精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年第二学期考前热身高三数学试卷

北京市第八十中学2025——2026学年第二学期考前热身 高 三 数 学 2026年5月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为全集，，， 所以，故. 2. 已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 3. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 4. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 5. 若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数”是“是偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：与同是奇函数，则是偶函数，而时是偶函数，但与都不是奇函数，因此选A. 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． 2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 6. 为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 向右平移1个单位（纵坐标不变） D. 向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 7. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 【答案】C 【解析】 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 8. 已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 可以取到 C. D. 可以取到 【答案】D 【解析】 【详解】因为，又，所以，， 所以，，又，所以或， 若，则，由余弦定理可得， 所以，故A错误； 因为，又在上单调递增，所以， 又，所以取不到，故B错误； 若，又在上单调递增，所以， 若，可得，又，所以，故C错误； 因为或，又在上单调递减，所以， 又，所以可以取到，故D正确. 9. 如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的高 连接，利用截面三角形的面积，求出底面棱长以及侧棱长，利用棱柱侧面积公式即可求解. 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图： 作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 10. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【解析】 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【详解】二项式展开式通项公式为，， 令，解得，所以， 所以二项式展开式中，的系数为. 12. 已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】双曲线上的点到直线距离无最小值时，直线与双曲线的一条渐近线平行，由此确定的值，再计算离心率． 【详解】方程  表示双曲线，故 ，可化为 ， 其渐近线为 ，直线 即 ， 若点到直线的距离不存在最小值，则直线与双曲线不相交且平行于渐近线， 故，解得 ， 此时双曲线为 ，即 ，离心率 ． 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 14. 已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将方程转化为二次方程，分析不同区间内根的个数，结合恒为解，得到的取值范围，然后任选一个值即可. 【详解】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解，由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意，所以，所以满足条件的可以是． 15. 已知曲线：.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③当时，满足； ④曲线上任意两点、，当时，. 其中所有正确结论的序号为_______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，假设曲线的对称中心为，将一对点坐标代入曲线方程，化简通过对照系数，如果能求出，则说明曲线为中心对称图形；对于②，联立方程求解即可；对于③，将方程变形为，通过作差法即可判断；对于④，三点共线时取得最小值，因此先求出的取值范围即可判断④. 【详解】①，假设曲线的对称中心为，设点是曲线上的任意一点， 其关于点的对称点为， 代入方程：， 整理得， 又，所以，解得， 说明曲线关于点对称，故①正确； ②，联立， 消去并整理可得，此时， 故曲线与直线有一个交点，故②错误； ③，当时，原方程不成立，故曲线可变形为， ，当时，，即，即，故③正确； ④，由③知，设， 因为， 令，，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，同理， 由①知曲线关于点成中心对称， 所以当和都最小时，三点共线， 此时最小，所以，故④错误. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），，． （2）条件③不符合题目要求，选①或②时的最小正周期均为． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【小问1详解】 因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求 17. 在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． （1）当点是棱中点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． （1）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； （2）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； （3）已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）计算出样本中青年用户的频率，然后利用频率估计概率的思想可得结果； （2）利用独立重复试验以及独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为，根据题意得出，结合超几何分布的概率公式可得出关于的不等式组，即可解出符合条件的值. 【小问1详解】 由题意可知，样本中青年用户的频率为． 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是青年用户，则可估计为． 【小问2详解】 从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是中年用户的概率为， 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，用户中既有青年又有中年， 则 ． 【小问3详解】 从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为， 因为从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大， 则，所以， 整理可得，解得， 又因为，故或或. 19. 已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 【答案】（1） （2）设点，则由（1）可得． 依题意可知直线的斜率存在，设的方程为，则． 由，得． 因为直线与椭圆有唯一的公共点， 所以．整理得． 由，得． 解得，． 由（1）知直线即直线， 由，得． 又直线：，直线：． 由，得． 所以 ． 所以．所以轴． 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解； （2）设点的坐标以及直线的方程，与椭圆方程联立，利用，解得，从而得到，．联立与直线的方程解得的坐标，分别表示出直线与直线的方程，求出交点，利用斜率关系可得轴，即可证明结论. 【小问1详解】 由已知得解得 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 21. 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：，，不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可； （2）利用反证法：假设，，是数列中的项，利用已知条件②①，推出得到矛盾结果． （3）的最大值为，一、令：，则符合①②，二、设：，，…，（）符合①②，（i）中至多有三项，其绝对值大于． 利用反证法证明假设中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于．利用反证法推出矛盾结论、（iii）中至多有两项绝对值等于．（iv）中至多有一项等于．推出的最大值为． 【小问1详解】 由①得：， 由②得：当，，时，，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得：， 经检验，当时，符合题意， 【小问2详解】 假设，，是数列中的项，由②可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且， 由①，， 对于数，，由②可知：， 对于数，，，由②可知：， 所以，这与①矛盾． 所以，，不可能是数列中的项． 【小问3详解】 的最大值为，证明如下： 一、令：，则符合①②， 二、设：，，…，（）符合①②，则： （i）中至多有三项，其绝对值大于． 假设中至少有四项，其绝对值大于，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中，则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项， 同理：也是数列中的项．但，， 所以，所以，这与①矛盾． （ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于， 假设中至少有四项，其绝对值大于且小于，类似（i）得出矛盾， （iii）中至多有两项绝对值等于． （iv）中至多有一项等于0． 综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有项， 由一、二可得，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025——2026学年第二学期考前热身 高 三 数 学 2026年5月 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数”是“是偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6. 为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 向右平移1个单位（纵坐标不变） D. 向上平移2个单位（横坐标不变） 7. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 8. 已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 可以取到 C. D. 可以取到 9. 如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若和都有最小值，则有最低点； B. 若有最低点，则和都有最小值； C. 若或有最小值，则有最低点； D. 若有最低点，则或有最小值. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 12. 已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 13. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 14. 已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 15. 已知曲线：.给出下列四个结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线与直线有两个交点； ③当时，满足； ④曲线上任意两点、，当时，. 其中所有正确结论的序号为_______. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． （1）当点是棱中点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． （1）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； （2）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； （3）已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 19. 已知椭圆：的离心率为，，分别是的上、下顶点，点是椭圆的右顶点，的面积为（是坐标原点）．若直线与椭圆有唯一的公共点，且与直线交于点，直线与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线与的夹角为定值． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设，若对恒成立，求的取值范围． 21. 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （1）若，且，，，，求的值； （2）证明：，，不可能是数列中的项； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $