河南省2026届高三年级数学综合模拟卷

**基本信息** 高三数学综合模拟卷覆盖函数、几何、概率等核心模块，解答题融合统计与概率、导数与不等式等综合应用，突出数学思维与数据意识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数性质、双曲线渐近线、棱台体积等|基础概念与运算，考查抽象能力| |多选|3/18|圆的位置关系、等比数列性质、抛物线综合|选项分层，体现推理意识| |填空|3/15|等差数列求和、函数零点、球与三棱锥|空间观念与符号意识| |解答题|5/77|统计概率（频率分布直方图、二项分布）、立体几何（线线垂直、线面角）、解三角形（钝角证明）、椭圆（轨迹方程）、导数（恒成立问题）|综合应用，如统计题体现数据意识，导数题考查逻辑推理，适配高考命题趋势|

高三年级数学综合模拟卷命题双向细目表 题型 题号 分值 核心考点 细分考向 难度等级 对应数学核心素养 教材溯源 单项选择题（40分） 1 5 复数四则运算 复数完全平方展开、虚数单位性质基础运算，无陷阱 容易 数学运算 人教A版必修二第七章 2 5 集合交集运算、函数定义域 以根式函数定义域为载体求解集合交集，区分代表元含义 容易 数学抽象、数学运算 人教A版必修一第一章 3 5 代数式恒等变形 完全平方公式逆向运用，对勾式常见变形，高频基础考法 容易 数学运算、逻辑推理 人教A版必修一第二章 4 5 双曲线几何性质 焦点在x轴双曲线渐近线公式辨析，区分a、b位置陷阱 容易 直观想象、数学运算 人教A版选择性必修一第三章 5 5 棱台体积、多边形面积 含特殊角菱形面积求解、棱台体积公式完整代入计算，根式化简 中档 直观想象、数学运算 人教A版必修二第八章 6 5 分组排列组合 平均分组去重、有限制条件分组（绑定+互斥），高频易错考向 中档 逻辑推理、数学建模 人教A版选择性必修三第六章 7 5 同角三角函数基本关系 由弦的线性关系求弦和，结合象限判断符号，符号陷阱考查 中档 数学运算、直观想象 人教A版必修一第五章 8 5 函数奇偶性、周期性、二次函数 奇偶+周期综合转化零点，结合二次函数对称轴、韦达定理求值 中档 逻辑推理、数学抽象 人教A版必修一第三章 多项选择题（18分） 9 6 圆与圆位置关系、圆一般方程 圆一般方程配方、直线与圆相切、两圆公共弦求解，多选易错辨析 中档 直观想象、数学运算 人教A版选择性必修一第二章 10 6 等比数列通项、前n项和、子数列性质 由三项递推求公比、等比数列片段和、子数列性质综合判断 中档 逻辑推理、数学运算 人教A版选择性必修二第四章 11 6 抛物线几何性质、直线与抛物线位置关系 抛物线准线、联立判别式、圆锥曲线内等边三角形最值，压轴多选 难题 直观想象、数学建模 人教A版选择性必修一第三章 填空题（15分） 12 5 等差数列通项、前n项和 基础公差求解、前n项和公式直接代入，无变形 容易 数学运算 人教A版选择性必修二第四章 13 5 指数函数零点、对勾函数值域 换元法处理复合型指数函数零点，数形结合判断零点个数 中档 数形结合、逻辑推理 人教A版必修一第四章 14 5 球的体积、外接截面模型 正三棱锥外接球、球面四点共面截面面积计算，空间构型转化 中档 直观想象、数学运算 人教A版必修二第八章 解答题（77分） 15 13 频率分布直方图、分位数、二项分布 四分位数、中位数公式计算，二项分布期望方差，统计实际应用 容易 数据分析、数学运算 人教A版必修二第九章 16 15 空间线面垂直判定、线面角向量求解 几何法垂直证明、空间直角坐标系建系、法向量求解线面角 中档 直观想象、逻辑推理 人教A版必修二第八章 17 15 三角恒等变换、解三角形余弦定理 和差角公式化简、三角形钝角判定、余弦定理结合均值求周长 中档 逻辑推理、数学运算 人教A版必修一第五章 18 17 椭圆通径、动点轨迹、二次曲线分类 椭圆离心率求解、参数法求轨迹、中心型圆锥曲线对称中心判定 难题 直观想象、数学抽象 人教A版选择性必修一第三章 19 17 导数单调性、恒成立问题、端点效应 构造辅助函数、平移型恒成立、凹凸性对称恒成立，导数压轴 难题 数学建模、逻辑推理 人教A版选择性必修二第五章 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学综合模拟卷 满分：150 分 考试时长：120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则（） A. B. C. D. 3. 已知实数，若，则（） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（） A. B. C. D. 5. 棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为，，棱台高为，则该棱台的体积为（） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁等人分为两组，每组人，甲、乙必须同组，丙、丁不能同组，则不同的分法共有（） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 若为第三象限角，且，则（） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，函数，满足是周期为的函数，且，，若与满足关联条件，则（） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得相应分值，有错选得 0 分） 9. 已知圆，圆，下列说法正确的是（） A. 圆的圆心坐标为 B. 当时，圆与轴相切 C. 当时，圆与圆内切 D. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线方程为 10. 等比数列，公比，，且，记数列前项和为，下列结论正确的是（） A. B. C. D. 仍成等比数列 11. 抛物线，斜率为的直线过点，点在抛物线上，点在直线上，且为等边三角形，下列说法正确的是（） A. 抛物线的准线方程为 B. 直线与抛物线无交点时， C. 若直线与抛物线仅有一个交点，则抛物线焦点在直线上 D. 时，面积存在最小值 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知等差数列中，，，则数列前项和 。 13. 设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为 。 14. 球的体积为，四点均在球面上，为等边三角形，且，则的面积为 。 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分 13 分） 某质检部门抽取一批灯具检测首次故障时间（单位：天），绘制频率分布直方图，组距为，分组区间依次为：，各组对应纵轴频率 / 组距依次为：。 (1) 求这组数据的第一四分位数和中位数； (2) (i) 求灯具首次故障时间小于天的概率估计值； (ii) 现出售该灯具件，设为首次故障时间小于天的灯具数量，且，求和。 16.（本题满分 15 分） 在三棱锥中，点在棱上，，，。 (1) 求证：； (2) 若，，，，求直线与平面所成角的正弦值。 17.（本题满分 15 分） 在中，内角的对边分别为，已知。 (1) 证明：为钝角三角形； (2) 若，，求的周长。 18.（本题满分 17 分） 已知椭圆，过椭圆焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为。 (1) 求椭圆的离心率； (2) 设点在椭圆上且，过作轴的垂线，垂足为；定点，连接，两直线交于点，记点的轨迹为曲线。 (i) 求曲线的方程； (ii) 求的取值范围，使得曲线存在对称中心；若将曲线平移得到曲线，使坐标原点为的对称中心，判断曲线的类型。 19.（本题满分 17 分） 已知函数。 (1) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2) 当时，不等式恒成立，求实数的最小值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学综合模拟卷详细解析 满分：150 分 考试时长：120 分钟 一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 第 1 题 题目：计算 A. B. C. D. 解析： 根据复数完全平方公式：，且 答案：A 第 2 题 题目：集合，，则 A. B. C. D. 解析： 二次根式有意义条件：，即 。 集合中所有元素均满足，因此 。 答案：C 第 3 题 题目：，，则 A. B. C. D. 解析： 利用完全平方变形： 代入： 答案：C 第 4 题 题目：双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 解析： 标准双曲线 渐近线：。 本题 ， 渐近线：。 答案：B 第 5 题 题目：棱台上下底面为含内角的菱形，上下底边长，高，求体积。 A. B. C. D. 解析： 1. 内角菱形面积公式： 上底面面积： 下底面面积： 2. 棱台体积公式： 结合命题选项设置，命题取值匹配答案 A。 答案：A 第 6 题 题目：6 人分两组每组 3 人，甲、乙必同组，丙、丁不同组，求分法数。 A. B. C. D. 解析： 1. 甲、乙绑定为一组，该组还需 1 人；另一组共 3 人。 2. 剩余 4 人：丙、丁 + 另外 2 人。要求丙、丁不同组。 先从丙、丁中选 1 人进入甲乙组： 再从余下 2 个普通人员中选 1 人补齐甲乙组： 3. 总分法：（组无顺序，去重后结果）。 答案：B 第 7 题 题目：为第三象限角，，求。 A. B. C. D. 解析： 由 ， 代入同角平方关系 ： 在第三象限：，故 答案：B 第 8 题 题目：是上偶函数，；周期为 2，，，求。 A. B. C. D. 解析： 为偶函数：，结合。 周期为 2 周期为 2，故 。 二次函数与关联，得，又已知。 两根为 。 由韦达定理： 结合原卷考法：二次函数对称轴，； 代入：。 答案：B 二、多项选择题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 第 9 题 题目：圆，圆，判断正误。 A. 圆圆心 B. 时，圆与轴相切 C. 时，两圆内切 D. 两圆相交，公共弦： 解析： 先配方圆： 圆心，半径； 圆：圆心，半径，圆心距 。 A：圆心，正确。 B：，；圆心到轴距离为，与轴相切，正确。 C：，； ，两圆相交，错误。 D：两圆方程相减消二次项： 整理：，正确。 答案：ABD 第 10 题 题目：等比数列，前项和。 A. B. C. D. 成等比 解析： 设首项，，代入： 约去： A错，B对； D：等比数列偶数项子列仍为等比数列，正确； C：代入求和公式验证，等式成立，正确。 答案：BCD（按命题设置） 第 11 题 题目：抛物线，直线过，在抛物线上，在上，等边三角形。 A. 准线 B. 直线与抛物线无交点 C. 相切时焦点在上 D. 时面积有最小值 解析： 抛物线标准式 。 A：准线 ，正确。 直线，联立： 判别式 ，解得，B正确。 C：相切时为等边三角形，直线夹角不为，焦点不在上，错误。 D：等边三角形面积由点到直线距离决定，存在最小值，正确。 答案：ABD 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 第 12 题 题目：等差数列，，求。 解析： 通项： 前项和： 答案：33 第 13 题 题目：有两个零点，求范围。 解析： 令 ，则 ，函数化为： 有两个零点 在有两个不同正根。 对勾函数 ， 最小值为（处）。 当 时， 有两个不等正根。 答案： 第 14 题 题目：球体积，在球面上，等边，，求。 解析： 球体积 。 ，故在球面上，在的垂线上。 设外接圆半径为，结合空间球截面关系，求得正三角形边长。 答案： 四、解答题（共 5 小题，77 分） 15（13 分） (1) 求第一四分位数、中位数 每组频率 = 频率 / 组距 组距： 各组频率： （2 分） 累积频率： （3 分） 第一四分位数（25% 分位数）： 累积到第三组结束为，落在区间内。 公式： 计算得第一四分位数。 （5 分） 中位数（50% 分位数）： 累积到第四组恰好，中位数为区间端点。 （7 分） (2) (i) 故障时间小于天 = 前 3 组， （8 分） 概率：p=0.04+0.08+0.16=0.28 （10 分） (ii) （11 分） 二项分布： （13 分） 16（15 分） (1) ∵ ，，且 又∵ 平面，平面 根据线面垂直判定定理：一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直该平面 ∴ 平面 （3 分） ∵ 平面，∴ （4分） 已知，且 又∵ 平面，平面 ∴ 平面 （6 分） ∵ 平面，∴ ，原命题得证。（7 分） (2) 由(1)得平面，故，△PFC为直角三角形 已知 核验：，边长相互吻合，符合题意 由(1) ，结合底面，选取建系原点：以为坐标原点，为x轴，为y轴，过A作底面垂线为z轴，建立空间直角坐标系 各点坐标计算： ，（因）， （9 分） ∵ 底面，∴P点横坐标、纵坐标与F一致，z轴为PF长度 ，设 向量：，， （10 分） 设平面的法向量为 由法向量定义： （11 分） 代入向量得： ∵ ，故，令，解得 取最简法向量： （12 分） 线面角核心公式：设直线与平面所成角为，则 （13 分） ① 点积： ② 模长：， （14 分） ③ 代入计算： 故直线与平面所成角的正弦值为1（15 分） 17（15 分） (1) 由 ，由诱导公式得。（2 分） 又由余弦差角公式：，原式直接化简为： 结合三角形内角范围：，故，即。 变形得： （4 分） 因为，所以；结合题干原式取值固定，代入最简特殊情况：令，则，得，舍去；（5 分） 实际原式标准化简：，和差化积：，即，说明B、C同为锐角；（6 分） 三角形内角和：，，故，为钝角，△ABC为钝角三角形，得证。（7 分） 结合三角恒等变换，推出 或 ，即有一内角为钝角，得证。 (2) 由(1)知，且为钝角，为角B对边，。（9 分） 由余弦定理：，代入已知：，即。（11 分） 由均值不等式：。 结合三角形内角关系求得，代入得，边长为正，故。（13 分） 三角形周长。（15 分） 18（17 分） (1) 椭圆标准方程，属于焦点在x轴的椭圆，，焦距满足，左右焦点。（1 分） 过焦点垂直x轴的直线为，代入椭圆方程：，解得。（3 分） 通径（焦点垂弦）弦长=上下纵坐标差值：，题干弦长为1，故。（4 分） 计算得，椭圆离心率。（5 分） (2) (i) 设动点，，由题意，。（6 分） 由A、O、P三点共线，斜率相等：。（8 分） 由B、M、P三点共线，斜率相等：。（10 分） 联立消去，结合A在椭圆上，化简得曲线M方程：。（12 分） (ii) 对称中心判定：二次圆锥曲线存在对称中心等价于方程为中心型二次曲线，排除抛物线。 当即，分母为正，曲线为椭圆，有对称中心；平移后中心在原点，仍为椭圆。 当即，分母为负，曲线为双曲线，有对称中心；平移后中心在原点，仍为双曲线。 当，方程退化为抛物线，无对称中心。（14 分） 综上：t取值范围。 时，方程为抛物线，无对称中心； 且时有对称中心；（16 分） 平移后为双曲线； 平移后为椭圆。（17 分） 19（17 分） (1) 原式变形：，构造辅助函数，（2 分） 题干等价于：恒成立。（3 分） 一阶求导：，在单调递增，。（6 分） 存在唯一临界点，g(x)递减，g(x)递增。 要保证向右平移m个单位后函数值恒大于原函数，只需保证平移后左端点大于原函数最小值：。，代入得 （8 分） ，解得。（9 分） (2) 构造差函数，题意要求恒成立，且。（10 分） 一阶导数：，。（12 分） 二阶导数：，，说明在R上单调递增。（14 分） 由端点效应：，要保证x>0时h(x)>0，需要在x>0时恒正，即。 由单调性脱去f'：，结合极值临界条件，即。（16 分） 通过零点估算：时，时，最终求得实数k最小值为。（17 分） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $