学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷（上海专用，沪教版必修二全部内容+空间直线与平面+数列）

**基本信息** 2025-2026高一下期末数学真题重组卷，精选上海多区期末真题，覆盖复数、三角函数、立体几何、数列等核心知识，通过动态几何（如第8题半圆动点范围）、跨学科情境（如第15题简谐运动）及创新题型（如第16题复向量类比），考查抽象能力、空间观念与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|复数运算、扇形弧长、向量投影|第7题复数因式分解，第11题正方体展开图求异面直线角，基础与提升梯度分明| |选择题|4/18|复数周期性、立体几何平行垂直|第14题正方体中平面关系判断，第16题复向量运算法则辨析，注重逻辑推理| |解答题|5/78|解三角形、函数图像变换、立体几何折叠|第20题折叠问题证线面平行及线面角，第21题抽象函数性质P探究，综合考查创新应用与数学思维|

2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题(本大题共12小题，1~6每小题4分，7~12每题5分，共54分) 1．（2025高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足，则z的虚部为______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 则z的虚部为， 故答案为： 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 【答案】 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 3．（2025高一下·上海青浦·期末）已知角的终边经过点，则__________. 【答案】/ 【详解】由题意可得， 故， 故答案为： 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知，，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 5．（2025高一下·上海普陀·期末）已知a为实数，设，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，， 又因为，则， 则． 故答案为：. 6．（2025高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 【答案】 【详解】平面向量，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 7．（2025高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】 设,则,作交OC的延长线于点 由余弦定理 所以,即 ,因为,所以 所以 所以 故答案为 ： 9．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，在中，点满足. 设，则. ∵，且表示起点为，终点在平行于且过点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动， ∴对任意，恒成立，即恒成立，只需即可， ∴，即， ∵ ∴， ∴. ∴ 故答案为：. 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 11．（2025高一下·上海松江·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________． 【答案】 【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体： 设正方体的棱长为，连接，则， 由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形， 故，故与所成的角即为或其补角，而， 故与所成的角为， 故答案为：. 12．（2025高一下·上海金山·期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【答案】1012 【详解】设，则函数单调递增， 且，故方程存在唯一的实数根， 且， 当时，，据此可得， 当时，，可得，从而， ，. 故答案为：1012. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．（2025高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 14．（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】B 【详解】对于①，取中点，中点，连接，所以， 又为的中点，所以，所以四点共面， 因为平面，平面， 所以平面，故①正确；    对于②，取中点，可证≌，所以， 所以，故. 若平面上存在一条直线，与平面垂直，则一定与垂直， 即与平行，但与不垂直， 故平面上不存在直线，与平面垂直.故②错误.    故选：B． 15．（2025高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【详解】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 16．（2025高一下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】C 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，，故B正确： 对于C，，而， 设，， 则， ， 所以与互为共轭复数，不一定相等，故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： ，故D正确. 故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以........................................................................................................7分 （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或.....................................................................................................................................................14分 18．（本题14分）（2025高一下·上海闵行·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】(1)(2)18 【详解】（1）， ， ，     ，     ．..................................................................................................................................................................7分 （2）设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得，   ，     所以，    又， 所以49= ，    故， 所以.........................................................................................................................................14分 19．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)最小值为，(3) 【详解】（1）因为， 所以函数的周期为...........................................................................................................3分 （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 .................................................................................7分 （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立．.....................................................................................................14分 20．（本题18分）（2025高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面..................................................................6分 （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为...............................................................10分 （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且.............................................................18分 21．（本题18分）（2025高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质. (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质............................................................4分 （2）因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为..............................................................................................................................12分 （3）由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为. 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证．..................................................................................................................................18分 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题(本大题共12小题，1~6每小题4分，7~12每题5分，共54分) 1．（2025高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足，则z的虚部为______． 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 3．（2025高一下·上海青浦·期末）已知角的终边经过点，则__________. 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知，，则______． 5．（2025高一下·上海普陀·期末）已知a为实数，设，，若，则______． 6．（2025高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 7．（2025高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 9．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为______． 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 11．（2025高一下·上海松江·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________． 12．（2025高一下·上海金山·期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．（2025高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 14．（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 15．（2025高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 16．（2025高一下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 18．（本题14分）（2025高一下·上海闵行·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 19．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 20．（本题18分）（2025高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题18分）（2025高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题(本大题共12小题，1~6每小题4分，7~12每题5分，共54分) 1．（2025高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足，则z的虚部为______． 2．（2025高一下·上海嘉定·期末）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 3．（2025高一下·上海青浦·期末）已知角的终边经过点，则__________. 4．（2025高一下·上海嘉定·期末）已知，，则______． 5．（2025高一下·上海普陀·期末）已知a为实数，设，，若，则______． 6．（2025高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 7．（2025高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 8．（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且．若，则的取值范围是______． 9．（2025高一下·上海嘉定·期末）在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为______． 10．（2025高一下·上海金山·期末）已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 11．（2025高一下·上海松江·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________． 12．（2025高一下·上海金山·期末）对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13．（2025高一下·上海静安·期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 14．（2025高一下·上海杨浦·期末）如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：①平面上存在一条直线，与平面平行；②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（   ）    A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 15．（2025高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 16．（2025高一下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高一下·上海浦东新·期末）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 18．（本题14分）（2025高一下·上海闵行·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的大小； (2)若面积为，外接圆面积为，求周长. 19．（本题14分）（2025高一下·上海静安·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)求函数的最小值及取得最小值时的所有取值； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围． 20．（本题18分）（2025高一下·上海松江·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求与平面的所成角； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题18分）（2025高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末真题重组卷 参考答案 一、填空题（1-6题4分，7-12题5分．） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 3 11. 12. 1012 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 A B B C 三、解答题(共78分) 17．（本题14分） （1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以........................................................................................................7分 （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或.....................................................................................................................................................14分 18．（本题14分） （1）， ， ，     ，     ．..................................................................................................................................................................7分 （2）设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得，   ，     所以，    又， 所以49= ，    故， 所以.........................................................................................................................................14分 19．（本题14分） （1）因为， 所以函数的周期为...........................................................................................................3分 （2）函数， 当，即时，取得最小值， 取得最小值时的所有取值为 .................................................................................7分 （3）函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将得到的图象向右平移个单位长度可， 因为，所以， 所以在上严格增， 所以， 所以， 故当时等式成立．.....................................................................................................14分 20．（本题18分） （1）如图，连接，因为，为中点，所以， 又，所以，， 在中，，，则，由余弦定理，， 又，所以，则， 又面，所以平面..................................................................6分 （2）由（1）知为与平面所成的角， 在中，，所以， 又，所以， 即与平面所成的角为...............................................................10分 （3）存在，且，理由如下， 如图在上取点，使，连接，过作交于，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 由，知， 所以在线段上是否存在点，使得平面，且.............................................................18分 21．（本题18分） （1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质............................................................4分 （2）因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为..............................................................................................................................12分 （3）由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为. 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证．..................................................................................................................................18分 高一数学答案 第 2 页 共 11 页 高一数学答案 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 47 拓 3 0 阳 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) D E B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) D D E Gi-- B 图1 图2 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 ○ .: : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 : .: 一、填空题（本大题共12小题，1~6每小题4分，712每题5分，共54分）》 1.(2025高一下.上海浦东新期末)若复数z满足(1+)z=2,则z的虚部为 2.(2025高一下一上海嘉定期末)若扇形的圆心角为号半径为6。则扇形的弧长为 3.(2025高-下-上海青浦期末)已知角a的终边经过点P(-34),则cos2+a 4.(2025高一下上海嘉定期末)已知tan(a+P)=2,anP+买=3，则tama-片 : 5.(2025高一下上海普陀期末)已知a为实数，设m=(5,3),i=(a,-1),若m∥元，则a= : 6.(2025高一下.上海浦东新期末)已知平面向量=(1,3)，b=(1,-2),则ā在五方向上的投影向量为 7.(2025高一下·上海浦东新·期末)在复数范围内分解因式2x2-4x+5= 8.(2025高一下上海浦东新·期末)如图，C是以AB为直径的半圆O(不含端点)上一动点，∠DCB= 兀 21 且DC=CB.若AB=2,则OC.OD的取值范围是 : : : 9.(2025高一下上海嘉定期末)在aMC中，A=牙点D清足AD-}4C,且对任意xeR, 3 试题第1页（共4页） : @⊙学科网·学易金卷做树德：就限蒙是带 xAC+AB≥AD-AB恒成立，则cos∠ABC的值为一 10.(2025高一下·上海金山期末)已知o∈R,p∈[0,2π)，若对任意实数x均有cosx≥sin(m+p),则满足 条件的有序实数对（⊙，p)的个数为 11.(2025高一下·上海松江·期末)一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则AG与MN所成 的角为 G D 12.(2025高一下·上海金山期末)对于正整数n,设x,是关于x的方程x3+2x-n=0的实数根，记 Q=[+】,其中[可表示不超过x的最大整数，么=《m受8为板的前0项和，则S= 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.(2025高一下.上海静安期末)当取正整数时，计算”+(-)”(i为虚数单位)的所有可能值，下列 选项结果正确的是（) A.-2,0,2; B.-2i,0,2i; C.-1+i,0,1+i: D.-2,-2i,0,2,2i 14.(2025高一下·上海杨浦·期末)如图，在正方体ABCD-AB,C1D中，E为AB的中点，对于下列两个命 题：①平面BCCB上存在一条直线，与平面ACE平行；②平面BCCB上存在一条直线，与平面AC1E垂 直.则() D B A D E B A.①对，②对B.①对，②错C.①错，②对D.①错，②错 15.(2025高一下.上海嘉定·期末)在物理学中简谐运动可以用函数f(x)=Asin(x+p)(A>0,w>0,pk 来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是() 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒费：限美是鲁普 13π 12 A函数)的图象关于点[后0成中心对称 B.函数f)的解析式可以为f()=2co2x-3 π C.函数f(x)在[0，可上的值域为[0,2] 2若把f)图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是y=2sn2x+2 12 16.(2025高一下.上海闵行·期末)在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有 序复数对(5,52)(5,2∈C)看作一个向量，记ā=(3,2)，则称ā为复向量.类比平面向量的相关运算法则， 对于=(a,马)，万=(3,24)，4，，3,24∈C，规定如下运算法则：①ā+b=(3+3,+24)；② a-b=(3-3,3-24):③ā.b=+z4;④d=Va-ā.则下列结论错误的是() A.若a=(i,l+i),b=(2,2-i),则a.b=1+5i B.若=0，则a=(0,0) C.a.b=b.a D.a.(b+c)=a.b+a.c 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20ˇ21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)（2025高一下·上海浦东新·期末)如图，在直角梯形ABCD中， AB L AD,AB //CD,AB=10,AD=CD=4,AD=4ED,BF=FC. A B (1)求AF.BE: AG (2)若G为边AB上一点，且GE⊥GF,求 GB 18.(本题14分)(2025高一下.上海闵行·期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,己知 试题第3页（共4页） b2+c2-a2 2sin B-sin A O b sin A (1)求C的大小： : ②若a1C面积为65，外接圆面积为号，求△ABC周长. : 19.（本题14分)(2025高一下.上海静安期末)已知函数f(x)=-2sin2x+2 cos xsin x+1. : : 兵 (1)求函数y=f(x)的周期： : : (2)求函数y=f(x)的最小值及取得最小值时x的所有取值： (3)将函数y=f()的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移汇个 单位长度，得到函数y=8(x)的图象，若存在x∈ 44,使得等式()=m成立，求实数m的取值范围。 兀兀 20.(本题18分)(2025高一下·上海松江·期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB11DC,∠BAD=90°，AB=4, 游 AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将△ADE沿AE折起，使得DB=2W3(如图)，G为AE中 游 点 D S O : B 图1 图2 (1)求证：DG⊥平面ABCE: (2)求BD与平面ABCE的所成角： (3)在线段BD上是否存在点P,使得CP/平面ADE？若存在，求 P的值：若不存在，请说明理由。 BD 21.（本题18分)(2025高一下·上海浦东新·期末)已知定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的x∈R, 都有f(x+2)=f(x)+f(2π)，则称函数f(x)具有性质P. (1)判断函数g(x)=x,h(x)=cosx是否具有性质P;(直接写出结论) (2)已知函数f(x)=sin(or+p) <w<m< 具有性质P,且在区间[0，]上有且仅有2个零点求出t (2 的取值范围： : (3)设函数f(x)具有性质P,且在区间[0,2π]上的值域为f(0),f(2π)](f(2π)>π)，函数8(x)=sin(f(x), : 满足8(x+2π)=8(x),且在区间(0,2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)=2π. 试题第4页（共4页） :@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一下学期期末真题重组卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版必修第2册&空间直线与平面&数列 一、填空题（本大题共12小题，16每小题4分，712每题5分，共54分） 1.(2025高一下·上海浦东新·期末)若复数z满足1+)z=2,则z的虚部为 2.(2025高一下上海嘉定期未)若扇形的圆心角为写，半径为6，则扇形的弧长为 3.(2025高一下上海青浦期末)已知角a的终边经过点P(3,4,则c行+a 4.(2025商一下上海嘉定期末)已知mc+)-2,m0+孕到-3，则ama里到一 5.(2025高一下·上海普陀期末)已知a为实数，设m=(5,3),i=(a,-1),若m∥元，则a= 6.(2025高一下·上海浦东新·期末)已知平面向量=(1,3)，b=(1,-2),则ā在五方向上的投影向量为 7.（2025高一下·上海浦东新·期末)在复数范围内分解因式2x2-4x+5= 8.(2025高一下上海浦东新期末)如图，C是以AB为直径的半圆0（不含端点）上一动点，∠DCB= 2 且DC=CB.若AB=2,则OC.OD的取值范围是 D 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9.（2025商下上海嘉定期未)在么C中，A-子点D满足A0-C,且对任意x∈R, 3 xAC+AB≥AD-AB恒成立，则cos∠ABC的值为 10.(2025高一下·上海金山·期末)己知w∈R,p∈[0,2π)，若对任意实数x均有cosx≥sin(ar+p),则满足 条件的有序实数对（⊙，p)的个数为 11.(2025高一下·上海松江·期末)一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则AG与MN所成 的角为 G D 12.(2025高一下·上海金山期末)对于正整数n,设xn是关于x的方程m3+2x-1=0的实数根，记 4-+]共中[冈表示不超过的最大整数，么-4m受为仙}的前a项和，则- 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.(2025高一下·上海静安·期末)当n取正整数时，计算”+(-i)”(i为虚数单位)的所有可能值，下列选 项结果正确的是() A.-2,0,2: B.-2i,0,2i: C.-1+i,0,1+i; D.-2,-2i,0,2,2i. 14.(2025高一下·上海杨浦·期末)如图，在正方体ABCD-ABC1D中，E为AB的中点，对于下列两个命 题：①平面BCCB1上存在一条直线，与平面ACE平行；②平面BCCB上存在一条直线，与平面ACE垂 直.则() D C B D E B A.①对，②对B.①对，②错 C.①错，②对 D.①错，②错 216 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15.(2025高一下·上海嘉定·期末)在物理学中简谐运动可以用函数f(x)=Asin(x+p)(A>0,w>0,pkD) 来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是() 13π A。函数)的图象关于点后0成中心对称 B.强数)的解斩式可以为-2co2:会剖) C.函数f(x)在[0，上的值域为[0,2] D.若托/八网图象上所有点向右平修召个单位，则所得弱激是y-2如2x+) 12 16.(2025高一下·上海闵行·期末)在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序 复数对(5,52)(5,2∈C)看作一个向量，记=(3，z2),则称d为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对 于ā=(3,3)，b=(33,z4),1,22,3,24∈C，规定如下运算法则：①ā+b=(3+3,22+24)；② a-万=(3-，3-24)；③ā.b=z马+zz4:④=√aāa.则下列结论错误的是() A.若a=(i,1+i),万=(2,2-i),则a.b=-1+5i B.若d=0,则a=(0,0) C.ab=b…a D.a.(⑥+c)=a.b+i.c 三、解答题（本大题共有5题，第1719题每题14分，第2021题每题18分，满分78分） 17.（本题14分)(2025高一下·上海浦东新·期末)如图，在直角梯形ABCD中， AB L AD,AB//CD,AB=10,AD=CD=4,AD=4ED,BF=FC. B (1)求AF.BE: 3/6 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 AG (2)若G为边AB上一点，且GE⊥GF,求 GB 18.(本题14分)(2025高一下·上海闵行·期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 b2+c2-a2 2sin B-sin A ab sin A (1)求C的大小： (2若△ABC面积为6N5,外接圆面积为9元，求△ABC周长 4/6 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19.(本题14分)(2025高一下·上海静安·期末)已知函数f(x)=-2sin2x+2 cosx sinx-+1. (1)求函数y=f(x)的周期： (2)求函数y=f(x)的最小值及取得最小值时x的所有取值： (③)将函数y=∫(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移”个 3 单位长度，得到函数y=8(x)的图象，若存在x∈ 使得等式8(x)=成立，求实数m的取值范围. 20.(本题18分)(2025高一下·上海松江·期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB/1DC,∠BAD=90°，AB=4, AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将△ADE沿AE折起，使得DB=2W3(如图)，G为AE中点. D E B 图1 图2 (1)求证：DG⊥平面ABCE: (2)求BD与平面ABCE的所成角： B)连线段BD上是否存在点P,使得CP11平面4D8?若存在，求巴的值：若不存在，请说明理由。 BD 5/6 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 21.（本题18分)(2025高一下·上海浦东新·期末)己知定义域为R的函数∫(x)满足：对于任意的x∈R,都 有f(x+2π)=f(x)+∫(2π)，则称函数f(x)具有性质P. (I)判断函数g(x)=x,h(x)=cosx是否具有性质P;（直接写出结论) (2)已知函数f(x)=sin(ox+p), 具有性质P,且在区间[0，]上有且仅有2个零点.求出t的 取值范围； (3)设函数f(x)具有性质P,且在区间[0,2π]上的值域为[f(O),f(2π)](f(2π)>π)，函数8(x)=sin(f(x》, 满足8(x+2π)=8(x),且在区间(0,2π)上有且只有一个零点.求证：∫(2π)=2π. 6/6