安徽省合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高二下学期第三次段考数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过农业作物生长、英语口语考试等现实情境问题设计，考查抽象能力、推理能力与数据观念，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列前n项和、二项式系数、正态分布|基础概念辨析，如第7题结合正态分布对称性考查推理能力| |多选题|3/18|二项式常数项、概率分布、独立性检验|第11题通过2×2列联表考查数据观念与统计推断| |填空题|3/15|排列组合、展开式系数、条件概率|第14题以追星调查为背景，强化数学语言表达现实问题| |解答题|5/67|数列通项与求和、线性回归、函数极值、概率分布|第17题作物高度统计渗透数学建模，第19题考试得分分布体现应用意识，符合高考命题趋势|

宏图大地中学2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第三次段考 试卷 命题人：俞勤； 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 1、 单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．记为等比数列的前项和，若,,则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 【答案】C 【解析】选.设等比数列 的公比为,因为,, 若,则,得,则,故, 则,所以, 所以,所以. 2．设随机变量X～B(8，)，Y＝2X－1，则D(Y)＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选D.因为随机变量X～B(8，)，则D(X)＝8××(1－)＝2，又因为Y＝2X－1，则D(Y)＝4D(X)＝8. 3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为n(AB)＝CC＋CC＝13，n(A)＝CC＝40， 所以P(B|A)＝＝. 4．在二项式(1＋2x)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 解析：选A．二项式(1＋2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C·2k·xk，令k＝3，得展开式中含x3的项为T4＝C×23×x3＝32x3，故x3的系数为32. 5．已知,为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】选.因为,,为正实数，所以 恒成立， 所以 在 上为增函数， 所以函数 在 上的最大值为,即, 所以 在 上的最小值为. 6．在某运动会上，教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团体比赛，不同的选法有(　　) A．35种 B．53种 C．A种 D．10种 解析：选D．由组合的定义，通过列举法可知有10种不同选法． 7．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X<2.5)＝1－3m，则P(X<2.5)＝(　　) A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85 解析：选C.因为随机变量X～N(2，σ2)，所以P(X≤1.5)＝P(X≥2.5)＝m， P(X≥2)＝P(X≥2.5)＋P(2≤X<2.5)＝m＋1－3m＝0.5，解得m＝0.25，所以P(X<2.5)＝1－P(X≥2.5)＝0.75. 8．已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设切点为,由 得,因为直线 与曲线 相切，所以,解得,,所以,,又,在直线 上，所以,解得. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9．若二项式(x＋)6的展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选AB．(x＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·()k＝Cx6-kmk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为Cm4＝15，则m4＝1，解得m＝±1. 10．(多选)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的有(　　) A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为 解析：选AC．记未使用过的乒乓球为M，已使用过的乒乓球为N，任取3个球的所有可能有1个M球和2个N球、2个M球和1个N球、3个M球． M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正确； 又P(X＝3)＝＝，故C正确；P(X＝4)＝＝，故D错误；P(X＝5)＝＝，所以X最有可能的取值是4，故B错误． 11．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计，得到如图所示的表格，则下列说法正确的是(　　) 单位：名 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 解析：选AC.对于A，喜爱物理学科的学生共有60＋20＝80(名)，故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为＝，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理学科的女生有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为＝，B错误； 对于C，D，χ2＝≈33.333＞10.828，故依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001，C正确，D错误． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 解析：从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，这是个排列问题．所以总共有5×4×3＝60种不同的填法． 答案：60 13．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________． 解析：因为(1－x)5中x3的系数为C(－1)3＝－10，(1－x)6中x3的系数为C(－1)3＝－20， 因此(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数为－10－(－20)＝10. 答案：10 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是____________． 解析：记事件A1代表所选学生为女生，A2代表所选学生为男生，B代表所选学生追星． 设女生人数为x， 则男生人数为2x，总人数为x＋2x＝3x. 所以P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝， 所以这名学生追星的概率 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×＋×＝. 答案： 四．解答题 15．（本小题满分13分）已知是公差为3的等差数列，数列满足,,. （1） 求的通项公式；（6分） （2） 求的前项和.（7分） 【答案】 （1） 解：由已知，，， 得， 所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列，所以. （2） 由（1）知，，即， 所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， 记 的前 项和为， 则. 16．(15分)在(2－)6的二项展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(7分) (2)含x2的项．(8分) 解：(1)在(2－)6的展开式中，第3项的二项式系数为C＝15， 第3项为T3＝C(2)4(－)2＝15×24x＝240x，所以第3项的二项式系数为15，系数为240. (2)二项式(2－)6展开式的通项是Tk＋1＝C(2)6-k·(－)k＝(－1)k·26-kCx3-k，k∈N，k≤6， 由3－k＝2，得k＝1，T2＝(－1)1·25Cx2＝－192x2， 所以含x2的项是－192x2. 17．(15分)某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化． 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察表格数据可知，天数x与作物高度y之间具有线性相关关系，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程＝x＋(其中，用分数表示)；(10分) (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差．(5分) 参考公式：参考数据：∑10,i＝1xiyi＝710. 解：(1)依题意，得 ＝＝5.5， ＝10＋＝12， 故 ＝＝， ＝12－×5.5＝， 故所求经验回归方程为＝x＋. (2)由(1)可知，当x＝22时，＝×22＋＝22，故所求残差为21.3－22＝－0.7(cm). 18．（本小题满分17分）已知函数. （1） 若,,求函数的单调区间；（5分） （2） 若,在上存在极值，求的取值范围.（12分） 【答案】 （1） 解：由题可知,则, 令,得，令,得. 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） 由题可知,则. 令,则. 所以 在 上恒成立，所以 在区间 上单调递增. 易知,, 因为 在区间 上存在极值， 所以 解得. 所以 的取值范围为. 19．(17分)甲、乙两名同学参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格． (1)若一次考试中甲答对的题数是X，求X的分布列，并求甲合格的概率；(7分) (2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记Y为乙所得分数，求Y的分布列．(8分) 解：(1)依题意得X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲合格的概率为P(X≥2)＝＋＝. (2)依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，即Y的可能取值为－5，5，15，则P(Y＝－5)＝＝，P(Y＝5)＝＝，P(Y＝15)＝＝，所以Y的分布列为 Y －5 5 15 P 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第三次段考 试卷 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 1、 单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．记为等比数列的前项和，若,,则（ ） A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 2．设随机变量X～B(8，)，Y＝2X－1，则D(Y)＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 4．在二项式(1＋2x)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．32 B．16 C．8 D．4 5．已知,为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 6．在某运动会上，教练想从5名女运动员中选出3名参加乒乓球女子团体比赛，不同的选法有(　　) A．35种 B．53种 C．A种 D．10种 7．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X<2.5)＝1－3m，则P(X<2.5)＝(　　) A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85 8．已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9．若二项式(x＋)6的展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 10．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的有(　　) A．X的所有可能取值是3，4，5 B．X最有可能的取值是5 C．X等于3的概率为 D．X等于4的概率为 11．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计，得到如图所示的表格，则下列说法正确的是(　　) 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则总共有________种不同的填法． 13．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是________． 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是____________． 四．解答题 15．（13分）已知是公差为3的等差数列，数列满足,,. （1） 求的通项公式； （2） 求的前项和. 16．(15分)在(2－)6的二项展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项． 17．(15分)某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化． 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察表格数据可知，天数x与作物高度y之间具有线性相关关系，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程＝x＋(其中，用分数表示)； (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差 参考公式：参考数据：∑10,i＝1xiyi＝710. 18．（17分）已知函数. （1） 若,,求函数的单调区间； （2） 若,在上存在极值，求的取值范围. 19．(17分)甲、乙两名同学参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格． (1)若一次考试中甲答对的题数是X，求X的分布列，并求甲合格的概率； (2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记Y为乙所得分数，求Y的分布列． 学科网（北京）股份有限公司 $