山东省潍坊市2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷（人教B版）

**基本信息** 本卷聚焦高一数学必修三、四核心内容，通过基础题、综合题梯度设计，考查复数、向量、三角函数等知识，突出数学思维与应用能力，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|复数运算、向量数量积、解三角形|基础巩固，如第4题结合终边点求三角函数值| |多选题|3题/15分|向量投影、复数性质、三角函数单调性|能力辨析，如第11题考查三角函数图像与零点| |填空题|3题/15分|纯虚数、向量垂直、三角恒等变换|细节检测，如第13题结合向量数量积求角度| |解答题|5题/80分|解三角形、向量应用、三角函数综合|创新应用，如第18题向量表示与面积最值，第19题三角函数图像变换与零点问题|

山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（解析版）（人教B版） 考试范围：必修三必修四第九章第十章，考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的乘方 【详解】因为复数， 所以. 2．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 3．已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故等于或. 4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 5．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.63 【知识点】距离测量问题 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 6．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 8．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的应用、求正切（型）函数的周期、二倍角的余弦公式 【分析】先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期. 【详解】函数的定义域是关于原点对称， ，所以是奇函数， 所以选项C,D错误， ， 其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确. 二、多选题 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【难度】0.68 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】化简复数，根据复数定义判断A；结合虚部定义判断B；根据复数与其共轭复数乘积等于模的平方的性质判断C；结合复数的模判断D. 【详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 11．已知函数（），则（     ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A正确，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由换元法可求得值域. 【详解】函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A正确； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C错误； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 三、填空题 12．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 13．向量，，其中，且.则_________. 【答案】/ 【难度】0.78 【知识点】二倍角的正弦公式、数量积的坐标表示 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 14．已知角，，且，，则_____． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出，再利用两角和差的正余弦公式可求出，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角，，，而， 若，则，则与矛盾， 故，则可得； 又，即， 则， 结合，可得， 故， 故. 四、解答题 15．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：，。。。3分 因为，所以或.。。。5分 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意.，。。。6分 （2）在中，因为， 所以，。。7分 把，， 代入得，。。8分 又因为， 所以，，所以，。。。10分 所以， 所以的面积为.。。。13分 16．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、向量夹角的计算 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）已知、， 则，，。。2分 又， ，，。。。4分 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得，。。。。6分 实数的值．。。。7分 （2）由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ，。。。9分 同理，。。。11分 ， ，。。。13分 又， ， ．。。。15分 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理与等面积法计算即可得. 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，。。2分 化简得，则，。。。5分 因为，所以；。。。7分 （2）由（1）知，又， 由余弦定理得， 即，。。。。9分 又因为，所以，。。。10分 由面积关系可得： ，。。。。13分 所以， 则.。。。。15分 18．如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.52 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】小问（1）将用与表示，再找到与，与的关系即可；小问（2）将用与表示，用共线的性质求证；小问（3）求出两个三角形的面积，运用小问（2）的定值求出的最小值. 【详解】（1）由可知为的三等分点， ．。。。1分 ， ， ，即，． ．。。。3分 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得．。。。。4分 ．。。5分 （2），． ，，.。6分 是的中点， ．。。。7分 ． ，，三点共线， ．。。9分 整理得，即． 为定值3．，。。。10分 （3）． 由（2）知， ．。。。12分 令，则， ，，． ．.。。15分 ， 当时，分母取最大值． 的最小值为．。。。17分 19．已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). (3). 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【详解】（1） ，。。。。。3分 所以函数的最小正周期.。。5分 （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当，。。。7分 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故，。。。8分 解得，所以的取值范围为.。。。10分 （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解，。。。13分 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根，。。。14分 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立，。。。16分 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为.。。。17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（评分标准）（人教B版） 考试范围：必修三必修四第九章第十章，考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的乘方 【详解】因为复数， 所以. 2．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 3．已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故等于或. 4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 5．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.63 【知识点】距离测量问题 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 6．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 8．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的应用、求正切（型）函数的周期、二倍角的余弦公式 【分析】先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期. 【详解】函数的定义域是关于原点对称， ，所以是奇函数， 所以选项C,D错误， ， 其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确. 二、多选题 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【难度】0.68 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】化简复数，根据复数定义判断A；结合虚部定义判断B；根据复数与其共轭复数乘积等于模的平方的性质判断C；结合复数的模判断D. 【详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 11．已知函数（），则（     ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A正确，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由换元法可求得值域. 【详解】函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A正确； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C错误； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 三、填空题 12．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 13．向量，，其中，且.则_________. 【答案】/ 【难度】0.78 【知识点】二倍角的正弦公式、数量积的坐标表示 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 14．已知角，，且，，则_____． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出，再利用两角和差的正余弦公式可求出，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角，，，而， 若，则，则与矛盾， 故，则可得； 又，即， 则， 结合，可得， 故， 故. 四、解答题 15．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：，。。。3分 因为，所以或.。。。5分 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意.，。。。6分 （2）在中，因为， 所以，。。7分 把，， 代入得，。。8分 又因为， 所以，，所以，。。。10分 所以， 所以的面积为.。。。13分 16．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、向量夹角的计算 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）已知、， 则，，。。2分 又， ，，。。。4分 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得，。。。。6分 实数的值．。。。7分 （2）由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ，。。。9分 同理，。。。11分 ， ，。。。13分 又， ， ．。。。15分 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理与等面积法计算即可得. 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，。。2分 化简得，则，。。。5分 因为，所以；。。。7分 （2）由（1）知，又， 由余弦定理得， 即，。。。。9分 又因为，所以，。。。10分 由面积关系可得： ，。。。。13分 所以， 则.。。。。15分 18．如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.52 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】小问（1）将用与表示，再找到与，与的关系即可；小问（2）将用与表示，用共线的性质求证；小问（3）求出两个三角形的面积，运用小问（2）的定值求出的最小值. 【详解】（1）由可知为的三等分点， ．。。。1分 ， ， ，即，． ．。。。3分 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得．。。。。4分 ．。。5分 （2），． ，，.。6分 是的中点， ．。。。7分 ． ，，三点共线， ．。。9分 整理得，即． 为定值3．，。。。10分 （3）． 由（2）知， ．。。。12分 令，则， ，，． ．.。。15分 ， 当时，分母取最大值． 的最小值为．。。。17分 19．已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). (3). 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【详解】（1） ，。。。。。3分 所以函数的最小正周期.。。5分 （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当，。。。7分 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故，。。。8分 解得，所以的取值范围为.。。。10分 （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解，。。。13分 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根，。。。14分 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立，。。。16分 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为.。。。17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（原卷版）（人教B版） 考试范围：必修三必修四第九章第十章 考试时间 120分钟 满分 150分 一、单选题 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知中，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 5．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，，则为（    ） A． B． C． D．或 7．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 8．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 二、多选题 9．已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 10．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 11．已知函数（），则（     ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 三、填空题 12．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 13．向量，，其中，且.则_________. 14．已知角，，且，，则_____． 四、解答题 15．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 16．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 18．如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 19．已知，函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； (3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省潍坊市高一数学下学期期末模拟卷（原卷版）（人教B版）》参考答案 1．B 【难度】0.95 【知识点】扇形面积的有关计算 【详解】由扇形圆心角，半径，得该扇形的面积为. 2．A 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 3．D 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理与余弦定理化简求解即可. 【详解】由余弦定理可得，因为，所以， 即，解得或， 由正弦定理可得， 即，即或， 因为，所以不合题意， 同理，当时，， 解得，解得，故等于或. 4．A 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【详解】由题意知为终边上一点，故， 所以. 5．D 【难度】0.63 【知识点】距离测量问题 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 6．A 【难度】0.75 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7．A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 8．A 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的应用、求正切（型）函数的周期、二倍角的余弦公式 【分析】先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期. 【详解】函数的定义域是关于原点对称， ，所以是奇函数， 所以选项C,D错误， ， 其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确. 9．AC 【难度】0.68 【知识点】求投影向量、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的计算 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10．ABD 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理化边为角，结合大边对大角即可判断A；利用正弦定理化角为边结合余弦定理即可判断B；举出反例即可判断C；利用余弦定理结合基本不等式和三角形的面积公式即可判断D. 【详解】A选项，当时，由正弦定理得， 在三角形中，大边对大角，所以，所以A选项正确； B选项，当时，由正弦定理得， 所以，所以为钝角， 故三角形是钝角三角形，B选项正确； C选项，若，则， ，所以C选项错误； D选项，由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以三角形面积的最大值是，D选项正确. 故选：ABD. 11．ABD 【难度】0.42 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A正确，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由换元法可求得值域. 【详解】函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A正确； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C错误； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 12． 【难度】0.82 【知识点】已知模求数量积、零向量与单位向量 【分析】结合单位向量的性质求出两向量的数量积，判断两向量相等，再计算即可. 【详解】已知，为单位向量，且， 所以，解得. 则与同向.又两向量模长均为1，故，因此. 13．/ 【难度】0.78 【知识点】数量积的坐标表示、二倍角的正弦公式 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 14． 【难度】0.6 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据已知条件结合同角三角函数关系可求出，再利用两角和差的正余弦公式可求出，最后利用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】角，，，而， 若，则，则与矛盾， 故，则可得； 又，即， 则， 结合，可得， 故， 故. 15．(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. （2）在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 16．(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、向量夹角的计算 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）已知、， 则，， 又， ，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得， 实数的值． （2）由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ， 同理， ， ， 又， ， ． 17．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助余弦定理与等面积法计算即可得. 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得， 化简得，则， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， 又因为，所以， 由面积关系可得： ， 所以， 则. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.52 【知识点】基本不等式求和的最小值、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】小问（1）将用与表示，再找到与，与的关系即可；小问（2）将用与表示，用共线的性质求证；小问（3）求出两个三角形的面积，运用小问（2）的定值求出的最小值. 【详解】（1）由可知为的三等分点， ． ， ， ，即，． ． 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得． ． （2），． ，， 是的中点， ． ． ，，三点共线， ． 整理得，即． 为定值3． （3）． 由（2）知， ． 令，则， ，，． ． ， 当时，分母取最大值． 的最小值为． 19．(1) (2). (3). 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【详解】（1） ，所以函数的最小正周期. （2）由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. （3）当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $