点B作BD⊥OC于点D,易得四边形AODB是矩形，.OD= M Cx 90