第06讲 平方根（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第06讲平方根 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1平方根概念理解 题型2求一个数的平方根 题型3已知一个数的平方根，求这个数 题型4平方根中的数值转换器问题 题型5利用平方根解方程 题型6求代数式的平方根 题型7算术平方根与平方根综合问题 04过关检测一练考点：强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标号航 1.理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0 平方根、√、开平 负数没有平方根。 方、正负两个、负数 2.掌握平方根的符号表示（±√「），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。 无平方根。 3.能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。 4.经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想： 学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。 学习难点：理解负数没有平方根的原因， 以及正确书写和区分"V”与"±V”的意义。 02 教材全解 ◇ 知1识1框1架 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平方根的概念 定义 正数平方根有两个 表示方法 解题方法与口诀 一正一负零独零 正数有两个平方根 混淆平方根与算术平方根 平方根的性质 负数没有平方根 忽略平方根符号 高频易错点 0的平方根是0 负数平方根判断错误 互为相反数 平方根判断 平方根 定义不同 高频考点 区别 个数不同 平方根与算术平方根辨析 平方根与算术平方根 表示不同 开平方计算 算术平方根是平方根正值 解方程 联系 平方根包含算术平方根 比较大小 平方根的应用 定义 实际计算 开平方运算 找平方等于被开方数 求平方根步骤 写出两个平方根 知I识I精I讲 知识点01平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：x2=a,那么数x就叫做a的平方根，记作±√a, 读作“正负根号a”, (2)表示方法：一个数a(a≥0)的平方根记作±√a(a≥0)，读作根号a,“正负根号a”, (3)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【易错提醒】 正数平方根有两个士V日)， 互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。注意区分平方根与算术平方根， 解题时勿漏负根。 即时即练1.用式子表示“9的平方根等于3”正确的是() A.V9=-3 B.5=3 C.√9=±3 D.±√5=±3 2.下列说法正确的是() A.-4是16的平方根 B.0没有平方根 C.25的平方根是5 D.V49=±7 3.求下列各数的平方根： (1)81: (3)1.69: 4刚22 6 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02开平方 (1)定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； (2)√a2与（√a)2(a≥0）的性质： a(a>0), (1)Va =la=( 0(a=0), -a(a<0) (2)(Va)2=a(a≥0) (3)√a2与（√a)2的区别与联系 2 区别：取值范围不同：√a中a为任意实数： a 中a≥0； 被开方数不同：、 匠中被开方数为d;(Va中被开方数为a 运算顺序不同：√先平方再开方；（先开方再平方。 联系： V匠结果为非负数；（a中≥0时，匠=(Va 【易错提醒】 求一个数的平方根（士V日）时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0的平方根是0；负数没有平方根，勿 开方。 即时即练1.解决下列问题： (1)已知m是√17-1的整数部分，√n=3,求√mn+54的平方根： (2)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简-a-1)3+V1-b)2-a-: -1a0 03 题型突破 题型1平方根概念理解 【例1】下列哪个数没有平方根() 3/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1.21 B.-4 C.0 D.（-22 【例2】下列说法正确的是() A.0的平方根是0 B.4的平方根是2 C.负数有2个平方根 D.正数只有1个平方根 【技巧归纳】 1.定义：若x2=a,则x是a的平方根，记作±V及。 2.双重性：正数有两相反平方根；0的平方根是0；负数无平方根。 3.区别：√a是算术平方根（非负），一√a是其相反数。 【变式1-1】下列说法中，正确的是（) A.√4的平方根是±2 B.（-3)的算术平方根是-3 C.0的平方根与算术平方根都是0 D.带根号的数都是无理数 【变式1-2】下列说法： ①√5是5的一个平方根： ②(-3)的算术平方根是一3； ③√4的平方根是±2； ④0的平方根是0. 其中错误说法的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2求一个数的平方根 【例3】 的平方根是 【例4】化简：±√4= 【技巧归纳】 求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方 根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。 【变式2-1】16的平方根是一；2的算术平方根是 【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根： (1)0.36: 16 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 : (4)104. 题型3已知一个数的平方根，求这个数 【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3-4a,则这个正数是 【例6】一个数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则这个数是 【技巧归纳】 已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是算术平 方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0的情况。 【变式3-1】若3a-7和a+3是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15,则√3m+7的值是」 题型4平方根中的数值转换器问题 【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是() 输入x取算术平方根 →是无理数？ 是，输出 香 是有理数 取平方根 1是无理数 A.5 B.±V5 C.5 D.±5 【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为9，则最后输出的y值是 输人x 是 取算术平方根 是无理数吗？ 输出y 否 取平方根 【技巧归纳】 数值转换器问题：明确貅输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出时考虑 正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。 【变式41】如图，是一个数值转换器，原理如图所示 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 (1)当输入的x值为16时，求输出的y值： 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在， 请说明理由 (3)输入一个两位数x,恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x=-· 【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下： 是有理数 取它的算 取它的负平方根 输入x 术平方根 输出y 取它的相反数 是无理数 (1)在-1,2,4,16中选择3个合适的数分别输入x,求对应输出y的值. (2)若输出y的值为-√3，求输入x的值. 题型5利用平方根解方程 【例9】解方程：(x+1)2=81 【例10】解方程：(x-1)2-4=0. 【技巧归纳】 解形如x2=a的方程：先判断a的正负，a<0无实数解；a0得x=0;a>0得=±V及。 注意将方程化为标准 形式，系数为分数时先化简，勿忘正负解。 【变式5-1】解方程：48-3(x-2)2=0 【变式5-2】解方程：42x-12=36. 解：（2x-12=9 2x-1=3.,.·..第一步 2x=4.···.·第二步 x=2.·····第三步 (1)以上解方程的过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解方程过程. 题型6求代数式的平方根 【例11】若a是√0的整数部分，b是5的小数部分.则a+b-√3+1的平方根是 【例12】若Vx+2+y+8=0|,则√y的平方根为 【技巧归纳】 求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用±表示。若含未知数，需讨论其范围 6/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。 【变式6-1】已知实数x,y满足y=√x-3+√3-x+2,则y的平方根为 【变式6-2】已知实数a,b,c满足：Va-5+b+4+(c-32=0,求： (1)a,b,c的值. (2)a+b+c的平方根. 题型7算术平方根与平方根综合问题 【例13】已知2a-1的平方根是±3，a+3b-1的算术平方根是4. (1)求a、b的值； (2)求ab+5的平方根。 【例14】已知3a+3的平方根为3，a+2b的算术平方根为4. (1)求a,b的值； (2)求b-3a的平方根， 【技巧归纳】 区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则值接平方。解 方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被牙方数需非负，此为隐含条件。 【变式7-1】已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和4-3n. (1)求m和的值： (2)若a-4+Vb+(c-n)2=0,求a+b+c的算术平方根. 【变式7-2】已知一个正数m的两个平方根分别是3-a和2a+1. (1)求m和a的值； (2)若2b-1的立方根为-5，求-二a-b的平方根. 04 过关检测 一、单选题 1.下列结论中，正确的是() A.-4的平方根是±2 B.0没有平方根 C.1的算术平方根是1 D.√9的平方根是3 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.下列语句中，正确的是() A.√-16的平方根是-4 B.√16的平方根是±4 C.√6的算术平方根是-2 D.√16的算术平方根是2 3.若一个正数的两个平方根是2a-1和a-8,则这个正数是() A.3 B.6 C.9 D.25 4.一个自然数的一个平方根是α，则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.±Va+1 B.a+1 C.a2+1 D.tva2+1 5.若√19介于两个连续的整数a和b之间(a<b),则a+b的平方根是() A.3 B.3 C.4 D.±4 二、填空题 6.-27= ，(-6)2的算术平方根为 ,√⑧1的平方根为 7.已知一个正数的两个平方根分别是a-1和10-2a,则a的算术平方根是_ 8.实数a、五满足a-)+v0+5=0,则2a-b的平方根是 9.实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图，化简1a+b-√-√a-b)= B A b 0a 10.已知y-1和3-2y的值互为相反数，且3x-21的平方根是它本身，则x+y的平方根为 三、解答题 11.利用平方根的意义求下列各式中的x. (1)x2-16=0; (2)3x-12=147. 12.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的平方根是±4，c是√13的整数部分，求a-b+2c的平方 根. 13.已知一个正数x的两个平方根分别是2a+1和a-4,b=√25-1. (1)求a和x的值； (2)求a+2b的平方根 14.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9. (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程ax-2-16=0的解 15.如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数√，设点A所表示的 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数为m 之十。十” (1)实数m的值是 (2)求(m+2+m+1的值. (3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与√d-4互为相反数，e是V13的整数部分，求 2c+3d+e2的平方根 9/9 第06讲 平方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平方根概念理解 题型2 求一个数的平方根 题型3 已知一个数的平方根，求这个数 题型4 平方根中的数值转换器问题 题型5 利用平方根解方程 题型6 求代数式的平方根 题型7 算术平方根与平方根综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平方根、±、开平方、正负两个、负数无平方根。 1. 理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根。 2. 掌握平方根的符号表示（±），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。 3. 能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。 4. 经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。 学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。 学习难点：理解负数没有平方根的原因，以及正确书写和区分“”与“±”的意义。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【易错提醒】 正数平方根有两个)，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。注意区分平方根与算术平方根，解题时勿漏负根。 即时即练1.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 2.下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 3.求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题考查了求平方根． （1）根据平方根的定义进行解答即可； （2）根据平方根的定义进行解答即可； （3）根据平方根的定义进行解答即可； （4）根据平方根的定义进行解答即可； （5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴81的平方根是． （2） ∴的平方根是． （3）， ∴1.69的平方根是． （4） ∴的平方根是． （5）， 的平方根是． （6） ∴的平方根是． 知识点02 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【易错提醒】 求一个数的平方根)时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0的平方根是0；负数没有平方根，勿开方。 即时即练1.解决下列问题： (1)已知是的整数部分，，求的平方根； (2)已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简．    【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出m的值；由于，根据算术平方根的定义可求n，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用算术平方根，立方根和绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：由数轴可得：， 则， 则 ． 题型1 平方根概念理解 【例1】下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B． 【例2】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【技巧归纳】 1. 定义：若x2 = a，则x是a的平方根，记作 。 2. 双重性：正数有两相反平方根；0 的平方根是0；负数无平方根。 3. 区别：是算术平方根（非负），是其相反数。 【变式1-1】下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数 【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答． 【详解】解：A、 的平方根是，故该选项错误； B、 的算术平方根是3，故该选项错误； C、 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确； D、 带根号的数不一定都是无理数，如，故该选项错误． 故选C． 【变式1-2】下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 题型2 求一个数的平方根 【例3】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【例4】化简：＝ ． 【答案】±2 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】±＝±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 【技巧归纳】 求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。 【变式2-1】16的平方根是 ；2的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得． 【详解】解：16的平方根是， 2的算术平方根是， 故答案为：，． 【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)平方根为，算术平方根为； (2)平方根为，算术平方根为； (3)平方根为，算术平方根为 (4)平方根为，算术平方根为100 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根的性质是解题关键． （1）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （2）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （3）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解； （4）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：的平方根为，算术平方根为； （2）解：的平方根为，算术平方根为； （3）解：的平方根为，算术平方根为； （4）解：的平方根为，算术平方根为100． 题型3 已知一个数的平方根，求这个数 【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 【例6】一个数的两个平方根分别是与，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义． 根据平方根的定义列方程求出a的值，即可求出原数． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故答案为：． 【技巧归纳】 已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是算术平方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0的情况。 【变式3-1】若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由和是某正数m的两个平方根得，求出a的值，进而求出m的值． 【详解】解：和是某正数m的两个平方根， ， 解得：， ， ， 故答案为：16． 【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出m的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得， ∴． 故答案为：4． 题型4 平方根中的数值转换器问题 【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键． 【详解】解：， ∵不是无理数， ∴最后输出的值为， 故答案为：． 【技巧归纳】 数值转换器问题：明确输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出时考虑正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。 【变式4-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 【答案】(1) (2)存在，或1 (3)25或36或49或64 【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质． （1）按照程序依次计算即可得到答案； （2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答； （3）根据平方根的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 则； （2）解：存在， 当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根， ∴当或1时，始终输不出值， 综上所述，或1； （3）解：或或或． 则两位数或36或49或64． 【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 题型5 利用平方根解方程 【例9】解方程： 【答案】， 【分析】根据平方根定义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 【例10】解方程：． 【答案】， 【分析】直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 【技巧归纳】 解形如x2 = a的方程：先判断 a 的正负，a<0无实数解；a=0得 x=0；a>0得x=。注意将方程化为标准形式，系数为分数时先化简，勿忘正负解。 【变式5-1】解方程： 【答案】或． 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 【变式5-2】解方程：． 解： ．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 (1)以上解方程的过程中从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． (2)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)一，求的平方根出错 (2)见解析 【分析】（1）根据正数的平方根有两个，互为相反数，可知，第一步开方运算出错； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：以上解方程的过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是求的平方根出错． 故答案为：一，求的平方根出错； （2）解：， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 题型6 求代数式的平方根 【例11】若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【答案】/3和/和3 【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，, ∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则， ∴， ∴9的平方根为． 故答案为：． 【例12】若|，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对值的非负性得到，先求出，再求出的平方根即可． 【详解】解：因为， 所以0，， 解得， 所以， 所以的平方根为： 故答案为：． 【技巧归纳】 求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用 ± 表示。若含未知数，需讨论其范围以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。 【变式6-1】已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【变式6-2】已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型7 算术平方根与平方根综合问题 【例13】已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【例14】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 【技巧归纳】 区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则直接平方。解方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被开方数需非负，此为隐含条件。 【变式7-1】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 【变式7-2】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得，求解确定的值，然后计算的值即可； （2）首先根据立方根的定义确定的值，进而可得的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得：， ； （2）的立方根是， ， ， ，且64的平方根为， ∴的平方根为． 一、单选题 1．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 2．下列语句中，正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即无意义，原说法错误，不符合题意； B、的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法正确，符合题意． 3．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 4．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 5．若介于两个连续的整数和之间（），则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算无理数的范围，得到连续整数和的值，再计算，最后求出的平方根即可得到答案． 【详解】∵ ， ∴ ，即． ∵ ，且，是连续整数， ∴ ，． ∴ ． ∵ 的平方根是， ∴ 的平方根是． 二、填空题 6．_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：正数的两个平方根互为相反数 整理得 解得 的算术平方根为． 8．实数、满足，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出的平方根即可． 【详解】解：∵实数、满足，，， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 9．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 10．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 三、解答题 11．利用平方根的意义求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数： （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：移项，得 根据平方根的定义，得 或； （2）解：系数化为，得 根据平方根的意义，得 或 所以或． 12．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 13．已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值即可； （2）求出b的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 14．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 15．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，e是的整数部分，求的平方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数； （2）代入m求值即可； （3）根据非负数的性质，求得c，d的值，根据无理数的估算，求出e的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，则点A所表示的数为． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∵17的平方根是， ∴的平方根是． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $