上海市格致中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

格致中学 二〇二五学年度第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 已知，，则___________. 2. 函数的定义域为____________. 3. 已知角为第三象限角，且，则_______. 4. 已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____. 5. 已知是等差数列，若，，则________. 6. 已知，若，则________. 7. 已知，则的最小值为________. 8. 已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 9. 已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 10. 已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是________. 11. 如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为3百米，平分，边和的长度都为4百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为________百米（精确到百米） 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列，（为正整数）分别为各项不等且首项是1的等差数列和等比数列，下列两个命题： ①：存在数列，，使关于的方程的解有无穷多个； ②：存在数列，，使有无穷多个元素. 则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题； D. ①、②都是假命题. 16. 如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和； ②测出和； ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（ ） A. ①、④ B. ②、④ C. ③、④ D. ④ 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知函数的表达式为，. （1）若，求的值； （2）若，，依次成等比数列，求的值. 18. 已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. （1）依次写出数列的前6项； （2）设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 19. 在中，角、、所对边的边长分别为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，，求的面积． 20. 若函数，，其值域为.若，则称函数在区间上为封闭函数. （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的值： （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立.若数列满足（为正整数），证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有. 格致中学 二〇二五学年度第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】2560 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1），，，，， （2）当时，取到最小值，无最大值 【19题答案】 【答案】（1）2 （2） 【20题答案】 【答案】（1）是，理由如下： 函数在上单调递增，当时， 函数的值域为，所以函数在区间上为封闭函数. （2）4； （3）由函数在上连续且为封闭函数，令，则函数在上连续， 由函数在上为封闭函数，得，，即有， 由函数在上连续，且，得存在，使得，即， 假设存在，且，使得，，则， 又任意的，都有成立， 则，矛盾，因此存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 由，得，则， ， 数列中的，且，由，得， ，由，得， 即，于是， 所以存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $