精品解析：上海市闸北第八中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

闸北八中2025学年度第二学期期中考试高一数学学科试题 (考试时间 120 分钟) 2026年4月 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知向量，则________ 【答案】 【解析】 【详解】向量，则. 2. 函数的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的最小正周期为. 3. 已知，则 ______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式将所求式展开，将代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 4. 在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为四边形为矩形，所以. 5. 在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接运用正弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆半径为. 故答案为： 6. 函数为奇函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 7. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得. 8. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 9. 将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 10. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】(0,1] 【解析】 【详解】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得， 所以的取值范围为. 11. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 12. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果即可. 【详解】因为，又存在，使得， 所以在上要有最大值与最小值，且， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 经分析，要使最小，需区间包含区间， 即且时，解得，所以的最小值为. 二、选择题(本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分) 13. 已知，，则角的终边位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 14. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 15. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对A，若，则，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 16. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】（1）角的终边经过点， 则， ； （2）原式. 18. 已知向量与的夹角为，求： （1）； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算律可求解； （2）由向量夹角公式可求解. 【小问1详解】 由向量与的夹角为， 则； 由； 【小问2详解】 由， 则， . 19. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 【答案】（1） （2）最大值为4，此时；最小值为1，此时 【解析】 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， 故当，即时，有最小值； 当，即时，有最大值. 20. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， ，所以． 【小问2详解】 在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． 【小问3详解】 在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 21. 已知函数 （1）化简的表达式. （2）若的最小正周期为，求的单调区间 （3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数； （2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 【小问2详解】 由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，上单调递减; 【小问3详解】 由（2）及已知，，因图像关于对称，则， 解得:,又，即有，，于是. 由得：，，而函数的周期， 依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：， 所以正实数λ的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闸北八中2025学年度第二学期期中考试高一数学学科试题 (考试时间 120 分钟) 2026年4月 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知向量，则________ 2. 函数的最小正周期为________． 3. 已知，则 ______. 4. 在矩形中，，，则_____________. 5. 在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 6. 函数为奇函数，则_____. 7. 在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 8. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 9. 将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 10. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 11. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 12. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 二、选择题(本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分) 13. 已知，，则角的终边位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 18. 已知向量与的夹角为，求： （1）； （2）与夹角的余弦值． 19. 已知函数一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 20. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 21. 已知函数 （1）化简的表达式. （2）若最小正周期为，求的单调区间 （3）将（2）中函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $