5.1 矩形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

记GH与EF的交点为O,则GO= HO,EO=FO. 又因为BE=DF, 所以BE+EO=DF+FO,即BO=DO 所以GH与BD互相平分 一方法归纳 求证“互相平分”问题的方法 解决有关“互相平分”的问题时 要联想平行四边形的对角线互相 平分的性质，设法构造平行四边 形，这样做省去了分别说明平分的 麻烦，比较简便 第5章 特殊平行四边形 5.1矩形 第1课时矩形的概念与性质 1.D2.C 3.2解析：因为EA平分∠BED,所 以∠AEB=∠AED.因为四边形 ABCD是矩形，AD=10,AB=6,所 以CD=AB=6,BC=AD=10,AD∥ BC,∠C=90°.所以∠DAE= ∠AEB.所以∠DAE=∠AED.所以 AD=DE=10.所以EC= √DE-CD=√102-62=8.所以 BE=BC-EC=10-8=2. 4.因为FH⊥EF, 所以∠HFE=90°. 因为GE=GH, 所以PG=EH=GE, 所以∠AFB=∠E. 因为四边形ABCD为矩形 所以AB=DC,∠ABF= ∠DCE=90° 在△ABF和△DCE中， ∠AFB=∠E, ∠ABF=∠DCE, AB=DC, 所以△ABF≌△DCE. 所以BF=CE 所以BF-BC=CE-BC,即BE=CF 5.B解析：因为四边形ABCD为矩 形，所以AD∥BC,∠C=90°，AB= CD,AD=BC.所以∠ADF= ∠DEC.因为AF⊥DE,所以 ∠AFD=∠C=90°.在△AFD和 I∠ADF=∠DEC, △DCE中，∠AFD=∠C,所以 AD-DE. △AFD≌△DCE.所以AF=DC, DF=CE.所以AB=AF,BE=BC CE=AD-DF.故A,C,D正确，不符 合题意.只有当∠ADE=30°时，才有 AF=号AD,故B不一定正确，符合 题意 6.B解析：设AP=x.因为四边形 ABCD为矩形，所以AD∥BC. 所以∠DAE=∠F,∠ADE= ∠FCE.又因为∠PAE=∠DAE,所 以∠PAE=∠F.所以PF=AP=x. 因为E为CD的中点，所以DE= CE.在△ADE和△FCE中， ∠DAE=∠F, ∠ADE=∠FCE,所以△ADE≌ DE=CE, △FCE.所以AD=FC=4.所以 BP=BC-CP=BC-(PF-FC)= 4一(x一4)=8一x.因为∠B=90°，所 以AB2+BP2=AP2.所以22+(8 =,解得x=早所以A的长 为好 7.54°解析：因为四边形ABCD是 矩形，所以∠DCB=90°，OC=OB.因 为∠DCE=4∠BCE,所以∠DCE= 专×对=2：所以∠E=18:因 为CE⊥BD,所以∠BEC=90°.所以 ∠OBC=90°-∠BCE=90°-18°= 72°.因为OC=OB,所以∠OCB= ∠OBC=72.所以∠ACE= ∠OCB-∠BCE=72°-18°=54°. 8.√0解析：如图，连结OB,交直 线！于点G.因为直线1将矩形 OABC分为面积相等的两部分，所以 易知G是OB的中点.取OC的中点 H,连结GH.所以GH∥BC,GH C,因为四边形OABC是矩形， 所以BC=OA=6.所以GH=3.因为 H是0c的中点，所以0H=20C= 37 1.若要点O到动直线1的距离最大 则l⊥OG.在Rt△OGH中，由勾股定 理，得OG=√OH+G= √+3=√10.所以，点0到动直线 l的最大距离为√0. B H---G 0 F A x (第8题) 9.(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以∠BAD=∠ABE=90°. 因为AE平分∠BAD, 所以∠BAE=45°. 所以△ABE是等腰直角三角形. (2)因为四边形ABCD是矩形， 所以OA=OB. 因为∠CAE=15°， 所以∠BAO=∠BAE+∠CAE= 45°+15°=60 所以△AOB是等边三角形， (3)由(2)，得△AOB是等边三角形. 所以∠ABO=60°. 所以∠OBE=∠ABE-∠ABO= 90°-60°=30°. 因为易得BE=AB,OB=AB, 所以OB=BE. 所以∠OE=∠BB0=2(18 Z0BE)7×(180°-30)=753 10.(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB=DC,BC=AD,∠B= ∠DCB=90°，AD∥BC. 所以∠DCF=180°-∠DCB=180° 90°=90°，EF∥AD. 所以∠B=∠DCF=90° 在△ABE和△DCF中， I∠B=∠DCF, AB=DC, ∠BAE=∠CDF, 所以△ABE≌△DCF」 所以BE=CF 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF」 所以EF=AD. 又因为EF∥AD, 所以四边形AEFD是平行四边形. (2)由(1)知，EF=AD=5. 在△EDF中，因为DF=3,DE=4, EF=5, 所以DF2+DE2=EF2. 所以△EDF是直角三角形，且 ∠EDF=90°. 所以Sae2DE·DF=号FCD 所以CD= DE·DF_4×3_12 EF 551 1.DPE+PF号 理由：连结OP 因为四边形ABCD是矩形， 所以OB=OD=OC,AB=CD=4, ∠BCD=90°. 1 所以Sax=Sar=2San: 因为S△n=2BC·CD= -×3X 4=6, 所以S△o=3. 在Rt△BCD中，BD= √BC2+CD=√32+4=5. 所以0B=0D=0= 因为S△=S△Op+SAoP, 所以3=2OD·PE+2OC·PF, 所以E+F-号 OPE+PF-号 PE-PF-号 理由：连结OP,BP. 因为S△BPp=S△C十S四边无P= S△c+S△oP+S△OP, 所以号BD·PE=Sae+合0C· PF+OB,PE. 由(1)，得BD=5,OB=OC=OD= SAn=3, 5 所以号PE=3+号PF+号PE,即 E-PF-号 第2课时矩形的判定 1.D2.矩形3.答案不唯一，如 OM-7AC 4.因为∠C=90°， 所以∠CFE+∠CEF=90. 又因为∠BFA=∠CEF, 所以∠CFE+∠BFA=90°. 所以∠AFE=180°-（∠CFE+ ∠BFA)=180°-90°=90°. 由折叠可知，∠D=∠AFE=90° 所以∠B=∠C=∠D=90°. 所以四边形ABCD是矩形. 5.C解析：因为∠1+∠3=90°， 所以∠ABC=90°.又因为四边形 ABCD是平行四边形，所以四边形 ABCD是矩形.故①正确.因为四边 形ABCD是平行四边形，所以AB= CD.因为BC2+CD2=AC,所以 BC2十AB2=AC2.所以∠ABC= 90°.所以四边形ABCD是矩形.故② 正确.因为四边形ABCD是平行四边 形，所以OA=0C=2AC,OB= 0D=2BD.因为∠1=∠2， 所以OA=OB.所以AC=BD.所以 四边形ABCD是矩形.故③正确.由 AC⊥BD无法判定四边形ABCD是 矩形.故④错误.综上所述，能判定四 边形ABCD是矩形的个数是3. 6.D解析：如图，连结CD.因为 DE⊥AC,DF⊥CB,所以∠DEC= ∠DFC=∠ACB=90°.所以四边形 CEDF是矩形.所以EF=CD.当 CD⊥AB时，CD的长最小，此时 1 CD·AB=2AC·BC.因为 ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,所以 AB=√AC2+BC=√62+8=10. 所以CD=AC:BC=6X8=4,&.所 AB 10 以线段EF长的最小值是4.8. (第6题) 7.60°解析：因为四边形ABFE为 38 矩形，所以AC=BC.又因为AB= AC,所以AB=AC=BC.所以 △ABC是等边三角形.所以 ∠ACB=60 方法归纳 运用逆推法判断所需条件 本题要求当∠ACB等于多少度 时，四边形ABFE为矩形，可以把 矩形当作已知条件，求出∠ACB的 度数，这种逆推法是解决条件探索 题的一般方法， 8.BF2十CF2=DF2解析：因为四 边形ABCD为平行四边形，所以 AD=BC,CD∥AB,即DF∥BE.又 因为DF=BE,所以四边形BEDF为 平行四边形.又因为DE⊥AB,所以 ∠BED=90°.所以四边形BEDF为 矩形.所以∠BFD=∠BFC=90°.因 为AF平分∠BAD,所以∠DAF= ∠BAF.因为AB∥CD,所以 ∠DFA=∠BAF.所以∠DAF= ∠DFA.所以AD=DF.因为AD= BC,所以BC=DF.在Rt△BFC中， BF+CF2=BC2,所以BF2+CF= DE2. 9.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以AD∥BC,AD=BC. 因为BF=CE, 所以BF十BE=CE十BE,即 EF=BC. 所以EF=AD. 又因为EF∥AD 所以四边形ADEF是平行四边形， 因为DE⊥BC, 所以∠DEF=90°. 所以四边形ADEF是矩形 (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以CD=AB=3. 因为CF=5,DF=4, 所以CD2+DF2=CF2. 所以△CDF是直角三角形，且 ∠CDF=90° 所以△CDF的面积=2DF·CD= 2CF·DE,即×4×3=× 6DE.解得DE-号 因为四边形ADEF是矩形， 所以AF=DE=号 10.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以ABCD. 所以∠EAB=∠EFC. 又因为E为BC的中点， 所以EB=EC. 在△ABE和△FCE中， ∠EAB=∠EFC, ∠BEA=∠CEF, EB=EC, 所以△ABE≌△FCE. (2)由(1)知，△ABE≌△FCE, 所以AB=CF. 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD=BC,AB=DC. 所以DC=CF. 又因为CG=CE, 所以四边形DEFG是平行四边形 因为E为BC的中点， 所以BE=CE. 所以BE=CE=CG. 所以BC=EG. 又因为AD=BC=EG=2AB,DF= CD+CF=2CD=2AB. 所以DF=EG. 所以四边形DEFG是矩形. 方法归纳 矩形的判定方法 证明一个四边形是矩形，若题 设与这个四边形的对角线有关，通 常先证明这个四边形是平行四边 形，再证明其对角线相等：若题设 与角度有关，通常考虑用矩形的定 义或者依据“有三个角是直角的四 边形是矩形”来证明.若容易证出 有一个直角且为平行四边形，则可 根据矩形的定义进行证明：若容易 证出有三个直角，则用后者证明 11.(1)四边形PBCE是平行四 边形 因为CF∥AB,即CEBP,PEBC, 所以四边形PBCE是平行四边形. (2)如图，因为△ABC是等边三 角形， 所以∠B=∠1=60°，BC=CA. 因为CF∥AB, 所以∠2=∠1. 所以∠B=∠2. 又由(1)知，四边形PBCE为平行四 边形， 所以PB=EC. 在△BPC和△CEA中， PB=EC, ∠B=∠2， BC=CA, 所以△BPC≌△CEA. 所以CP=AE (3)当P为AB的中点时，四边形 APCE是矩形. 理由：因为P为AB的中点， 所以AP=BP, 又由(2)证得BP=CE, 所以AP=CE. 因为CF∥AB,即EC∥AP, 所以四边形APCE是平行四边形. 又因为△ABC是等边三角形，P为 AB的中点， 所以CP⊥AB, 所以∠APC=90, 所以□APCE是矩形 (第11题) 5.2菱形 第1课时菱形的概念与性质 1.C2.A3.809 4.因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD=AD,∠A= ∠c. 因为BE=BF, 所以AB-BE=BC一BF,即AE=CF. IDA=DC, 在△DAE和△DCF中，{∠A=∠C, AE=CF, 所以△DAE≌△DCF. 所以DE=DF 所以∠DEF=∠DFE. 39 5.B解析：如图，连结BF.因为四边 形ABCD是菱形，所以易知∠BAC= ∠BAD,∠ABC=∠CDA=809 CD=BC,∠DCF=∠BCF,CD∥ AB.在△DCF和△BCF中， CD=CB, ∠DCF=∠BCF,所以△DCF≌ CE=CF, △BCF.所以∠CDF=∠CBF.因为 CD∥AB,所以∠BAD=180°- ∠CDA=100°.所以∠BAC= ∠BAD=50因为EF垂直平分 AB,所以AF=BF.所以∠ABF= ∠BAF=50°.所以∠CBF= ∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°.所 以∠CDF=30°. E (第5题) 6.A解析：因为四边形ABCD是菱 形，AC=6,BD=8,所以AC⊥BD, 1 0C=0A=2AC=3,0B=OD= 2BD=4.所以∠BOC=90.在 Rt△BOC中，由勾股定理，得BC= √OC2+OB2=√32+42=5.因为 AE⊥BC于点E,所以S装无AD= 2AC·BD=BC·AE.所以AE= AC·BD6×824 2BC 2×55 方法归纳 菱形的边和对角线的应用 (1)菱形“边”的应用：菱形的 四条边相等，可以知一边求菱形的 周长，也可以求证线段相等 (2)菱形“对角线”的应用：菱 形对角线互相垂直，可求证垂直 (直角三角形等)，可计算菱形的边 长、周长、对角线长以及面积等. 7.25°解析：因为四边形ABCD是 菱形，∠BAD=80°，所以易知 ∠BA0=∠BAD=40,ACLRD,第5章 特殊平行四边形 5.1矩形 第1课时矩形的概念与性质 ●“答案与解析”见P37 白基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 5.如图，在矩形ABCD中(AD>AB),E是边 交于点O,则下列说法中，错误的是 ( BC上一点，且DE=DA,AF⊥DE,垂足为 A.∠ABC=90° F.下列结论中，不一定正确的是 () B.AC=BD 0 C.OB=OC (第1题) B D.OA=AB (第5题) 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 A.AB=AF 交于点O,点E在边BC上，连结OE.若 RAF=号AD OB=BE,∠BAO=70°，则∠EOC的度数为 C.△AFD≌△DCED.BE=AD-DF ( 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E A.40°B.50° C.60° D.70° 为CD的中点，连结AE并延长，交BC的延 长线于点F,P为边BC上一点.当∠PAE 0 ∠DAE时，AP的长为 () B D E (第2题) (第3题) 3.如图，在矩形ABCD中，AD=10,AB=6,E PC (第6题) 为边BC上的一点，EA平分∠BED,则BE 的长为 A.4 B 4.如图，四边形ABCD为矩形，点E在CB的 延长线上，点F在BC的延长线上，过点F c号 D.5 作FH⊥EF,交ED的延长线于点H,连结 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 AF,交EH于点G,GE=GH.求证：BE 交于点O,CE⊥BD于点E.若∠DCE= CF. 4∠BCE,则∠ACE的度数为 y E B 0 B (第7题) (第8题) (第4题) 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的边OA=6,OC=2,一条动 直线L分别与BC,OA交于点E, F,且将矩形OABC分为面积相等的两部分， 则点O到动直线的最大距离为 86 第5章特殊平行四边形 9.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点物思维拓展 O,AE平分∠BAD,交BC于点E,连结OE. 11.新考法·探究题在矩形ABCD中 (1)求证：△ABE是等腰直角三角形 AB=4,BC=3,分别过点P作 (2)若∠CAE=15°，求证：△AOB是等边三 PE⊥BD于点E,PF⊥AC于 角形. 点F (3)在(2)的条件下，求∠BOE的度数， (1)如图①，当P是边CD上任意一点时， 猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，并 说明理由 (2)如图②，当P是边AD上任意一点时， (第9题) 猜想PE和PF之间有怎样的数量关系，请 直接写出结果 (3)如图③，当P是DC的延长线上任意一 点时，猜想PE和PF之间有怎样的数量关 系，并说明理由 ✉☒ ② 10.如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BC (第11题) 上，点F在BC的延长线上，连结AE,DE, DF,∠BAE=∠CDF. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形 (2)若DF=3,DE=4,AD=5,求CD 的长 (第10题) 87 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时 矩形的判定 “答案与解析”见P38 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，下列条件中，能够判定☐ABCD为矩形 5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交 的是 ( 于点O.给出下列条件：①∠1+∠3=90°； A.AB=BC B.AB=AC ②BC2+CD=AC;③∠1=∠2；④AC⊥ C.AC⊥BD D.AC-BD BD.从中任选一个，能判定四边形ABCD是 矩形的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC= (第5题) (第6题) 90°，E是BC的中点，连结DB,DE.当 6.(2025·义鸟段考)如图，在Rt△ABC中， DB=DC时，四边形ABED的形状是 ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,D是AB上的 一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E, 3.如图，在□ABCD中，AC, DF⊥CB于点F,连结EF,则线段EF长的 BD相交于点O,M,N是 最小值是 () BD上的两点，BM=DN,连 R (第3题) A.5 B.2.5C.2.4D.4.8 结AM,MC,CN,NA,请再 7.*如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC绕 添加一个条件： ,使四边形AMCN 点C按顺时针方向旋转180°得到△FEC,连 是矩形 结AE,BF.当∠ACB= 时，四边形 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°， ABFE为矩形 将该四边形沿AE折叠，点D的对应点F恰 好落在边BC上，且∠BFA=∠CEF.求证： 四边形ABCD是矩形 D (第7题) 8.如图，在□ABCD中，过点D作 (第4题) DE⊥AB于点E,点F在边CD上， DF=BE,连结AF,BF,AF平分 ∠BAD,则线段CF,BF,DF之间的数量关 系为 E (第8题) 88 第5章特殊平行四边形 9.如图，在□ABCD中，DE⊥BC于点E,延长 物思维拓展 CB至点F,使得BF=CE,连结AF,DF 11.如图，△ABC为等边三角形，CF∥ (1)求证：四边形ADEF是矩形 AB,P为线段AB上一动点（点P (2)若AB=3,DF=4,CF=5,求AF的长 不与点A,B重合)，过点P作 PE∥BC,分别交AC,CF于点G,E,连结 AE,PC. B (第9题) (1)四边形PBCE是平行四边形吗？为 什么？ (2)求证：CP=AE. (3)当点P在AB上的什么位置时，四边形 APCE是矩形？请说明理由. B4 (第11题) 10.★如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连 结AE并延长，交DC的延长线于点F,延 长EC至点G,使CG=CE,连结DG, DE,FG. (1)求证：△ABE≌△FCE. (2)若AD=2AB,求证：四边形DEFG是 矩形 R (第10题) 89