第1章 章末复习（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第一章 章末复习 思维导图 ◆·构建知识体系 性质一四条边 ,对角线互相 一有一组邻边 或对角线 的平行四边形是菱形 菱形 判定 L一四边 的四边形是菱形 面积一 底×高或两条对角线长的乘积的 殊平行 -四个角都是 ,对角线 性质 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 边形 矩形 有一个角是 或对角线 的平行四边形是矩形 判定 有三个角是 的四边形是矩形 性质一四个角都是 四条边 ,对角线 正方形 有一组邻边 或对角线 的矩形是正方形 判定 有一个角是 或对角线 的菱形是正方形 ■考点整合 。直击核心要点 考点1菱形的性质与判定 4.(2025·贵州中考)如图，在口ABCD中，E 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 为对角线AC的中点，连接BE,且BE⊥AC, 交于点O.下列结论错误的是 垂足为E.延长BC至F,使CF=CE,连接 A.AB-AD EF,FD,且EF交CD于点G. B.AC⊥BD (1)求证：□ABCD是菱形； C.AC=BD (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. D.∠DAC=∠BAC 2.(2025·湖南中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB 3,则四边形ABCD的周长为 A.6 B.9 C.12 D.18 (第2题图) (第3题图) 3.(2025·陕西中考)如图，在矩形ABCD中， AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至 点F,连接AE,CF.若四边形AECF为菱 形，则这个菱形的面积为 ( A.9 B碧 c型 n 22数学九年级全一册(BS) 考点2矩形的性质与判定 考点3正方形的性质与判定 5.(2026·盘州模拟)如图，在矩形ABCD中，对 8.半开放性题新趋势如图，在Rt△ABC中， 角线AC,BD相交于点O.若∠BDC=60°， ∠A=90°，D,E,F分别是边BC,AC,AB的 BD=6,则矩形ABCD的面积为( 中点，要使四边形AEDF为正方形，不添加 A.6√3B.9 C.9√3 D.18 辅助线，可以添加的条件是 .(写 出一个即可) (第5题图) (第6题图) B G (第8题图) (第9题图) 6.(2025一2026·毕节期末)如图，梯子AB斜 9.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上， 靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑 连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. 动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远 若BF=4,DE=9,则EF的长为 离墙角C点，P点和C点的距离 10.(2025·广安中考)如图，E,F是正方形 A.始终不变 B.不断变小 ABCD的对角线BD上的两点，BD=10, C.不断变大 D.先变小后变大 DE=BF,连接AE,AF,CE,CF. 7.半开放性题新趋势（贵州中考）如图，四边形 (1)求证：△ADE≌△CBF: ABCD的对角线AC与BD相交于点O, (2)若四边形AECF的周长是4√34，求EF AD∥BC,∠ABC=90°，有下列条件： 的长 ①AB∥CD,②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求 证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四 边形ABCD的面积. 第一章特殊平行四边形23 【聚焦课标 ··强化情境任务 11.阅读理解新趋势（黔东南期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC,且CD⊥BE,CD=3,BE=5.试求 BC+DE的值， (I)小明发现，过点E作EF∥DC,交BC的延长线于点F,经过推理得到口DCFE,再计算就 能够使问题得到解决（如图②），并写出推理和计算过程 参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题： (2)如图③，已知□ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF.求∠AGF的 度数 图① 图② 图③ 提示 请完成阶段微测试（二）汇第一章] 24数学九年级全一册(BS)基础过关 1.A2.B3.A4.25√2-16.20°7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC= DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D,AB=AD,∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF(ASA)..BE=DF..BC-BE=DC-DF,即CE=CF 能力提升 8.C9.210.1311.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE=∠CBE= AB-CB. 45°.在△EAB和△ECB中，∠ABE=∠CBE,.△EAB2△ECB(SAS).(2),·四边形 BE-BE, ABCD为正方形，∴.∠BDC=45°.△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，.∠CED=∠AED= 7∠AEC=22.5.∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5,·∠CED=∠DCE.DC=DE 12.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，且BE=AF,∴BA=AD,∠BAE=∠D=90. .△BAE≌△ADF(HL)...∠ABE=∠DAF..∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG= ∠BAD=90°.∴∠AGB=90°.∴.BE⊥AF.(2)解：由(1)知△BAE≌△ADF,∴.DF=AE= 2..正方形ABCD的边长为5，.CF=DC-DF=5-2=3..BF=BC十CF2=34. :BE⊥AF,点H为BF的中点，GH=号BF=号V 思维拓展 13.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明△NMP≌ △EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN,得EF=MH,再 求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 新知梳理 ①相等②互相垂直③直角④相等 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC.,DF⊥BC,.DF⊥AD.BE⊥ AD,∴.BE∥DF..四边形BEDF是平行四边形.：BE=DE,∴.四边形BEDF是菱形. :BE⊥AD,∠BED=90°.∴四边形BEDF是正方形.【例2】C 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.C4.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行 四边形.：AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD.∴∠EDA= ∠EAD.AE=DE..四边形AFDE是菱形.：∠BAC=90°，.四边形AFDE是正方形. (2)解：四边形AFDE是正方形，AD=3√2，.AF=DF=DE=AE=3..四边形AFDE 的面积为3×3=9. 能力提升 5.D6.22.5°7.证明：(1)四边形ABCD为正方形，.AB⊥BC,∠B=90°.EF⊥AB EG⊥BC,∴.∠BFE=90°，∠BGE=90°.又.∠B=90°，.四边形BFEG是矩形.(2)·正方 形ABCD的周长是40cm,∴.AB=10cm.:四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°. .∠AEF=90°一∠BAC=45°.，△AEF为等腰直角三角形.，.AF=EF..AF=5cm,AB= 10cm,.BF=AB-AF=5cm..EF=BF=5cm..四边形BFEG是正方形. 思维拓展 8.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,∴.∠EMC=∠ENC=∠END= 90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA,∴.∠MEN=360° ∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN.∴.∠FEM+∠FEN=90°.：EF⊥DE, .∠DEF=90°..∠DEN+∠FEN=90°.，.∠FEM=∠DEN..△FEM≌△DEN (ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由(1)知矩形 DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.AD= CD=AB=4VE,∠ADE+∠EDC=90°，.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌△CDG(SAS). .AE=CG.∴CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 58 专题一中点四边形问题【回归教材·通性通法】 L.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线..EH= 号BD,EH/BD,同理，FG=号BD,FG/BD.EH=FG,EH∥FG.四边形EFGH是 平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.:E, F分别是AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=号AC.同理，得HG/ ACHG=专ACEF∥HG,EF=HG.四边形EFCH是平行四边形.：AB=AD,BC= CD,,AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的中点，.EH是 △ABD的中位线.∴EH∥BD.EF∥AC,.EF⊥EH,即∠HEF=9O°.∴.四边形EFGH 是矩形.【变式题]C【拓展练】织 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.B2.75°3.A4.(1)证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠D=90°.由 折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB..∠AEB=∠CEF,.△ABE≌ △CFE(AAS).(2)证明：：△ABE≌△CFE,∴AE=CE.∴△AEC是等腰三角形.(3)解：设 CE=AE=x..四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在Rt△ABE 中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证明：由折叠的性质 知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+ ∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由 折叠的性质知AE=AP=AF,AF=令EF,同理可得CG=2GH.:四边形EFGH是菱 形，.EF=GH,EF∥GH..AF=CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG= AC.:四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=√6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3. .FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：四边形ABCD是正方形， ∴.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.'AE=DF,∴.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO十∠ABE)=90°.∴AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂直，【变式题1】4 【变式题23√22.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.:四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∴.∠BAE+∠AEB=90°.AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE 即BM=BE.∴.△BEM是等腰直角三角形.∴.∠BME=45°.∴.∠AME=180°-∠BME= 135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°.∠AEB+∠CEF=90°.∴∠BAE=∠CEF.,∠DCG=180° ∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45°.∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°. ∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF(ASA)..AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如 下：延长BA至点H,使AH=CE,连接HE.四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB= BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD=90°，∠DAE=∠AEB.·△BEH是等腰直角三角形. ·∠H=45.:CF平分∠DCE,·∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECR.:∠AEF= 90°，∴.∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF.∴.△AEH≌△EFC(ASA). AE=EF.3.解：(1)：四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADF=90°，AB=AD. ∴∠ADG=90°=∠B.DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS).∴∠DAG=∠BAE,AE=AG. ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG. AF=AF,△AFG≌△AFE(SAS).∴.EF=FG.∴.EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证△AEB≌ △AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB十∠BAG=∠GAD十∠BAG=90°.·.∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°...∠EAF= ∠GAF..AF=AF,.△EAF≌△GAF(SAS)..EF=FG..FD=FG+DG,.DF=EF+BE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·贵州热点】 1.5【变式题1】2.4【变式题2】解：(1)，四边形ABCD是菱形，.AO=CO,AC⊥BD, B0=2BD=8,在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.·AC=2A0=12.S#D 59 号AC·BD=96.(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△m 号S#m=Sa十Sam,即号X96=合×10GE+合×10GF,GE+GF=96.GE+ GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,∠BAC 合∠BAD=60.∠B=180-∠BAD=60.∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC △AEF为等边三角形，∴AE=AF,∠EAF=60..∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC, 即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE≌△ACF(SAS)..BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不 发生变化.：△ABE2△ACF,∴.S△E=SAXF.∴.S四边形AF=S△r十SAACF=S△r十S△AE S△C.由(1)知△ABC为等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H,易得AH=2V5,.SAAx 号×4X2B=4.∴Sa8m=5s=4.4395g6万73万835 【变式题】6√39.6.510.2十2w/1311.√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三 种草图如图所示。 D(H) r(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半直角 相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC,∴.BE垂直平分AC ∴.AB=BC.,四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形.(2)解：：BE=EF,∴∠EBF= ∠EFB..CF=CE,,.∠CEF=∠CFE.,.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF :∠BEC=90°，∴∠BCE+∠EBC=3∠EBC=90°.∴∠CBE=30°，∠BCA=60°.∴.∠ACB= ∠ACD=60°.∴.∠DCF=6O°..∠BCE=∠DCF.:BC=DC,CE=CF,∴.△BCE≌ △DCF(SAS).∴.∠DFC=∠BEC=90°，∠CBE=∠CDF=30°.∴.CD=2CF=8.∴.DF= CD-CF=45.∴△DCF的面积为2CF,DF=号×4X45=8.5.C6,A 7.(1)选择①，证明：，AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形.选择②，证明：：AD∥BC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ABC=90。 :AB=3,AC=5,.BC=√AC-AB=4.∴.四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=BC,AD∥ BC.∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接AC,交BD 于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD=号BD=5.:DE= BF,∴.OD-DE=OB-BF,即OE=OF..四边形AECF是平行四边形.又BD⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形，EF=2OF.:四边形AECF的周长为4AF=4√34，∴.AF=√34. 在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边形.∴.EF=CD=3,CF=DE. 60 :CD⊥BE,EF⊥BE.∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE+EF=√+3=√34.即 BC+DE的值为√34.(2)连接AE,CE.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥DC,AB= CD.:四边形ABEF是矩形，AB∥FE,BF=AE,AB=EF..CD=EF,CD∥EF.∴.四边 形DCEF是平行四边形..CE∥DF,CE=DF,AC=BF=DF,AC=AE=CE. △ACE是等边三角形.∴∠ACE=60°.：CE∥DF,∴∠AGF=∠ACE=60°. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.C2.D3.3x2-7=02x2-4x+5=0x2-3x-4=03210-4-3-7 5-44.B5.x(12-x)=32x2-12x+32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得2x= (2一x)2.化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得(x一2)2十x2十 (x十2)2=251，化成-般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.53.20294.C5.解：假设能围成，设矩形花圃的一边长为xm,则其邻边长为 (20-x)m.根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x-20.x十75=0.用列表法估算方程的 解，可得x=5或x=15.当x=5时，20-x=15;当x=15时，20-x=5.答：能围成一个面 积为75m的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20258.x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251-号×10=15，用列表 法估算方程的解，可得t~0.7或4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 新知梳理 ①-m十√m-m-√n②一半 例题引路 【例1】解：(1)移项，得(x-5)2=9.两边开平方，得x-5=±3，即x-5=3,或x-5=-3. =8=2.2)移项，得2-4=.配方，得2-4十（号）=7十（号），即x-2 11.两边开平方，得x-2=士√.∴x=2十√，x2=2-√.(3)移项，得x2十5x=6. 配方，得2+5十（受）=6十（号），即(：+号)=望两边开平方，得x十号=±子 .x1=1,x2=-6.【例2】8 基础过关 1C2D3解：1)整理，得产=要一写<0÷方程没有实数根.(2周边开平方，得 9 3-1=士9，即3x-1=9,或3x-1=-9.=号=-g.4.1)93(2) 4 2 (3)是是5C6解：)移项，得+10x=-8配方，得x+10x十() =-8 (受)，即(x+5)=17.两边开平方，得x十5=士，即x+5=,或x十5=-m =-5+=-5-.(2)配方，得-+（受）=-号十()，即（女 子)=10，两边开平方，得x-号=士而，脚x-子=而，或x-名=-瓜.∴ 7 7+2,四，x7-2而 2 2 61 能力提升 7.C8.B9.6或2√1310.解：(1)②(2)移项，得x2-4x=1.配方，得x2-4x十4=1十 4,即(x-2)2=5.两边开平方，得x-2=士√5，∴.1=2十√5，x=2-√5. 思维拓展 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，.(x十2)2-4=4. ∴(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士25.x1=-2+2√5，x2=-2-2√5， 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 基础过关 1B2.A3解：1两边都除以2，得2+2x=3配方，得+2x+(号)广=3十（号）， 即(x十1)=4.两边开平方，得x十1=士2，即x十1=2，或x十1=-2.∴x1=1,x2=-3. (2)移项，得5r-2x=3.两边都除以5，得-导=子配方，得2-号x十（号×号） 哥+（合×号），即（一吉）=爱两边开平方得x一号=士号，即x一号=手，或x =一青=1西=一3)移项，得-4红=一2.两边都除以，得-8x=-4 配方，得x-8x十（受）=-4十（受），即(x一=12.两边开平方，得x一4=士25.即 x-4=2V5,或x-4=-23.∴.x1=4十25，x=4-25. 能力提升 4.D5.三 6-3或号 7.解：(1)整理，得2x2-8x=10.两边都除以2，得x2-4x=5.配方，得 -4红十（号）=5十（号），即(x一2)=9两边开平方，得x-2=士3，即x-2=3,或x一2= -3=5=-1.(②整理，得3十2江=-1两边除以3，得r十号=一子配方，得2十 （×号）=子+（×号），即(+)=号“号<0方程设有实 2 数根， 专题四配方法的四种常见运用【贵州热点】 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)+5=4(x-1)2+5.:4(x-1)2≥0， .4(x-1)2+5≥5.∴.代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)42(2)x2-4x十 5=x2-4x+22-22+5=(x-2)2+1.(x-2)2≥0，.(x-2)2+1≥1..当(.x-2)2=0 时，x2-4x十5存在最小值1.(3)：-x2-2x十2=-(x2+2x)十2=-(x2+2x十1)十1十2= -(x十1)2十3，-(x十1)2≤0，.-(x十1)2十3≤3，.当(x十1)2=0时，代数式-x2 2x十2有最大值3.3.解：x2-1-(2x-3)=x2-2x十2=(x-1)2十1.(x-1)2≥0， (x-1)2+1>0..x2-1>2x-3.4.15.解：a2-8a十}-6b十c2-6c十34=0， ∴.(a2-8a+16)十(-6b+9)+(c2-6c+9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.(a 4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，∴.a-4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3. ∴.△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2-4xy十4y-y=(x-2y)2-y=(x-2y十 y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y), 第3课时用公式法求解一元二次方程 新知梳理 ①≥ -b±√B-4ac 2a ②不相等相等没有 例题引路 【例1】解：(1)这里a=1,b=-2,c=3.b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,.方程没有 实数根.(2)这里a=2,b=7,c=0.:B-4ac=7:-4X2X0=49>0,x=7)失4@ 2×2 二77，即1=0，=-子.【例2】m>0且m≠1 4 一 62 基础过关 1.D2.B3解：10这里a=了6=-2c=3.6-4ac=(-2)-4X号X3=0x =（-2)±0=3，即1==3.(2)将原方程化为一般形式，得x-25x十10=0.这里a= 2×3 1,b=-25,c=10..6-4ac=(-2V5)2-4×1×10=-20<0,.方程没有实数根.4.C 5.A6.C7.-2(答案不唯-，m<-号即可）8.解：1)这里a=1,b=-3厄c=4 △=b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0，∴.方程有两个不相等的实数根.(2)将原方程化 为一般形式，得x2十5x十10=0.这里a=1,b=5,c=10.,△=-4ac=52-4×1×10=-15<0, 方程没有实数根. 能力提升 9.B10.D【变式题】k≤111.解：(1)一(2)将原方程化为一般形式，得3x2一5x一2= 0.这里a=3,b=-5,c=-2.:b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,.x= 二（-议若厘5吉7，即1=2w=一子 2X3 思维拓展 12.(1)证明：：△=[-(m十1)]2-4×3(m-2)=m2+2m+1-12+24=m2-10m+25= (m一5)2≥0，.无论为何值，方程总有两个实数根.(2)解：分两种情况讨论：①当℃为腰长时， 则方程必有一个根为5，.5一5(m十1)十3(m一2)=0，解得m=7..原方程为x2一8x十15=0， 解得x1=3,x2=5..△ABC的三边长为5,5,3.∴.△ABC的周长为5+5+3=13.②当BC 为底边时，则方程有两个相等的实数根，∴.△=(m一5)2=0，解得m=5.∴原方程为x2-6x +9=0,解得x1=x2=3.∴△ABC的三边长为5,3,3.∴.△ABC的周长为5十3十3=11.综 上所述，△ABC的周长为13或11. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 新知梳理 ②00 例题引路 【例1】解：(1)原方程可变形为x(x-3)=0.x=0,或x-3=0.∴=0,2=3.(2)原方程可变 形为(x-5)(x十1)=0.x-5=0,或x十1=0.x=5,x2=-1.(3)原方程可变形为6x2+ 3x-(2x+1)=0.(2x+13x-1)=0.2x+1=0,或3x-1=0.=-号=子【例 2】② 基础过关 1.B2.C3.解：(1)原方程可变形为x(4x-11)=0.x=0,或4x一11=0..x1=0,x2= ,C2)原方程可变形为5x+4)-x(5x+4)=0,(⑤x十4)0-)=0.5x+4=0,或1一x9 0.1=一5x:=1.(3)原方程可变形为(x十2)=0.x十2=0.x1=y=一2.(4)原方 4 程可变形为9r2-4=0.(3x十2)(3x-2)=0.3x十2=0，或3x-2=0.1=-号，= 2 2 4.A5解：1配方，得2-2x十（号）=3十（号），即(x-1)=4.两边开平方 得x-1=士2，即x-1=2,或x-1=-2.∴.x1=3,x2=-1.(2)将原方程化为一般形式，得 3x2-7x十2=0.这里a=3,b=-7,c=2.2-4ac=(-7)2-4×3X2=25>0,.x= 《-0吉西-告5即=2，行 2×3 能力提升 6.C7.208.解：(1)①B②等式的基本性质(2)这里a=3,b=-6,c=1.-4ac= （一69-X3x1=24>0=《二装区=1上9即4=19=1号(8)原 2×3 方程可变形为3(x-2)2-(x2-4)=0.(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，(x-2)(2x-8)= 0.x-2=0,或2x8=0.∴.x1=2,x2=4. 63