第6章 平行四边形本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

本章小结 大单元思维导图心…… 是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 对边平行且相等 性质 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 行四边 组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形.两腰相等 梯形 的梯形称为等腰梯形 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 三角形的 中位线 定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 大单元考点训练 考点1平行四边形及梯形的性质 AB=6,AC=8,DE=4,则BF的长为 1.下列关于等腰梯形的叙述中，不正确的是 ( ( A.4 B.3 A.等腰梯形的两底平行且相等 C. D.2 B.等腰梯形的两条对角线相等 4.如图，在平面直角坐标 C.等腰梯形在同一底上的两个角相等 D.等腰梯形是轴对称图形 系xOy中，四边形AB 2.如图所示，在□ABCD中，BD=CD,∠C= CD为平行四边形，点B 70°，AE⊥BD于点E,则∠DAE的度数为 与点O重合.若点A的 O (B) 第4题图 ( 坐标为（一1,3），根据图 A.20° B.25 中保留的作图痕迹判断点E的坐标为 C.30° D.35° ( A.(√10,0) B.(0,10) C.(3,0) D.(0,3) 5.如下图，O为口ABCD的对角线BD的中 第2题图 第3题图 点，经过点O的直线分别交BA和DC的延 3.如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB, 长线于点E和F,交边AD和BC于点 垂足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F.若 G,H. 下册第六章 (1)求证：AE=CF 考点3三角形的中位线定理 (2)若OE=5,HF=2,直接写出OG的长， 8.如图，周长为32的□ABCD中，AC,BD交 E 于点O,E是CD的中点.若BD=14,则 △ODE的周长是 () A.15 B.16 C.23 D.25 D 0 E入w M 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC, 考点2平行四边形的判定 AB=6√3，点N是BC边上一点，点M为 6.如图所示的是由边长为1的 AB边上一点（不与点B重合），点D,E分 小等边三角形构成的网格，每 别为CN,MN的中点，则DE的最小值是 个小等边三角形的顶点为格 点.线段AB的端点在格点 B 上.若以AB为边画一个平行 第6题图 10.如图，在△ABC中，F为 BC上一点，分别延长 四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多 AC,AF至点D,E,使得 A 可画 个平行四边形 第10题图 AD=2AC,AE=2AF. 7.（教材变式)如右图，四边形 连接DE,且DE=DC.若∠CAB= AECF的对角线AC,EF交 ∠CFA,CF=1,则BF= 于点D,延长EC到点B,连 考点4分类讨论思想 接AB.已知CF∥AE,AD=CD 11.在平面直角坐标系中，A(3,0),B(5,3), (1)求证：四边形AFCE是平行四边形 D(0,1),点C在第一象限.要使以A,B, (2)若BC=2CE,△ABC的面积为8，求 C,D为顶点的四边形为平行四边形，则点 △CDF的面积. C的坐标为 12.如图，等边三角形ABC的边长 为10cm,动点M从点B出发， 沿B→A→C→B的路径以 B 4cm/s的速度运动；动点N从第12题图 点C出发，沿C→A→B→C的路径以 3cm/s的速度运动.若动点M,N同时出 发，且其中一点到达终点时，另一点立即停 止运动.设运动时间为ts,则当t的值为 时，点A,M,N以及 △ABC的边上一点D恰好能构成一个平 行四边形 100 数学八年级BS版3三角形的中位线 1.D2.A 3.证明：在△ACD中，，CD=CA,CF平分∠ACB, ∴.AF=DF. 又，'AE=EB, .EF是△ABD的中位线，EF=2BD. 4.85.72 6.解：(1)如图所示，EF即为所求！ (2),EF为△ABD的中位线，EF=4, ∴.AD=2EF=8,∴.在□ABCD中，BC=AD=8. 7.解：(1)证明：，D,E分别为AB,AC的中点，∴.DE= 专Bc.DE/BC CF=2BC,∴DE=CP (2)3 【解析】(2)：DE∥FC,DE=FC, ,.四边形DEFC是平行四边形， ∴.DC=EF D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2， BD-AB-1.CDLAB.BC-2. ∴.EF=DC=√BC2-BD=√3. 8.A9.A 10.C【解析】如图，连接DN. E,F分别为DM,MN的中点， ∴.EF为△DMN的中位线， EF-DN. ∴当DN最大时，EF最大. ,当点N与点B重合时，DN最大，此时DN= VAD+AB*=6, 线段EF长度的最大值为3. 11.3√2【解析】连接AC,如图. 四边形ABCD为平行四 边形， ∴.AB=CD=4, ∴.AM=AB+BM=4+2=6, ∴.AC=√AM+CM=V√62+6=6√2 E,F分别为AD,DC的中点， EF为△ADC的中位线，EF=2AC=3E. 数学八年级BS版 12.解：I)EH=号AD EHLAD (2)(1)中的结论仍然成立.理由： 如图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接 CF,BF. DE=EF,CE⊥DF, △CDE是等腰直角三 角形， ∴.CD=CF,∠CDF= ∠CFD=45,∠ECF= ∠ECD=45°， ∴.∠ACB=∠DCF=90°，∴.∠ACD=∠BCF. 又，CA=CB,∴△ACD≌△BCF(SAS), AD=BF,∠A=∠CBF=45 .∠ABC=45°，.∠ABF=90°，∴.BF⊥AB DE-EF.DH-HB.EH-BF.EH/BF. ∴EH⊥AD,EH=ZAD, 本章小结 1.A2.A3.B 4.A【解析】由图可知，AE是∠BAD的平分线， ∴.∠DAE=∠BAE. :四边形ABCD为平行四边形， ,.AD∥BC,∴.∠BEA=∠DAE=∠BAE, .BE=AB=√+32=√10， .点E的坐标为（√0,0） 5.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD,AB∥CD, ∴.∠BEO=∠DFO,∠EBO=∠FDO. 又：O为BD的中点， .∴.OB=OD,.△EBO≌△FDO(AAS),∴.BE=DF 又AB=CD,.BE-AB=DF-CD,即AE=CF. (2)0G=3. 6.4 7.解：(1)证明：CF∥AE,∴.∠CFD=∠AED (∠CFD=∠AED, 在△CDF和△ADE中，∠FDC=∠EDA, CD=AD, ∴.△CDF≌△ADE(AAS),∴.DF=DE. 又：AD=CD, .四边形AFCE是平行四边形. (2)如图，过点A作AG⊥BE于点G, 1 SaAe=2BC·AG,SOAFCE= CE·AG. .BC=2CE. B 1 ·SOARCE=2BC·AG=S△Ac=8. ,四边形AFCE是平行四边形， SACOESOAFCE =2. 8.A 9.号【解析1：点D,E分 别为CN,MN的中点， DE=2CM.当CML AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小.如图，连 接CM.:∠ACB=120°，AC=BC,∴.AM=BM= 名AB=3v尽，∠A=∠B=30AC=CM.由勾股 定理得AC2=AM+CM,.4CM=27+CM, .CM-3..DE-TCM- 10.3【解析】由题意，得CF是△ADE的中位线，∴.DE =CD=AC=2CF=2,DE//CF,..AD=AC+CD =4..DE∥CB,.∠CFA=∠E,∠ACB=∠D. ∠CAB=∠CFA,.∠CAB=∠E.又CA= DE,.△CAB≌△DEA(AAS),.BC=AD=4, ..BF=BC-CF=3. 11.(2,4)或(8,2) 129支 【解析】当点M在线段AB上，点N在线段 AC上时，如图①. ,四边形ANDM为平行四边形， ∴.DM=AN,DM∥AN. △ABC是等边三角形， .△BMD和△NCD是等边三角形，∴.BM=DM, ..BM+CN=DM+CN=AN+CN=AC=10, 10 41+3t=10t=7 当点M在线段AC上，点N在线段AB上时，如图②. 同理可得△BND和△MCD是等边三角形，AM+ AN=AC=10. AM=4t-10,AN=3t-10, 41-10+31-10=10,1=7: 30 当点M在线段BC上，点N在线段AB上时，如图③. 同理可得△BMN和△MCD是等边三角形，CM= DM=AN. ,CM=4t-20,AN=3t-10, ∴.4t-20=3t-10,∴.t=10. :当停止运动时，1= 30 =7.5,且10>7.5， ∴.t=10(不合题意，舍去). 图② 综上所述，当1的值为9或9时.点AM,N以及 △ABC的边上一点D恰好能构成一个平行四边形. 专题训练 专题训练一含30°，45°角的直角三角板 1.D2.等边三角形3.30°，60°，90°，120°，150 4.解：(1)证明：由题意，得∠ABD=∠CAD=60°，AC ⊥BD BE平分∠ABD, 1 ∠ABE=∠DBE=2∠ABD=30°， ∴.∠CFB=90°-∠DBE=60°， .∠AFE=∠CFB=60°， .∠AFE=∠FAE=60°， ∴.△AEF是等边三角形，.AF=EF. (2)由(1)可知，∠DBE=30° ∠BCF=90°，CF=5,∴.BF=2CF=10. 又∠BAC=∠ABE=30°， ..AF=BF=10,..EF=AF=10, ∴.BE=BF+EF=20. ∠DBE=∠D=30°，∴.DE=BE=20. 5.A 6.解：AF⊥BE.理由如下： 由题意可知，△ECD和△BCA都是等腰直角三角形， ∴.EC=DC,BC=AC,∠ECD=∠ACB=90°. EC=DC. 在△BEC和△ADC中，∠ECB=∠DCA, BC=AC. ∴.△BEC≌△ADC(SAS),∴∠EBC=∠DAC. :∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA, .∠EBC+∠FDB=90°， ∠BFD=90°，.AF⊥BE, 7.证明：如图，连接AD. AB=AC,∠BAC=90°，D是 BC的中点， ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CADB =45°. ∠B=∠C=45°，∴∠B=∠DAC. :∠EDF=90°， ∴.∠EDA+∠ADF=∠BDE+∠EDA, ∴.∠ADF=∠BDE. ∠B=∠DAF, 在△BDE和△ADF中，{∠BDE=∠ADF, ED=FD. .△BDE≌△ADF(AAS),.BE=AF 8.C9.75 10.解：由题意可知，∠BAC=∠ADE=90°，∠ABC= ∠ACB=45°，∠DAE=30°，.AE=2DE. 下册参考答案