2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末复习——阅读与思考

**基本信息** 以“概念-推导-应用”逻辑链构建专项训练，融合类比、转化等思想，通过17个探究任务系统培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式乘除|5题|“完美积式”判别式法、头同尾合十速算、逆向公式应用|从多项式乘法到特殊形式规律，构建代数运算体系| |几何应用|8题|辅助线构造、分类讨论角关系、筝形性质推导|以平行线和三角形为基础，拓展至复杂图形性质探究| |数学思想|4题|类比迁移（多项式除法）、转化思想（内角和证明）|通过跨领域问题（光反射、物理情境）强化模型意识|

北师大版数学七下期末复习 1．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即（ax+b）（cx+d）的形式，其中a、b、c、d均为整数，且a＞0，c＞0，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，2x2+5x+2＝（2x+1）（x+2），因此2x2+5x+2是一个“完美积式”． 特例构造：根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当a＝1，c＝1时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如（x+2）（x+3）＝x2+5x+6； 当a＝1，c＝2时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如（x+1）（2x+3）＝2x2+5x+3； 当a＝2，c＝3时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析：在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”： （ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数A＝ac，一次项系数B＝ad+bc，常数项C＝bd． 则B2﹣4AC＝（ad+bc）2﹣4ac•bd＝（ad﹣bc）2≥0，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式B2﹣4AC一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式Ax2+Bx+C（A≠0），如果B2﹣4AC是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： （1）当a＝1，c＝1，b，d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：　 　 ； （2）下列二次三项式中，是“完美积式”的是　 　 ； A．x2+4x+2 B．2x2+5x﹣3 C．x2﹣2x﹣1 D．2x2+3x+2 （3）若二次三项式x2+kx+12是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为　 　 ． 2．阅读与思考 下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 乘法公式的拓展——”连续自然数乘积”的规律与应用 观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积：1×2×3＝6；2×3×4＝24；3×4×5＝60；… 如果将中间的数记为n，n为整数且n＞1，那么三个连续自然数可以表示为n﹣1，n，n+1，它们的乘积可记为P＝（n﹣1）•n•（n+1）． 规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积： P＝（n﹣1）•n•（n+1）第一步 ＝[（n﹣1）•（n+1）]•n第二步 ＝（n2﹣1）•n第三步 ＝n3﹣n第四步 归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n﹣1）•n•（n+1）＝n3﹣n（n为整数且n＞1）． 任务： （1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了　 　 公式； （2）利用材料中发现的规律计算19×20×21的值（写出必要的过程）； （3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m，且m＞2）的乘积的规律． 3．阅读与思考 “头同尾合十”的两位数乘法速算所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10．其对应的乘法速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果． 例如： 速算74×76，先算4×6＝24，再算7×（7+1）＝56，则74×76＝5624； 速算59×51，先算9×1＝9，再算5×（5+1）＝30，则59×51＝3009． 任务： （1）利用上述速算方法，计算32×38，先算2×8＝16，再算　 　 ，则32×38＝　 　 ； （2）用和分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c＝10， ①依据题意，两位数，则两位数　 　 ； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 4．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若am＝9，am+n＝54，求an的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以54＝9×an，所以an＝6． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： （1）若，则x的值为　 　 ． （2）若am＝4，a3m﹣n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值． （3）计算：82024×（﹣0.125）2025． 5．阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：（3x2+5x+2）•3x＝3x2•3x+5x•3x+2•3x＝9x3+15x2+6x． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式3x2+5x+2乘多项式2x+3，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式3x2+5x+2与2x+3分别按字母x的次数从高到低排列； （2）用多项式2x+3中的常数项3去乘多项式3x2+5x+2的每一项，把所得结果9x2+15x+6写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式2x+3中的一次项2x去乘多项式3x2+5x+2的每一项，把所得结果6x3+10x2+4x写在9x2+15x+6下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果6x3+10x2+4x与9x2+15x+6相加得6x3+19x2+19x+6． （5）写出结果：（3x2+5x+2）•（2x+3）＝6x3+19x2+19x+6． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是 　 　 ； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：（2x2﹣3x+1）•（x﹣2）； 任务三： 若多项式2x2+px+12与x+4相乘的结果中不含x的一次项，则p＝　 　 ． 6．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a，b，c，d是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式x+1，x+2，x+5，x+6，因为（x+1）（x+6）﹣（x+2）（x+5）＝（x2+7x+6）﹣（x2+7x+10）＝﹣4 ，所以多项式x+1，x+2，x+5，x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为|﹣4|＝4． 任务： （1）小明发现多项式x+3，x+4，x+6，x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6），根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； A．判断多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． B．若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，求m的值． 7．阅读与思考 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，同样地多项式除法也会出现余式的问题． 例如：一个多项式（设该多项式为A）除以2x+1的商为x﹣2，余式为4x+3，则这个多项式是多少？ 小明通过小学除法的运算法则（被除数＝商×除数+余数）推理出多项式除法法则：被除式＝商×除式+余式．由此得出多项式A＝（x﹣2）（2x+1）+4x+3＝2x2+x+1． 任务： （1）上述过程中，小明把小学除法的运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是 　 　 ． A．类比思想 B．公理化思想 C．函数思想 D．数形结合思想 （2）小明继续探索，如果一个多项式除以2x2﹣3的商为7x﹣4，余式为﹣5x+2，那么请你根据以上法则求出该多项式． 8．阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 利用平行线的性质进行等角转化 通过对平行线的学习，我们发现利用平行线的性质可以进行等角转化，从而帮助我们探究角之间的数量关系． 例题：如图1，AB∥CD，点E为直线AB与CD之间的一点，探究∠A，∠E，∠C之间的数量关系． 解：如图2，过点E作EM∥AB． 因为AB∥EM，所以∠A＝∠AEM（依据）． … 任务： （1）材料中的“依据”指的是　 　 ． （2）请补全材料中例题的解答过程． （3）如图3，AB∥CD，点E，F是直线AB与CD之间的点，探究∠A，∠E，∠F，∠C之间的数量关系． 9．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 光线在同一均匀介质中沿直线传播，当光在两种物质分界面上传播方向改变又返回到原来物质中的现象，叫做光的反射．如图，入射光线A1O1与入射光线B1O2平行，被平面镜MN反射后的光线分别是O1A2和O2B2，实践中测得∠1＝∠2，∠3＝∠4，因此得到的结论是反射光线O1A2和O2B2平行．理由如下： ∵A1O1∥B1O2（已知）， ∴　 　 （两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴　 　 （等量代换）， ∴O1A2∥O2B2（　 　 ）． 任务： （1）将材料中的横线部分补充完整． （2）若O1A2与O2B1的交点为P，当∠B1PA2＝120°时，求∠1的度数． 10．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． “百度角”的研究 【概念】若两个角的和为100°，我们则称这两个角互为“百度角”．（本报告中所研究的角都是大于0°且小于180°的角）【感知】已知∠A与∠B互为“百度角”，∠A＝60°，则∠A的余角度数为▲　 　 ，∠B的补角度数为■　 　 ． 【应用】如图1．∠AOB＝90°，OC在∠AOB内部，∠AOC＝50°，若∠COD与∠BOC互为“百度角”，请补全图形，并求∠AOD的度数． 解：补全的图形如图2所示． 因为∠AOB＝90°，∠AOC＝50°， 所以∠BOC＝40°， 因为∠COD与∠BOC互为“百度角”， 所以∠COD＝60°， 因为∠AOC＝50°， 所以∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝　 　 ★． 任务： （1）材料中“▲”处的内容为　 　 ，“■”处的内容为　 　 ，“★”处的内容为　 　 ； （2）小组成员小涵审阅报告后指出报告中【应用】处解答少一种情况，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出∠AOD的度数． 11．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，且i＝r，这就是光的反射定律．根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2，这是潜望镜的工作原理平面示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线． 任务： （1）在图1中，若∠1＝50°，则∠2＝ 　 　 ． （2）在图2中，由光的反射定律，可知光线经过平面镜反射时，存在∠1＝∠2，∠4＝∠5．求证：EF∥GH． （3）在生活中，光的反射现象被广泛地应用，例如自行车尾部的反光镜．如图3，在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回，a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．请直接写出平面镜AB与BC的夹角∠ABC的度数． 12．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 平行边线角和垂直边线角 定义：若两个角的两边分别平行，我们把这样的角叫做“平行边线角”． 性质：如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：∠1＝∠2． 理由：∵AB∥EF，∴∠1＝∠3（▲）．∵BC∥DE，∴■，∴∠1＝∠2． 如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：…． 拓展：若两个角的两边分别垂直，我们把这样的角叫做“垂直边线角”．若∠1与∠2的两边分别垂直，且∠2是∠1的3倍少20°，则∠1的度数为　 　 ． 任务： （1）材料中，“▲”表示　 　 ，“■”表示　 　 ； （2）补全材料中的“…”处的内容（包括结论和理由，不必写依据）； （3）材料中拓展部分问题的结果为　 　 ． 13．阅读与思考 下面是兴趣小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“探究两边分别平行的两个角的关系”的一个片断 兴趣小组 兴趣小组为了探究两边分别平行的两个角的关系，小宇同学画出了下面两个不同的图形，如图1，图2，AB∥DE，BC∥EF，探究∠α与∠β的关系 分析：根据平行线的性质即可得到证明． 猜想：如图1，∠α与∠β的关系为　 　 ； 如图2，∠α与∠β的关系为　 　 ； 证明：分两种情况 第一种情况：… 第二种情况… 结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　 ； 解决问题：如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的4倍少40°，求这两个角分别是多少度？ 解：… 任务： （1）上面分情况画出图形并猜想，最后分情况进行证明验证，体现的数学思想是　 　 （填一个正确选项代码） A．统计思想B．分类讨论思想C．函数思想D．方程思想 （2）直接写出研究报告中的“▲”内容为　 　 ； （3）请你把解决问题的解答过程补充完整． 14．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E．∴（依据），∠BAD＝∠E，∠ACE＝∠CAD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠E＝∠ACE．∴AC＝AE． ∴，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长线交于点D，那么能不能参照上述方法求出线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系呢？ … 任务： （1）【自主探究】的证明过程中的“依据”是指　 　 ． （2）如图3，在△ABC中，，请你作出边BC的一个三等分点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （3）求出【拓展探究】中，线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系． 15．阅读与思考 三角形的内角和 小学时候我们就知道三角形内角和是180°．从古至今，无数数学家倾注心力，用不同的推理思路共同证实了——三角形内角之和恒为180度．下面是数学家普罗克拉斯的两种证明方法： 如图1，已知：三角形ABC．求证：∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°． 方法一：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥BC，过点C作CF⊥BC． ∵AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EBC＝90°，∠FCB＝90°， ∴∠ADC＝∠EBC＝90°．∴AD∥BE（依据一）． ∴∠BAD＝∠ABE． 又∵∠ADC+∠FCB＝90°+90°＝180°，∴AD∥CF． ∴∠DAC＝∠FCA（依据二）．∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB ＝∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠FCB＝90°+90°＝180°． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边BC上任取一点G（不与B，C重合），连接AG．分别过点B，C作AG的平行线… 任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：　 　 ； 依据二：　 　 ． 任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到∠BAD＝∠ABE，∠CAD＝∠ACF，将三角形内角和问题转化为∠EBC与∠FCB的和，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是　 　 ． A．函数思想 B．分类思想 C．转化思想 任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． 16．阅读与思考下面是小宇同学的综合与探究的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 探究“SSA”判定全等 我们已经学习过5种三角形全等的判定方法（即“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”“HL”）．那么在△ABC和△A′B′C′中，若AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′时（即两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等，可以简写成“SSA”），△ABC≌△A′B′C′是否成立？ 我通过查阅资料了解到，部分满足“SSA”的两个三角形也能判定全等．我先按角的大小对∠A进行分类，然后分情况探究． ①如图1，在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，当∠A＝∠A'＝90°时，△ABC≌△A′B′C′． 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（依据）． ②如图2，在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，当∠CAB＝∠C′A′B′＞90°时，△ABC≌△A′B′C′． 证明：如图2，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，过点C′作C′D′⊥A′B′，交B′A′的延长线于点D′．… ③在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，当∠A＝∠A′＜90°时，… 任务： （1）上述学习笔记中，①中的“依据”是指　 　 ． （2）补全学习笔记中②的证明过程． （3）在③的条件下，请你在图3中利用尺规作出点B′，连接B′C′，使△ABC与△A′B′C′不全等．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 17．阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）﹣猜想﹣推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，若∠B＝∠D＝90°，则称四边形ABCD为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形ABCD的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补． 理由如下：连接对角线AC． ∵△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，… 关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形ABCD内角性质的说理过程； （2）小颖在图2的基础上连接对角线BD，交AC于点O，得到图3，发现如下结论：①AC平分∠BAD与∠BCD；②AC垂直平分BD．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以CD为对角线构造直角筝形CEDF，使它的顶点E在射线CB上．若∠BCD＝70°，则∠CED的度数为 　 　 °． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）∵a＝1，c＝1，b、d互为相反数， ∴b+d＝0， 即b＝﹣d， 则“完美积式”式为（ax+b）（cx+d）＝（x﹣d）（x+d）， 不妨取d＝1，则“完美积式”为x2﹣1； 故答案为：x2﹣1（答案不唯一）． （2）对于A，B2﹣4AC＝42﹣4×2＝88不是一个整数的平方，故A不符合题意； 对于B，B2﹣4AC＝52﹣4×2×（﹣3）＝49＝72，故B正确； 对于C，B2﹣4AC＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝88不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，B2﹣4AC＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，故D不符合题意； 故选：B． （3）∵B2﹣4AC＝k2﹣4×1×12＝k2﹣48，k2﹣48要为一个整数的平方，且k为正整数， ∴k2﹣48＝1， 解得k＝7（负值已舍去）， k2﹣48＝16， 解得k＝8（负值已舍去）， k2﹣48＝121， 解得k＝13（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为7+8+13＝28． 故答案为：28． 2．【解答】解：（1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了平方差公式． 故答案为：平方差； （2）利用材料中发现的规律计算可得： 19×20×21＝203﹣20＝8000﹣20＝7980． （3）设三个连续偶数分别为m﹣2，m，m+2， 则三个连续偶数的乘积＝（m﹣2）•m•（m+2） ＝[（m﹣2）•（m+2）]•m ＝m3﹣4m． 3．【解答】解：（1）根据题意可知，计算32×38，先算2×8＝16， 再算3×（3+1）＝12， 则32×38＝1216． 故答案为：3×（3+1）＝12；1216； （2）①． 故答案为：10a+c； ②证明：， ＝（10a）2+10ab+10ac+bc， ＝100a2+10a（b+c）+bc， ∵b+c＝10， ∴ ＝100a（a+1）+bc， ∴该速算方法的正确性，即正确． 4．【解答】解：（1）由已知可得：， ∴x＝±3， 故答案为：±3； （2）∵am＝4， ∴（am）3＝43，即a3m＝64， ∵am＝4，a3m﹣n＝32， ∴64÷an＝32， ∴an＝2； （3）原式＝82024×（﹣0.125）2024×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×8）2024×（﹣0.125） ＝（﹣1）2024×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 5．【解答】解：任务一：根据题意，这种算法是类比整数的乘法运算，用的数学思想是类比． 故选：B． 任务二： ∴（2x2﹣3x+1）•（x﹣2）＝2x3﹣7x2+7x﹣2． 任务三：（2x2+px+12）（x+4）＝2x3+（p+8）x2+（12+4p）x+48， ∵相乘的结果中不含x的一次项， ∴12+4p＝0， 解得：p＝﹣3． 故答案为：﹣3． 6．【解答】解：（1）（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6） ＝x2+10x+21﹣x2﹣10x﹣24 ＝﹣3， ∴|﹣3|＝3， ∴该组平衡多项式的平衡因子是3； A、多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是一组平衡多项式； ∵（x﹣1）（x﹣5）﹣（x﹣2）（x﹣4） ＝x2﹣6x+5﹣x2+6x﹣8 ＝﹣3， ∴该组平衡多项式的平衡因子是|﹣3|＝3； B、若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，有三种情况， ①（x+2）（x﹣4）﹣（x+1）（x+m） ＝x2﹣2x﹣8﹣x2﹣（1+m）x﹣m ∵是一组平衡多项式， ∴﹣2﹣（1+m）＝0， ∴m＝﹣3； ②（x+2）（x+1）﹣（x﹣4）（x+m） ＝x2+3x+2﹣x2﹣（m﹣4）x+4m ∵是一组平衡多项式， ∴3﹣（m﹣4）＝0， ∴m＝7； ③（x+2）（x+m）﹣（x+1）（x﹣4） ＝x2+（2+m）x+2m﹣x2+3x+4 ∵是一组平衡多项式， ∴2+m﹣3＝0， ∴m＝﹣5， 综上所述：m的值为﹣3或7或﹣5． 7．【解答】解：（1）小明把小学除法的运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是类比思想， 故选：A； （2）根据题意得，（7x﹣4）（2x2﹣3）+（﹣5x+2） ＝14x3﹣21x﹣8x2+12﹣5x+2 ＝14x3﹣8x2﹣26x+14， 所以该多项式为14x3﹣8x2﹣26x+14． 8．【解答】解：（1）两直线平行，内错角相等； 故答案为：两直线平行，内错角相等； （2）∵AB∥CD，EM∥AB， ∴EM∥CD， ∴∠CEM＝∠C， ∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM， ∴∠AEC＝∠A+∠C； （3）如图，过点E作EP∥AB，过点F作 FQ∥AB， ∴∠AEP＝∠A，EP∥FQ， ∴∠PEF＝∠EFQ， ∵AB∥CD， ∴FQ∥CD， ∴∠QFC+∠C＝180°， ∴∠QFC＝180°﹣∠C， ∴∠EFQ＝∠EFC﹣∠QFC＝∠EFC﹣（180°﹣∠C）＝∠EFC+∠C﹣180°， ∵∠PEF＝∠EFQ，∠PEF＝∠AEF﹣∠AEP＝∠AEF﹣∠A， ∴∠EFC+∠C﹣180°＝∠AEF﹣∠A，即∠A﹣∠AEF+∠EFC+∠C＝180°． 9．【解答】解：（1）∵A1O1∥B1O2（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠4（等量代换）， ∴O1A2∥O2B2（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：∠1＝∠3；∠2＝∠4；同位角相等，两直线平行； （2）如图， ∵A1O1∥B1O2， ∴∠A1O1A2＝∠B1PA2＝120°（两直线平行，同位角相等）， ∴． 则∠1的度数为30°． 10．【解答】解：（1）【感知】∵∠A＝60°， ∴∠A的余角＝90°﹣60°＝30°， ∴“▲”处的内容为30°； ∵∠A与∠B互为“百度角”，∠A＝60°， ∴∠A+∠B＝100°， ∴∠B＝40° ∴∠B的补角＝180°﹣40°＝140°， ∴“■”处的内容为140°； ∵∠COD＝60°（已证），∠AOC＝50°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝60°﹣50°＝10°． ∴“★”处的内容为10°； 故答案为：30°，140°，10°； （2）如图（OD在OB的下方）： 因为∠AOB＝90°，∠AOC＝50°， 所以∠BOC＝40°， 因为∠COD与∠BOC互为“百度角”， 所以∠COD＝60°， 因为∠AOC＝50°， 所以∠AOD＝∠COD+∠AOC＝110°． 11．【解答】（1）解：∵ON⊥PQ， ∴∠PON＝∠POQ＝90°， ∴∠i+∠1＝∠r+∠2， ∵∠i＝∠r， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝50°， ∴∠2＝50°（等量代换）， 故答案为：50°； （2）证明：根据题意得，∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠5（两直线平行，内错角相等）， ∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5， ∵∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠4+∠5）， ∴∠3＝∠6， ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）； （3）解：如图：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G， ∵平面镜成像原理反射角等于入射角， ∴∠EPG＝∠QPG，∠PQG＝∠FQG， ∵a∥b， ∴∠EPQ+∠PQF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴2（∠GPQ+∠PQG）＝180°， ∴∠GPQ+∠PQG＝90°， ∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ＝180°， ∴∠PGQ＝90°， ∵PG⊥AB，QG⊥BC， ∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB＝360°， ∴∠PBQ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， 即∠ABC＝90°． 12．【解答】解：（1）∵AB∥EF，BC∥DE， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠2； （2）∠1+∠2＝180°，理由如下： ∵AB∥EF，BC∥DE， ∴∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°， ∴∠1+∠2＝180°； （3）如图1，∠1与∠2两边分别垂直，则：∠1＝∠2， 如图2，∠1与∠2两边分别垂直，则：∠1+∠2＝180°， ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补， 设∠1＝α，则∠2＝3α﹣20°， ∵两个角的两边分别垂直， ∴α+3α﹣20°＝180°或α＝3α﹣20°， 解得α＝50°或α＝10°， 故∠1＝50°或∠1＝10°． 13．【解答】解：（1）分情况画出图形并猜想，最后分情况进行证明验证，体现的数学思想是分类讨论思想， 故选：B． （2）分两种情况：第一种情况：如图1， ∵AB∥DE， ∴∠α＝∠1， ∵BC∥EF， ∴∠β＝∠1， ∴∠α＝∠β． 第二种情况：如图2， ∵AB∥DE， ∴∠α+∠1＝180°， ∵BC∥EF， ∴∠β＝∠1， ∴∠α+∠β ＝180°， 综上，∠α＝∠β 或∠α+∠β＝180°， 结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：∠α＝∠β；∠α+∠β＝180°；相等或互补． （3）设其中一角为x°，则另一角为（4x﹣40）°， 根据（2）的结论， 列方程为：x＝4x﹣40 或x+4x﹣40＝180， 解得：或x＝44， 当时，， 当x＝44时，4x﹣40＝136． 答：这两个角分别是与或44°与136°． 14．【解答】解：（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例， 故答案为：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； （2）如图，点D即为所求（答案不唯一）． （3）如图，过点C作CE∥AD，交BA于点E． ∴∠AEC＝∠PAD，∠ACE＝∠DAC，， ∵AD平分∠PAC， ∴∠DAC＝∠PAD， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AE＝AC， ∴． 15．【解答】解：任务一：依据一：同位角相等，两直线平行， 依据二：两直线平行，内错角相等． 故答案为：同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等； 任务二：证明方法一中主要体现的数学思想是转化的思想． 故答案为：C； 任务三：证明：分别过点B，C作BM∥AG，CN∥AG． ∵BM∥AG， ∴∠BAG＝∠MBA， ∵CN∥AG， ∴∠CAG＝∠ACN， ∵BM∥AG，CN∥AG， ∴BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝∠BAG+∠GAC+∠ABC+∠ACB＝∠MBA+∠ABC+∠ACB+∠ACN＝∠MBC+∠NCB＝180°． 16．【解答】（1）解：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）， ∴依据为斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）， 故答案为：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）； （2）证明：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′， ∴∠CDA＝∠C′D′A′＝90°． ∵∠CAB＝∠C′A′B′， ∴180°﹣∠CAB＝180°﹣∠C′A′B′，即∠CAD＝∠C′A′D′． 在△CDA和△C′D′A′中， ， ∴△CDA≌△C′D′A′（AAS）， ∴CD＝C′D′． 在Rt△CDB和Rt△C′D′B′中， ， ∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′（HL）． ∴∠B＝∠B′． 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）； （3）解：如图3，点B′即为所求． 17．【解答】解：（1）理由如下：连接对角线AC． ∵△ABC中，∠B＝90°， ∴∠BAC+∠BCA＝90° ∵在△ADC 中，∠D＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠BAC+∠BCA+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BAD与∠BCD 互补； （2）在△ABC和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， ∴AC平分∠BAD与∠BCD； 在△ABO和△ADO中， ， ∴△ABO≌△ADO（SAS）， ∴OB＝OD，∠AOB＝∠AOD， ∵∠AOB+∠AOD＝180°， ∴∠AOB＝∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD； （3）如图所示，当点E在CB延长线上时，连接EF交CD于T， ∵四边形CEDF是直角筝形， ∴EC＝ED，FC＝FD，∠ACF＝∠ADF＝90°， 同理可证明△CET≌△DET，∠ETC＝90°， ∴∠DET＝∠CET＝180°﹣∠ETC﹣∠ECT＝20°， ∴∠CED＝∠DET+∠CET＝40°， 如图所示，当点E在CB上时， ∵以 CD 为对角线，顶点E 在CB 上，根据直角筝形的定义，其中一个直角顶点就是 E（另一个直角顶点为 F），即∠CED 本身就是这个直角， 则∠CED＝90°， 综上所述，∠CED＝40°或∠CED＝90°． 故答案为：∠CED＝40°或∠CED＝90°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 9:18:45；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $