精品解析：2026年陕西咸阳市永寿县御家宫中学初中学业水平考试考前预测数学试卷

2026年陕西省初中学业水平考试考前预测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写关键信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点E在上，连接，．若平分，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是上的高．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：_________． 10. 把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 11. 某商场为庆祝开业，所有商品都进行打折销售，该商场某柜台将单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润，该衣服每件的进价是_________元． 12. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为镶嵌长方形，如图镶嵌长方形的周长为52，则正方形的边长为________． 13. 已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 14. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，线段平分矩形的面积，连接，G为的中点，连接，交于点H．若，，，则的长为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 19. 如图，在等腰三角形中，，点E在上，D为外一点，连接．若，，求证：． 20. 课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． （1）小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； （2）请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 21. 为迎接校园开放日，小唯和小华计划制作“我们的教学楼”主题手抄报，需标注楼高数据，因教学楼底部草坪禁止踩踏，两人决定用所学知识间接测量．如图，小华在教学楼周围的平地E处放置测倾器，测得楼顶B的仰角为，测倾器高．小唯在小华正前方14米的点F处，利用自制直角三角形纸板辅助测量，其中，，，通过调整纸板使G，Q，B三点共线，小唯的眼睛与地面的距离，均垂直于地面，求教学楼的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 22. 由于城市举办大型活动，参与人数众多，对水果的需求量大增，某超市水果供应紧张，需每天从外地调运水果1500千克．该超市决定从甲、乙两大型水果种植基地调运水果，已知甲水果基地每天最多可调运1000千克水果，乙水果基地每天最多可调运800千克水果，从两水果基地调运水果到超市的路程和运费如下表： 到超市的路程（千米） 运费（元/千克·千米） 甲水果基地 100 0.04 乙水果基地 70 0.06 （1）若某天调运水果的总运费为6140元，求从甲、乙两水果基地各调运了多少千克水果？ （2）设从甲水果基地调运水果x千克，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少，最少为多少元？ 23. 为了弘扬传统文化，丰富校园文化生活，学校举办了“传统文化知识大比拼”活动，其中包含古诗词知识竞赛项目．八年级众多学生积极参与，学校为了解学生在古诗词知识方面的掌握情况，随机抽取部分学生的竞赛成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表（每组数据含最小值，不含最大值，最后一组含最大值）． 分组 人数（频数） 占样本人数的百分比 4 a 8 20 12 b 请根据图表信息解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在70分及70分以上为合格，请估计该校八年级参与该项目的200名学生中，成绩达到合格的人数． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，与交于点F，E是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 25. 某城市计划在公园内新建一座景观拱桥，桥体设计为抛物线型．已知拱高，拱桥的跨度，满足，．以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）为满足行人通行需求，需在拱桥下方搭建矩形框架（A，D在抛物线上，沿铺设），若建造该矩形框架垂直于部分的建材费用为100元/米（按立柱高度计算长度，不考虑立柱自身宽度），当矩形的周长为21米时，求建造该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用． 26. 综合探究 【基础回顾】 （1）如图①，平行四边形中，连接对角线，，则图中与面积相等的三角形有_________； 【自主探究】 （2）如图②，，，求面积的最大值； 【拓展应用】 （3）如图③，某景区计划在自然景色优美的山谷旁打造一个四边形的特色休闲区，现要求设计院按如下标准设计：，且满足，，，要求四边形的面积尽可能大，并计划在C处和上P处设计两个观景台，沿建一个观景步道，并要求观景步道两侧的面积相等，问设计院能否按景区的要求设计出来？若能，求出P到B的距离及的面积；若不能，请说明理由．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试考前预测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写关键信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点到原点的距离是， 所以，的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. 如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看有两层三列，从左到右第一列有2个正方形，第二列最有1个正方形，第三列列有2个正方形，且上面一层有2个不相邻正方形，下面一层有3个正方形， 即这个几何体的主视图是： 3. 如图，，点E在上，连接，．若平分，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质求出即可． 【详解】解：， 平分， ，  ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 5. 如图，在中，是上的高．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的长，在中利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是上的高， ∴， 在中，， ∴， 在中， 由勾股定理得． 6. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴点与点关于轴对称， ∴函数图象关于轴对称， 故A、C选项不符合题意； ∵，，且， ∴在轴左侧，随的增大而增大， ∴选项B符合题意，选项D不符合题意． 7. 如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，进而求出的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解． 【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为， ∴， 解得． 11. 某商场为庆祝开业，所有商品都进行打折销售，该商场某柜台将单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润，该衣服每件的进价是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】设该衣服每件的进价是元，根据单价标为150元的衣服按7折出售仍可获得利润列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶设该衣服每件的进价是元， 根据题意可得， 整理得， 解得， 答：该衣服每件的进价是元． 12. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为镶嵌长方形，如图镶嵌长方形的周长为52，则正方形的边长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减与几何图形，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由图可知，，，，，然后根据长方形的周长可进行求解． 【详解】解：由图可知：，，，，， ∴，，，， ∴，， ∵镶嵌长方形的周长为52， ∴， 解得：； ∴正方形的边长为， 故答案为：． 13. 已知点，是反比例函数图象上的两点，且满足，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，表示出与，代入已知等式化简计算，即可求出的值． 【详解】解：点，是反比例函数图象上的点， ，， 变形得，， 将上述结果代入得， ， ， 解得， 经检验符合题意． 14. 如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，线段平分矩形的面积，连接，G为的中点，连接，交于点H．若，，，则的长为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】延长交的延长线于点P，根据矩形对边平行的性质可得，结合证明，进而推得和的数量关系，再通过证明即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点P， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 所以原不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算乘法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 18. 如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】解：如图所示为所求： 【解析】 【分析】先作线段的垂直平分线，的角平分线，交于点即可． 【详解】略 19. 如图，在等腰三角形中，，点E在上，D为外一点，连接．若，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质可证，结合已知利用证明，即可证明结论． 【详解】略 20. 课间休息时，小林和小张在教室储物柜里发现了四张写着数字1，5，6，6的卡片（这些卡片除数字外其余均相同），这是他们班上周用来布置“数字互动游戏”的道具，两人决定来玩一场趣味对决，规则是小林先从四张卡片中任意抽取一张卡片（不放回），小张再从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是6的倍数，则由小林挑选下周班级出游的零食，否则由小张挑选． （1）小林抽到写有偶数卡片的概率是_________； （2）请利用画树状图或列表法，判断这个游戏是否公平． 【答案】（1） （2）这个游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小林抽到写有偶数的卡片的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是6的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是6的倍数的结果数有8种， ∴小林获胜的概率为，小张获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 21. 为迎接校园开放日，小唯和小华计划制作“我们的教学楼”主题手抄报，需标注楼高数据，因教学楼底部草坪禁止踩踏，两人决定用所学知识间接测量．如图，小华在教学楼周围的平地E处放置测倾器，测得楼顶B的仰角为，测倾器高．小唯在小华正前方14米的点F处，利用自制直角三角形纸板辅助测量，其中，，，通过调整纸板使G，Q，B三点共线，小唯的眼睛与地面的距离，均垂直于地面，求教学楼的高度．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为． 【解析】 【分析】作于点H，延长交于点M，则，延长交于点N，则，证明，求出，利用锐角三角函数的定义得到，设，则，，在中，，求出x，即可得到答案． 【详解】解：作于点H，延长交于点M， 则，延长交于点N，则， 由题意可知，四边形、都是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：教学楼的高度为． 22. 由于城市举办大型活动，参与人数众多，对水果的需求量大增，某超市水果供应紧张，需每天从外地调运水果1500千克．该超市决定从甲、乙两大型水果种植基地调运水果，已知甲水果基地每天最多可调运1000千克水果，乙水果基地每天最多可调运800千克水果，从两水果基地调运水果到超市的路程和运费如下表： 到超市的路程（千米） 运费（元/千克·千米） 甲水果基地 100 0.04 乙水果基地 70 0.06 （1）若某天调运水果的总运费为6140元，求从甲、乙两水果基地各调运了多少千克水果？ （2）设从甲水果基地调运水果x千克，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少，最少为多少元？ 【答案】（1）从甲水果基地调运800千克，从乙水果基地调运700千克． （2），从甲调运1000千克，从乙调运500千克时总运费最少，最少总运费为6100元． 【解析】 【分析】（1）利用总运费为等量关系，设未知数列出一元一次方程，求解后验证符合甲乙基地最大调运量即可得到结果． （2）先根据甲乙基地最大调运量确定自变量的取值范围，再根据题意列出总运费关于调运量的函数关系式，利用一次函数的增减性即可求出最小运费和对应的调运方案． 【小问1详解】 解：设从甲水果基地调运千克水果，则从乙水果基地调运千克水果． 根据题意可得： ， 化简得，  解得 ， 则 (千克) ， 经检验，，，符合题意． 答：从甲水果基地调运800千克水果，从乙水果基地调运700千克水果． 【小问2详解】 解：设从甲水果基地调运水果千克，总运费为元，则从乙水果基地调运千克水果． 根据甲乙基地的最大调运量可得： ， 解得． 根据题意得： ，  化简得， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． 将代入得(元)． 此时乙调运量为(千克)，，符合要求． 答：与的函数关系式为，安排从甲调运1000千克水果，从乙调运500千克水果可使总运费最少，最少总运费为6100元． 23. 为了弘扬传统文化，丰富校园文化生活，学校举办了“传统文化知识大比拼”活动，其中包含古诗词知识竞赛项目．八年级众多学生积极参与，学校为了解学生在古诗词知识方面的掌握情况，随机抽取部分学生的竞赛成绩进行整理，并绘制了如下两种不完整的统计图表（每组数据含最小值，不含最大值，最后一组含最大值）． 分组 人数（频数） 占样本人数的百分比 4 a 8 20 12 b 请根据图表信息解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在70分及70分以上为合格，请估计该校八年级参与该项目的200名学生中，成绩达到合格的人数． 【答案】（1）， （2）解：由（1）知：，补全图如下所示： （3）成绩达到合格的人数为人． 【解析】 【分析】（1）根据题意先计算被调查的总人数，即可求出的值； （2）根据（1）中求得的值在条形统计图中画出即可； （3）先计算成绩70分及70分以上的频率，再用200乘以频率即可． 【小问1详解】 解：∵被调查总人数为：（人）， ∴（人）， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵成绩70分及70分以上的百分比为：， ∴（人）． 答：成绩达到合格的人数为人． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，，连接，与交于点F，E是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，等边对等角结合已知易证，再根据，易证，即可证明结论； （2）设交点为，证明是的中位线，设，根据勾股定理得到，求出，，易证，根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交点为， ∵， ∴垂直平分，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 设， ∵的半径为10，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 25. 某城市计划在公园内新建一座景观拱桥，桥体设计为抛物线型．已知拱高，拱桥的跨度，满足，．以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）为满足行人通行需求，需在拱桥下方搭建矩形框架（A，D在抛物线上，沿铺设），若建造该矩形框架垂直于部分的建材费用为100元/米（按立柱高度计算长度，不考虑立柱自身宽度），当矩形的周长为21米时，求建造该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用． 【答案】（1）； （2）该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，，据此即可求解； （2）设，求出，，，进而得到，结合矩形的周长为21米，求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，则， 解得， ∴抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：∵，矩形框架中， 设， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为21米， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴（元） 答：该矩形框架垂直于部分购买建材所需要的费用为元． 26. 综合探究 【基础回顾】 （1）如图①，平行四边形中，连接对角线，，则图中与面积相等的三角形有_________； 【自主探究】 （2）如图②，，，求面积的最大值； 【拓展应用】 （3）如图③，某景区计划在自然景色优美的山谷旁打造一个四边形的特色休闲区，现要求设计院按如下标准设计：，且满足，，，要求四边形的面积尽可能大，并计划在C处和上P处设计两个观景台，沿建一个观景步道，并要求观景步道两侧的面积相等，问设计院能否按景区的要求设计出来？若能，求出P到B的距离及的面积；若不能，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）； （3）能，P到B的距离为；． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及三角形面积公式可知与面积相等的三角形； （2）根据构造圆，连接，，，作于点D，根据三角形三边关系可知当C、O、D在一条直线上时，点C到的距离最大，根据圆周角定理得到，即是等边三角形，根据三角函数得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意可知是等边三角形，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接，由旋转的性质得到是等边三角形，可知四边形是菱形，进而得到，，，则，过A，B，E作圆O，连接，作于点F，同（2）得：当E、O、F共线时，的面积最大，根据垂径定理得到，证明，得到，根据等边对等角得到，根据圆周角定理证明是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，进而得到，可知，即可求出的面积；过点A作交于G，过点D作，连接，可知是等腰直角三角形，求出，根据三角函数得到，则，根据三线合一得到，根据勾股定理求出，根据同底等高的三角形面积相等可知，则，根据等高三角形面积比等于底之比可知，即可求出P到B的距离． 【小问1详解】 解：设平行四边形的边上的高为h， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 同理，， ∴图中与面积相等的三角形有； 【小问2详解】 解：如图，过点A，B，C作圆O，连接，，，作于点D， ∵，为定值， ∴当点C到的距离最大时，的面积最大， 点C到的距离， ∴当C、O、D在一条直线上时，点C到的距离最大， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 此时， 即的面积最大值是； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， 如图，把绕点D逆时针旋转60度得到，连接， 由旋转的性质得：是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，点A，D，E三点共线， ∴， 过A，B，E作圆O，连接，作于点F， 同（2）得：当E、O、F共线时，的面积最大， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假如上存在点P，使两侧的面积相等，则， 如图，过点A作交于G，过点D作，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 解得（负值舍去）， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即P到B的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $