专题14 函数综合突破（第24题）高频考点与常见5大题型（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦上海中考数学第24题，以二次函数为核心，通过考情分析、考点梳理、5大题型精讲及变式训练，构建“函数与几何融合”的解题方法体系，培养数形结合、分类讨论等核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高频考情解读|近5年考情分析|命题规律透视|从考情提炼核心考点：相似三角形、分类讨论等| |核心考点梳理|知识图谱+技巧|解题结论与高效技巧|二次函数为背景，几何为核心的综合模式| |5大题型精讲|每题型含真题+3-5变式|相似比转化、面积最值代数化、动点分类讨论等|小问层层递进，从基础解析式到综合探究| |实战演练|7道仿真模拟题|限时训练提升|融合新定义、跨章节综合，贴合中考趋势|

专题14 函数综合突破（第24题）高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 二次函数与相似三角形综合 题型二 二次函数背景下的面积与最值问题 题型三 二次函数中的动点与分类讨论 题型四 二次函数与存在性问题 题型五 函数综合中的新定义与探究 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 第24题是上海中考数学的函数综合压轴题，分值12分（通常为2-3小问），占全卷的8%。这道题以二次函数为背景，融合相似三角形、面积计算、动点问题、分类讨论等核心考点，是区分优等生与顶尖学生的关键题型。专家指出，第24题“重视对函数图像与几何图形综合运用的考查”，强调“数形结合”和“从特殊到一般”的思维过程。 从近五年考情看，第24题的命题呈现以下规律： 年份 核心考点 函数背景 几何结合点 小问设置 2025年 二次函数+相似三角形+面积 二次函数图像（抛物线） 相似三角形判定+面积计算 2-3小问 2024年 二次函数+动点+存在性 二次函数图像（抛物线） 等腰三角形存在性+面积最值 3小问 2023年 二次函数+相似+点坐标 二次函数图像（抛物线） 相似比求点坐标+分类讨论 2-3小问 2022年 二次函数+平移+面积 二次函数图像（抛物线） 平移后的函数关系+面积计算 3小问 核心特征总结： 核心特征总结： 1.函数与几何深度融合：第24题从“纯函数”命题转向“函数为背景+几何为核心”的综合模式，二次函数提供点和坐标，几何提供计算和证明框架。 2.相似三角形是核心工具：近5年中的3年直接考查相似三角形的判定与性质，包括相似比的运用、相似求点坐标等。 3.分类讨论是必备能力：动点位置、等腰/直角三角形存在性、相似对应关系的不确定性都需要分类讨论，是区分学生思维严密性的关键。 4.小问之间层层递进：第(1)问通常求函数解析式或基础点的坐标（必拿分），第(2)问为中等难度的几何计算，第(3)问为综合探究（难度最高）。 核心能力要求： 数形结合能力（将函数解析式与几何图形相互转化） 相似三角形的灵活运用（相似比→坐标→函数关系） 分类讨论能力（多种情况的完整分析） 代数运算能力（函数解析式的求解、坐标的计算） 建模与转化能力（将几何条件转化为代数方程） 2026中考预测： 题型稳定：第24题将继续以二次函数为背景，融合相似三角形、动点问题、面积最值、存在性问题等核心考点。第(1)问通常直接求函数解析式或基础点坐标，第(2)(3)问逐步深化。相似三角形仍是重要工具，可能以“相似比求点坐标”“相似三角形存在性”等形式出现。分类讨论思想在多题型中贯彻，动点位置、三角形形状、相似对应关系都可能需要分类讨论。 难度平稳：第24题整体难度在0.4-0.6之间，属于中高档题。第(1)问难度约0.7-0.8，是必须拿分的基础问。第(2)问难度约0.5-0.65，需要较好的几何与函数综合能力。第(3)问难度约0.3-0.5，是拉开差距的关键小问。学生主要失分原因是：分类讨论不完整导致漏解、函数与几何转化不顺畅、代数计算错误。 命题趋势：第24题可能出现“新定义融入”的趋势，如在函数背景下定义新点、新距离、新变换等。同时“跨章节综合”将继续深化，一次函数与二次函数、二次函数与反比例函数在同一题中出现的可能性增大。“开放性探究”也可能出现在第(3)问，如“是否存在满足条件的点，若存在求出坐标，若不存在说明理由”的经典设问方式仍将是主流。 题型一 二次函数与相似三角形综合 【真题呈现01】（2024·上海·中考真题）（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【变式01】（2026·上海闵行·三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 【变式02】（2025·上海·三模）在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P与点A重合时，求平移的距离； (3)如果与互补，求此时点D的坐标． 【变式03】（2026·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【变式04】（2026·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 【变式05】（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 题型二 ：二次函数背景下的面积与最值问题 【真题呈现02】（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【变式01】（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【变式02】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【变式03】（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【变式04】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 题型三 二次函数中的动点与分类讨论 【真题呈现03】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 【变式02】（2025·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式03】（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【变式04】（2025·上海嘉定·二模）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 题型四 二次函数与存在性问题 【真题呈现04】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【变式01】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【变式02】（2025·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标． 【变式03】（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 题型五 函数综合中的新定义与探究 【真题呈现05】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【变式01】（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 【变式02】（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【变式03】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． (限时30分钟） 1.（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 2.（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 3.（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 4.（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 5.（2025·上海崇明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值． 6．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 7．（2025·上海普陀·三模）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 函数综合突破（第24题）高频考点与常见5大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 二次函数与相似三角形综合 题型二 二次函数背景下的面积与最值问题 题型三 二次函数中的动点与分类讨论 题型四 二次函数与存在性问题 题型五 函数综合中的新定义与探究 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 第24题是上海中考数学的函数综合压轴题，分值12分（通常为2-3小问），占全卷的8%。这道题以二次函数为背景，融合相似三角形、面积计算、动点问题、分类讨论等核心考点，是区分优等生与顶尖学生的关键题型。专家指出，第24题“重视对函数图像与几何图形综合运用的考查”，强调“数形结合”和“从特殊到一般”的思维过程。 从近五年考情看，第24题的命题呈现以下规律： 年份 核心考点 函数背景 几何结合点 小问设置 2025年 二次函数+相似三角形+面积 二次函数图像（抛物线） 相似三角形判定+面积计算 2-3小问 2024年 二次函数+动点+存在性 二次函数图像（抛物线） 等腰三角形存在性+面积最值 3小问 2023年 二次函数+相似+点坐标 二次函数图像（抛物线） 相似比求点坐标+分类讨论 2-3小问 2022年 二次函数+平移+面积 二次函数图像（抛物线） 平移后的函数关系+面积计算 3小问 核心特征总结： 核心特征总结： 1.函数与几何深度融合：第24题从“纯函数”命题转向“函数为背景+几何为核心”的综合模式，二次函数提供点和坐标，几何提供计算和证明框架。 2.相似三角形是核心工具：近5年中的3年直接考查相似三角形的判定与性质，包括相似比的运用、相似求点坐标等。 3.分类讨论是必备能力：动点位置、等腰/直角三角形存在性、相似对应关系的不确定性都需要分类讨论，是区分学生思维严密性的关键。 4.小问之间层层递进：第(1)问通常求函数解析式或基础点的坐标（必拿分），第(2)问为中等难度的几何计算，第(3)问为综合探究（难度最高）。 核心能力要求： 数形结合能力（将函数解析式与几何图形相互转化） 相似三角形的灵活运用（相似比→坐标→函数关系） 分类讨论能力（多种情况的完整分析） 代数运算能力（函数解析式的求解、坐标的计算） 建模与转化能力（将几何条件转化为代数方程） 2026中考预测： 题型稳定：第24题将继续以二次函数为背景，融合相似三角形、动点问题、面积最值、存在性问题等核心考点。第(1)问通常直接求函数解析式或基础点坐标，第(2)(3)问逐步深化。相似三角形仍是重要工具，可能以“相似比求点坐标”“相似三角形存在性”等形式出现。分类讨论思想在多题型中贯彻，动点位置、三角形形状、相似对应关系都可能需要分类讨论。 难度平稳：第24题整体难度在0.4-0.6之间，属于中高档题。第(1)问难度约0.7-0.8，是必须拿分的基础问。第(2)问难度约0.5-0.65，需要较好的几何与函数综合能力。第(3)问难度约0.3-0.5，是拉开差距的关键小问。学生主要失分原因是：分类讨论不完整导致漏解、函数与几何转化不顺畅、代数计算错误。 命题趋势：第24题可能出现“新定义融入”的趋势，如在函数背景下定义新点、新距离、新变换等。同时“跨章节综合”将继续深化，一次函数与二次函数、二次函数与反比例函数在同一题中出现的可能性增大。“开放性探究”也可能出现在第(3)问，如“是否存在满足条件的点，若存在求出坐标，若不存在说明理由”的经典设问方式仍将是主流。 题型一 二次函数与相似三角形综合 【真题呈现01】（2024·上海·中考真题）（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 【变式01】（2026·上海闵行·三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标； （2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标； （3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值． 【详解】（1）∵点、在抛物线上 ∴，解得    ∴抛物线的解析式为， ∴顶点B的坐标是； （2）如图， ∵， ∴直线AB解析式为：y=x-8， ∵ ∴直线OP解析式为：y=x，     设点， ∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB， ∴k＞0 ∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAB为梯形 又∵∠QAB=∠OBA ∴四边形OQAB为等腰梯形 ∴QA=OB ∴（6-3k）2+（4k）2=25 ∴或（舍去）           ∴ （3）由（1）知 设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为 ∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c） ∴0＜m＜3，-4＜c＜0， 如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F ∴且 ∴∽ ∴ ∴ ∴      ∴     又∵ ∴           ∴     ∴或者（舍去） ∴ 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键． 【变式02】（2025·上海·三模）在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． (1)求抛物线的表达式； (2)当点P与点A重合时，求平移的距离； (3)如果与互补，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将点代入抛物线上，得到关于的二元一次方程组，求解即可； （2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到， ，最后由得，即可得解； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解． 【详解】（1）解：∵点和点在抛物线上． ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点， 把抛物线向下平移得到抛物线， 当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为， ， 对于抛物线， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是3； （3）解：连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，对称轴为直线， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， 当时，得， 解得：或， ， ， ， ∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为， ， ∵对称轴与轴平行，即， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，， ， ∵轴， ∴轴， ， ， 与互补，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式03】（2026·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、圆和圆的位置关系、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点、代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 令，则有， 解得：， ∴； （2）解：①如图所示： 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； ②如图所示： ∵以为半径的与以为半径的外切， ∴与相切于点F，即， 过点D作于点H， ∴，， ∴， ∴， 设点，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键． 【变式04】（2026·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出的长度；过点C作轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中，两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在中得到三边的长度，根据与的相似比不为1，可得出当符合题意，利用余弦的定义求得的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由时，恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得：， ∴， ∴， 如图，过点C作轴于点H， ∵，点的纵坐标为， ∴， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点，分别是B，C的对应点， ∴， 即， ∵， ∴， 将代入，得， ∴， ∵点C为二次函数的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数． （2）解：二次函数的对称轴为， ∵向右移个单位长度得到二次函数的对称轴， ∴二次函数的对称轴为， 如图，在中，， ∴轴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵与的相似比不为1， 当时，易证得，不符合题意， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：由（2）知，， 将点代入得：， ∴， 设，则， ∵时，恒成立， ∴， ∴． 【变式05】（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 题型二 ：二次函数背景下的面积与最值问题 【真题呈现02】（2026·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出点坐标； (2)若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； (3)若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)或或 (3)点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，可知是钝角三角形，分三种情况讨论； （3）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：的三条高所在直线交于三角形外一点， 是钝角三角形， 如下图所示，当点在点的左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， 点的坐标为， 当点在点右侧，点左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作交轴于点，作轴于点， 则， 又， ， ， 由点和点可知点的坐标为， ，，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 当点在点右侧， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当的三条高所在直线交于三角形外一点时，的取值范围为或或； （3）解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【变式01】（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)，． (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出与坐标轴的交点，再待定系数法求解函数表达式； （2）先求出，即可得到边上的高，然后分类讨论求解点坐标，即可求解抛物线上对应点坐标，即可求解； （3）设平移后新抛物线的顶点，则新抛物线的表达式为 ，求出．过点作，垂足为，则．根据三线合一得到，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又，． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． （3）解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 【变式02】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；；的条件是正确的，理由见详解 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等； （1）将点代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则， ∵轴， ∴，        ∵，， ， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，即； 答案的个数为个，没用的是；的条件是正确的， 故答案为：；． 【变式03】（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的对称轴是， (2)①， ② 【知识点】求一次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： （2）①解：当时，可得：， 点的坐标为， 四边形是正方形，是正方形的对角线， 点、关于对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点、的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点的坐标， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 【变式04】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 题型三 二次函数中的动点与分类讨论 【真题呈现03】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求角的正弦值、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； (3)请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质与一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数求抛物线的解析式即可； （2）连接，过点M作轴交于点H，先求出直线的表达式为，设点，则点，根据四边形的面积求出m的值即可得出点M的坐标； （3）先依题意作图，设点M、N的坐标分别为、， 由点M、N的坐标可得直线的表达式为：，进而得出，再求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于，两点， ，解得， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示： 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则点， 则四边形的面积 ， 解得：， 故点； （3）解：依题意作图如图所示： 设点M、N的坐标分别为、， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 的表达式为：， 将代入得：， 整理得：， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，可得， 解得：， 可得：， ， 则 ． 【变式02】（2025·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点T的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 【变式03】（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 【变式04】（2025·上海嘉定·二模）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 【答案】(1) (2)证明：联立直线与抛物线解析式可得：， ， ， 方程无实根，即直线与该抛物线没有交点； (3)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、已知二次函数的函数值求自变量的值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案； （3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）略 （3）解：点纵坐标的取值范围为， 当时，， 解得：，， 得点，， 当时，， 解得：，， 得点，， 如图， ， ，， ， 如图，， ，， ， 综上所述：或． 题型四 二次函数与存在性问题 【真题呈现04】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 【变式01】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）令，则或1，即可求解； （2）求出， ，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解； （3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解． 【详解】（1）解：令，即， ∵ ， ∴， 解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）解：由，可得：， 平移后的点， 设直线AD表达式：， 把A、D坐标代入， 解得 ∴直线表达式为． 当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：． ∴抛物线的表达式：． （3）解：设直线的表达式为， 把点、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 又点， 作轴交于点H，则， 则四边形的面积， 则， 则抛物线的表达式为：； 则点、， 则， ∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即， 即，则， ∴, ∴点． 【变式02】（2025·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线）交x轴于点，，交y轴于点C，连接，，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是位于第一象限内的抛物线上一点，连接，交y轴于点E，交于点F，连接，如图1所示，若的面积记为，的面积记为，试问：是否存在这样的点D，使得，若存在求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，点M为抛物线的对称轴上一点，连接，，若，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、同弧或等弧所对的圆周角相等、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，求出直线的解析式为：，设点D的坐标为，则，求出，，得出，证明，得出，求出，，得出，即，求出其最大值进行比较即可得出答案； （3）连接，在上取点E，求出，证明，得出，求出，过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，得出，求出，证明，得出，求出，根据中点坐标公式求出，设，根据两点间距离公式得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：不存在，理由如下： 连接，过点D作轴，交于点G，交x轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点D的坐标为，则， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ ， 当时，的最大值为， ∵， ∴不存在这样的点D，使得； （3）解：连接，在上取点E，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ， ∵， 即， ∴为直角三角形，， 设，则， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过点A作，取，连接，过点F作轴于点G，以的中点N为圆心，的长为半径画圆，与抛物线的对称轴交于点M，连接，，，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ， ∴， 设，则， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，圆周角定理，两点间距离公式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的性质． 【变式03】（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点不存在 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、求抛物线与y轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出点的值，即可求解． （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段上，故点不存在． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 （2）由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 题型五 函数综合中的新定义与探究 【真题呈现05】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、切线的性质定理 【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解； （2）设直线为，求得； ，分 ①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ，这两个距离范围没有公共部分， 线段上不存在任意两个不同点，， 使得，则线段不是的“平衡图形”； 综上所述，线段、是的“平衡图形”； 故答案为：、； ②解：设直线与轴交于点； 当时 ，， 当 时，， ，， ， ， ， 当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时； 当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意， 当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足， 当与相切时．如上图所示∶此时， ； 当线段全部在外时，如图所示： 作于， ， 点到的距离满足， 点到的距离满足， 时符合题意，即， 综上所述，， 故答案为：； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 点， ， ①当在内时， 由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足， 作于，由上题可知：， 上点到的距离满足， 上任意一点到的距离满足， 时符合题意，即． ②当在时， 同①可得：， ，即此时可以无限大； 综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型． 【变式01】（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 【答案】（1）；（2）；（3）①是等腰三角形，；②是直角三角形，或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线与直线交点，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点； （1）先求出顶点坐标，代入得到，根据，得到，即可求解； （2）先按题目条件求出，，，，则，，，再根据，得到， ，代入求出，最后根据求解即可； （3）由（2）得，，，求出，，，再根据是等腰三角形或直角三角形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线开口向上， ∴，顶点坐标， ∵直线恰好经过抛物线的顶点D． ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得； （2）当时，解得， ∵抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧）， ∴，， 由（1）得，则直线与x轴交点， 联立，解得或， ∴抛物线与直线交于第一象限点， ∴，，， ∵与中，，， ∴当与相似时，只能是， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 如图，过作轴于，则，，， ∴； （3）由（2）得，，， ∴，，， ①如果是等腰三角形， 当时，，则，解得（负值舍去）； 当时，，则，方程无解； 当时，，则，方程无解； 综上所述，当是等腰三角形时，； ②如果是直角三角形， 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，方程无解； 当时，，解得（负值舍去）； 综上所述，当是直角三角形时，或． 【变式02】（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）令，得直线与轴的交点为，令，得直线与轴的交点为，结合题意知点，，再进一步求解即可． （2）直线与轴，轴分别交于点，，可得，求解．点坐标为，结合四边形为平行四边形，进一步求解即可． （3）结合题意知：，，，当点在第四象限且时，则，可得，进一步可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：令，得直线与轴的交点为， 令，得直线与轴的交点为， 由题意知点，在抛物线上， 分别把，和，代入得： ， 解得：． （2）解：直线与轴，轴分别交于点，， ∵点在抛物线，① ∴， ∵，∴． 令代入①式，得：． ∴，， ∴点坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得． ∴． （3）解：∵一次函数， 当，当，则， 同理：由一次函数可得： 当，当，则， 结合题意知：，，， ∴， ∴， 当点在第四象限且时，则， 在中，∵，， ∴， 如图， 当时，， 当时，， 在中，∵（）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式03】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； （2）①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为， 令，得 ，， 过点作轴于点，则， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当时，， 新抛物线的表达式为． (限时30分钟） 1.（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 2.（2026·上海虹口·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且，连接． (1)用含c的代数式表示抛物线的对称轴； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为点C，过点B作，与抛物线交于第四象限的点D，设点D的横坐标为m． ①求m与c的等量关系，并求出c的取值范围； ②在y轴负半轴上有一点E，连接、，如果射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)①，，② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解一元二次方程等知识． （1）先求出点坐标，即可确定点坐标，问题随之得解； （2）设与x轴交于点N，证明是等腰直角三角形，再证明是等腰直角三角形，即可确定点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，①联立直线的解析式和抛物线解析式，求出点坐标，根据点D在第四象限，列出不等式组，问题得解；②根据线段的数量关系确定点坐标，即可得的垂直平分线的解析式，令，求出点坐标，同理根据待定系数法可得：直线、直线的解析式，联立求出其交点坐标，根据射线与射线的交点Q在的垂直平分线上，则交点的纵坐标与的垂直平分线的解析式相等，即可得出关于的一元二次方程，即可求出解． 【详解】（1）解：当时，，即：， ∵点B在y轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的负半轴， ∴， 将代入， 即：，即：， ∴， ∴抛物线的对称轴为：； （2）如图，设与x轴交于点N， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， 设直线的解析式为：， 即：，， ∴， ∴直线的解析式为：， ①联立， 解得：，或者， ∴， ∵点D在第四象限， ∴，且， 解得：， ∵点D的横坐标为m， ∴； ②如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线解析式为：， 令， 整理：， 解得：，， ∴， 同理根据待定系数法可得：直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∵射线与射线的交点Q在的垂直平分线上， ∴， 整理：， 解得：（，不满足，舍去）， ∵， ∴． 3.（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为1 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 4.（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 5.（2025·上海崇明·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】求角的正切值、二次函数综合 【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解； （2）先求出顶点B坐标，根据的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解； （3）分和与不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， ∴ ∴抛物线表达式为； （2）把代入得y=4， ∴抛物线顶点B坐标为， 由的面积为3得, ∴BE=2， ∵点E在线段BC上， ∴点E坐标为， 把点和点代入得， ∴， ∴直线表达式为； （3）如图，①若，如图， 则四边形为平行四边形： 则点坐标为， 联结， ∴； ②若与不平行，如图， 则四边形为等腰梯形： 作BF⊥y轴于F，则， ∴点坐标为， 联结， ∴， 综上所述，此时的余切值为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用． 6．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 【答案】(1)①；② (2)顶点的运动轨迹：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①确定，得，根据正切的定义得，确定，代入求出的值即可； ②确定，抛物线的表达式为：，，得，求出的解析式为，得线段与交点的纵坐标为，根据“线段与线段有交点”得，求解即可； （2）确定，得，继而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴，且，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②∵抛物线与轴交于、两点， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∵将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，， ∴抛物线的表达式为：，， 当时，得：， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，得：， 即线段与交点的纵坐标为， ∵线段与线段有交点，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； （2）∵抛物线，顶点为点． ∴， ∴， ∴， ∴当抛物线的系数变化时，顶点的运动轨迹为：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像如下图所示． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，正切的定义，待定系数法确定函数的解析式，函数图象平移的规律，不等式的应用，画函数图象等知识点．掌握二次函数的图像与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2025·上海普陀·三模）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 【答案】(1)和；，； (2)见解析． 【知识点】一元一次不等式组的定义、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （）首先利用待定系数法求出表达式，然后令求解即可； 首先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式求解即可； （）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出，然后根据与轴的两个交点到点的距离均小于得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴与轴的交点坐标为和； ∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得， 代入得：， ∴，； （2）证明：把、代入得： ，， ∴ ， ∵图象与轴的交点和之间的距离为， ∴到和的距离均小于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $null