易错点3专项突破：圆-2025-2026学年小升初总复习数学

**基本信息** 聚焦圆的概念、公式及转化应用，通过典例系统构建“概念-推导-应用”逻辑链，渗透赋值、转化等解题方法，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择3、填空9|圆周率本质、直径半径关系|从墨子名言切入概念本质，建立圆的基本属性认知| |公式应用|选择2、填空7、解答19|周长面积公式直接应用|强化“半径（直径）→周长→面积”计算链条| |转化思想|选择5、填空8、15|圆与长方形转化、内接/外切正方形|通过“剪拼”“等积变形”推导公式，培养空间观念| |实际应用|解答21、23、24|圆环面积、间隔问题、行程问题|结合生活场景（集体舞、过桥、花坛）构建数学模型，发展应用意识|

专题04 平面图形 易错点3专项突破：圆 一、选择题 1．长方形、正方形和圆，它们的面积相等，则（    ）的周长最短。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．不能确定 2．广场上有一个直径是4m的圆形喷水池，这个喷水池的占地面积是（    ）m2。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 D．50.24 3．我国古代著名思想家墨子在2400多年前曾说过：“小圆之圆与大圆之圆，同。”这句话中的“同”表示大圆与小圆的（    ）相同。 A．直径 B．周长 C．面积 D．圆周率 4．半径为的半圆，它的周长是（    ）。 A． B． C． D． 5．一个圆沿着半径切开成若干个扇形后拼成一个近似长方形，若这个长方形的周长是33.12厘米，则原来圆的面积是（    ）平方厘米。 A．50.24 B．25.12 C．100.48 D．28.26 二、填空题 6．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是( )平方厘米。 7．一个钟表的分针长20厘米，经过半小时后，分针扫过的面积是( )平方厘米。 8．在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是( )平方厘米。 9．大、小两个圆的直径分别是10厘米和6厘米，大、小两个圆的周长的比是( )，面积的比是( )。 10．如图，圆的半径为r厘米，则圆外最小正方形的面积是( )平方厘米，圆内最大正方形的面积是( )平方厘米。（答案用含有字母的式子表示） 11．霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是( )米，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是( )平方米。 12．在9时整时，时针与分针成( )角，如果分针长6厘米，那么到9时30分时，分针的针尖走过的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 13．如图，等边三角形的边长是4厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米，空白部分的周长是( )厘米。 14．马老师以正方形的其中一个顶点为圆心，以边长为半径画了一个圆。如图，已知正方形的面积是10cm2，那么圆的面积是( )cm2。 15．把一个圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形（如图）。如果这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了20厘米，那么这个圆的半径是( )厘米，它的面积是( )平方厘米。 三、计算题 16．求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 17．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 四、解答题 18．有一个圆形的草坪，它的周长是6280厘米，它的占地面积是多少？如果每平方米草坪的价格是8元，铺满这个草坪需要多少钱？ 19．一个石英钟，它的分针长15厘米。半小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 20．红星村挖了一口井，井口的外沿周长3.14米，想给它配上一个井盖，井盖的面积是多少？如果沿着井边铺3.5米宽的石子地，每车小石子能铺12平方米，那么至少要运几车？ 21．为了校庆，学校准备编排一套大型集体舞，60名学生围成两个套在一起的大小不同的圆圈，并且每个圆圈上人与人之间的间隔都一样，大圈半径6米，小圈半径4米。那么你知道内、外圈各应站多少名学生吗？ 22．一种零件的横截面是一个圆环，外圈半径是8分米，内圈半径是6.5分米，这种零件横截面的面积是多少平方分米？ 23．一辆自行车轮胎的外直径约是70厘米。如果平均每分钟转100周，通过一座1318.8米长的桥，需要几分钟？ 24．人民广场新建了一个圆柱形花坛，花坛中间有一个底面周长是6.28m的圆柱形喷水池，准备在距喷水池边1m处栽一圈观赏树，如果沿着这一圈每隔1.57m栽一棵，一共要栽多少棵观赏树？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】可用赋值法解决，假设长方形、正方形和圆面积均为36，此时长方形的长和宽有9和4、12和3、18和2、36和1多种组合，以上所有长方形对应的周长都大于正方形的周长；圆在计算时不能得到整数，计算半径是需要取近似估算，估算的结果不会影响整道题的结果，再分别计算出长方形、正方形和圆的周长，比较数值即可。 【详解】假设面积均为36， 长方形： ，所以长为9，宽为4，周长：； 正方形： ，所以边长为6，周长：； 圆： ，所以 ，则，周长为 长方形、正方形和圆，它们的面积相等，则圆的周长最短。 2．B 【分析】先根据“半径＝直径÷2”求出半径，再利用圆的面积公式“”求出圆形喷水池的占地面积。题中未特殊说明时π取3.14。 【详解】圆的半径4÷2＝2（米） 圆的面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3．D 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。两个圆的大小不同，那么半径、直径、周长、面积都不同。据此即可选择。 【详解】根据分析可知，我国古代著名思想家墨子在2400多年前曾说过：“小圆之圆与大圆之圆，同。”这句话中的“同”表示大圆与小圆的圆周率相同。 故答案为：D 4．D 【分析】根据圆的周长公式，以及直径，半圆周长是圆周长的一半＋直径，据此解答。 【详解】 半径为的半圆，它的周长是。 故答案为：D 5．A 【分析】把一个圆沿半径切成若干个扇形后拼成一个近似长方形，这个长方形的长近似于圆周长的一半，即πr，长方形的宽近似于圆的半径r；根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”得（πr＋r）×2＝33.12，其中πr＋r＝（π＋1）r＝（3.14＋1）r＝4.14r，所以用长方形周长除以2，再除以4.14可计算出圆的半径；最后根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆的面积。 【详解】由分析可知： 3.14＋1＝4.14 圆的半径为： 33.12÷2÷4.14 ＝16.56÷4.14 ＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 所以原来圆的面积是50.24平方厘米。 故答案为：A 6．414.48 【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积＝半径是（8＋3×2）厘米圆的面积－半径是8厘米的圆的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【详解】8＋3×2 ＝8＋6 ＝14（厘米） 3.14×（142－82） ＝3.14×（196－64） ＝3.14×132 ＝414.48（平方厘米） 7．628 【分析】分针转动一周是一小时，它扫过的区域是一个圆，那么经过半小时就是转了半圈，扫过的区域就是一个半圆，分针的长度是圆的半径，圆的面积公式：，先求出整个圆的面积，再除以2就是半个圆的面积。 【详解】3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256÷2＝628（平方厘米） 即：经过半小时后，分针扫过的面积是628平方厘米。 8．28.26 【分析】长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径，根据圆的周长＝，长方形的长是，宽是r，长比宽多。用6.42厘米除以（3.14－1），即可求出圆的半径，再根据圆的面积＝即可求出圆的面积。 【详解】6.42÷（3.14－1） ＝6.42÷2.14 ＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 即圆的面积是28.26平方厘米。 9． 5∶3 25∶9 【分析】根据圆的周长和面积公式，分别求出大小圆的周长和面积，再根据比的意义，就可求出大小两个圆的周长的比和面积比。 【详解】大圆的周长是：10×π＝10π（厘米） 小圆的周长是：6×π＝6π（厘米） 大小周长的比是：10π∶6π＝（10π÷2π）∶（6π÷2π）＝5∶3 大圆的面积是：π×（）2＝π×52＝25π（平方厘米） 小圆的面积是：π×（）2＝π×32＝9π（平方厘米） 大小两个圆的面积的比是：25π∶9π＝（25π÷π）∶（9π÷π）＝25∶9 大、小两个圆的直径分别是10厘米和6厘米，大、小两个圆的周长的比是5∶3，面积的比是25∶9。 10． 4r2 2r2 【分析】观察图形可得：圆外最小正方形的面积＝边长为（r＋r）厘米的正方形的面积，圆内最大正方形的面积＝底为（r＋r）厘米、高为r厘米的三角形的面积×2，然后再根据正方形的面积公式S＝a2，三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。 【详解】（r＋r）2 ＝2r×2r ＝4r2（平方厘米） （r＋r）×r÷2×2 ＝2r×r ＝2r2（平方厘米） 圆外最小正方形的面积是4r2平方厘米，圆内最大正方形的面积是2r2平方厘米。 11． 6.28 2 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出圆桌的周长。 根据圆内最大正方形的特征，把圆内的这个正方形分成两个完全一样的三角形，这两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据平行四边形的面积＝底×高，把数据代入公式求出这个正方形的面积。 【详解】3.14×2＝6.28（米） 2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方米） 该圆形桌面的周长是6.28米，这个正方形的面积是2平方米。 12． 直 18.84 56.52 【分析】在9时整时，时针指向9，分针指向12，根据角的分类，时针与分针成直角；分针1小时转一圈，从9时到9时30分，分针转了半圈，分针的长度即为圆的半径，根据圆的周长公式“C＝2πr”计算出圆的周长，再除以2即为分针的针尖走过的路程；根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆的面积再除以2。 【详解】在9时整时，时针指向9，分针指向12，所以时针与分针成直角； 2×3.14×6÷2 ＝6.28×6÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（厘米） 所以分针的针尖走过的路程是18.84厘米； 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方厘米） 所以分针扫过的面积是56.52平方厘米。 13． 6.28 6.28 【分析】由题意可知，阴影部分是三个形状相同的扇形，扇形的半径是三角形边长的一半，三个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和，则阴影部分的面积可以转化为半圆的面积，利用“”即可求出阴影部分的面积；空白部分的周长由扇形的三段弧组成，它们的和刚好等于圆周长的一半，利用“”即可求出空白部分的周长，据此解答。 【详解】三角形的内角和为180°。 3.14×（4÷2）2× ＝3.14×22× ＝12.56× ＝6.28（平方厘米） 2×3.14×（4÷2）× ＝2×3.14×2× ＝12.56× ＝6.28（厘米） 所以，阴影部分的面积是6.28平方厘米，空白部分的周长是6.28厘米。 14．31.4 【分析】从图中可知，圆的半径等于正方形的边长；因为正方形的面积＝边长×边长，进而得出半径的平方是10cm2，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】圆的面积是： 3.14×10＝31.4（cm2） 【点睛】本题考查圆的面积公式的灵活运用，从图中观察到圆的半径等于正方形的边长是解题的关键。 15． 10 314 【分析】由图可知，近似长方形的长相当于圆周长的一半，近似长方形的宽相当于圆的半径，近似长方形的周长比圆的周长多了2条半径的长度，根据增加部分的周长求出这个圆的半径，最后利用“”求出这个圆的面积，据此解答。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以，这个圆的半径是10厘米，它的面积是314平方厘米。 16．21.98平方厘米 【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方厘米） 17．5.16平方厘米 【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝长方形的面积－（圆的面积＋半圆的面积），根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2进行解答。 【详解】长方形的面积： （4＋4÷2）×4 ＝（4＋2）×4 ＝6×4 ＝24（平方厘米） 圆与半圆的面积之和： 3.14×（4÷2）2＋3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×4＋3.14×4÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方厘米） 阴影部分的面积： 24－18.84＝5.16（平方厘米） 阴影部分的面积是5.16平方厘米。 18．314平方米；2512元 【分析】已知圆形草坪的周长是6280厘米，根据圆的周长公式“C＝2πr”得“r＝C÷π÷2”，即用圆的周长除以π计算出直径长度，再除以2计算出半径长度，再根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆的面积；已知每平方米草坪价格是8元，根据“总价＝单价×数量”，这里数量就是草坪的面积，计算出铺满草坪需要的费用。 【详解】6280÷3.14÷2 ＝2000÷2 ＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：它的占地面积是314平方米。 314×8＝2512（元） 答：铺满这个草坪需要2512元。 19．47.1厘米 【分析】分钟半小时走的路程是以分针长为半径的圆的周长的一半，根据圆的周长＝圆周率×半径×2，求出半径为15厘米的圆的周长，再除以2即可解答。 【详解】3.14×15×2÷2 ＝47.1×2÷2 ＝47.1（厘米） 答：分针的尖端所走的路程是47.1厘米。 20．0.785平方米；5车 【分析】根据C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出井盖的面积； 根据题意，石子地和井盖组成了一个圆环，用外圆的面积－井盖的面积＝石子地的面积，其中外圆的半径是（0.5＋3.5）米，根据圆的面积公式，代入数据计算求出石子地的面积；再用石子地的面积除以每车小石子能铺的面积，商用“进一法”取整数，就是至少要运的车数。 【详解】圆的半径： 3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（米） 井盖的面积是： 3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 石子地的面积： 3.14×（0.5＋3.5）2－0.785 ＝3.14×16－0.785 ＝50.24－0.785 ＝49.455（平方米） 至少要运的车数： 49.455÷12≈5（车） 答：井盖的面积是0.785平方米；至少要运5车。 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积、圆环的面积公式的灵活应用，明确要求的是什么，再利用相应的公式列式计算。 21．内圈24名，外圈36名 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可知，大小两个圆的周长比等于它们的半径之比，又已知每个圆圈上人与人之间的间隔都一样，那么大小两个圆圈上站的人数之比就等于两个圆的周长之比；根据按比分配的方法，用总人数除以总份数求出一份数，再用一份数分别乘大小圆圈上的人数之比，即可求出内、外圈各应站的人数。 【详解】6∶4＝3∶2 60÷（3＋2） ＝60÷5 ＝12（名） 内圈站：12×2＝24（名） 外圈站：12×3＝36（名） 答：内圈应站24名学生，外圈应站36名学生。 【点睛】掌握按比分配的解题方法，明确要分配的总量是多少，以及按照什么比进行分配，求出一份数是解题的关键。 22．68.295平方分米 【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（82－6.52） ＝3.14×（64－42.25） ＝3.14×21.75 ＝68.295（平方分米） 答：这种零件横截面的面积是68.295平方分米。 【点睛】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．6分钟 【分析】根据圆的周长＝πd，先求出车轮转一周的长度，车轮转一周的长度×每分钟转动周数＝自行车一分钟行驶路程，桥的长度÷自行车一分钟行驶路程＝需要的时间，据此列式解答。 【详解】3.14×70×100＝21980（厘米）＝219.8（米） 1318.8÷219.8＝6（分钟） 答：需要6分钟。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 24．8棵 【分析】根据植树问题可知，圆形水池的一周种一圈观赏树，这一圈观赏树形成一个圆形，它的半径为：水池的半径＋1米，树的棵数＝间隔数，用水池一周的长度，除以每个间隔的长度即可求解。 【详解】6.28÷3.14÷2＋1 ＝1＋1 ＝2（米） 3.14×2×2÷1.57 ＝6.28×2÷1.57 ＝12.56÷1.57 ＝8（棵） 答：一共要栽8棵观赏树。 【点睛】本题考查了植树问题，关键求出是圆形喷水池的半径，利用树的棵数＝间隔数，解决问题。 答案第2页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $