广东广州市第二中学教育集团2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 广州二中教育集团高一期中数学试卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过无人机观测（第6题）、长方体盛水（第4题）等真实情境，及“完美坐标系”新定义（第19题），考查空间观念、推理能力与创新意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数几何意义、向量运算、立体几何位置关系|第4题结合动态几何体考查空间想象，第7题正方形动点问题体现数形结合| |填空题|3/15|棣莫弗公式、三角形面积、锐角三角形边角范围|第12题融入数学史，第14题考查逻辑推理与运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明（第16题）、解三角形应用（第18题）、新定义探究（第19题）|第19题“完美坐标系”创新情境，第16题多中点条件强化逻辑推理，体现知识综合与创新应用|

广州二中教育集团2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题：曾小鸿 审校：刘飒、马媛 2026.05.06 本试卷共4页，19小题。满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“准考证号“处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的，答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡机应的位置上． 1．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则 A． B． C． D． 4．如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面结论，其中错误的是（   ） A．水面所在四边形的面积不是定值 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．棱一定与平面平行 D．当容器倾斜如图所示时，（定值） 5．，是两个平面，m，n是两条直线，则（   ） A．如果，，那么 B．如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，那么 D．如果，n与相交，那么m，n是异面直线 6．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数为 C．若复数满足，则的最大值是 D．若复数是关于的方程的一个根，则 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，则（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．已知，，若，则有两解 D．若为锐角三角形，则 11．已知正方体的棱长为1，，其中，且， 则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．时，取最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 13．已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为__________． 14．在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点． （1）用表示； （2）求； （3）求． 16．（本小题满分15分） 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点． 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC． 17．（本小题满分15分） 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 18．（本小题满分17分） 已知中，角所对的边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若，求周长的最大值； （3）若，为线段上一点，满足，求的面积． 19．（本小题满分17分） 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州二中教育集团2025学年第二学期期中考试 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D C B A B 题号 9 10 11 答案 ABC AB AC 12． 13．21 14． 15．【详解】（1）因为点D为BC的中点，所以， 因为点E在BC上，且，所以； （2） ； （3）由已知，，又，所以， 又，则， 所以. 16．【详解】（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD； （2）由(1)知，平面PBC，平面PBC，∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点， 又∵Q是PD中点，∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 17．【详解】（1）由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． （2）由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 18．【详解】（1）因为， 所以． 整理得：，即，， 而，故，又因为，所以； （2）由余弦定理可得：，即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）设，则， 在中，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得：， 又因为与互补，所以，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 整理得，② 由①②可得：，解得， 所以 19．【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 即. （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $