4.1.1三角形的有关概念及三边关系 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的定义、要素、分类及三边关系，通过飞机机翼、水分子结构等生活实例导入，引导学生观察三角形形象，从定义、要素到分类、三边关系层层递进，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，用数学思维进行等腰三角形边长分类讨论和三边关系逻辑推理，以数学语言符号化表示（如△ABC、代数式化简）。通过典例精析和易错必记，帮助学生突破难点，教师使用可明确教学重点，提升教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.1.1三角形的有关概念及三边关系 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.1.1 三角形的有关概念及三边关系同步讲义与练习 本节核心考点：三角形定义、要素与分类、三角形三边关系（判断能否构成三角形、求边长取值范围、化简边长代数式），是几何基础必考内容。 一、核心知识点精讲 1. 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 关键条件：①三条线段；②不在同一直线；③首尾顺次相接、封闭图形。 2. 三角形的基本要素 三角形有3个顶点、3条边、3个内角。 表示方法：三角形ABC记作△ABC； 边：顶点A、B、C对边通常记作a、b、c； 角：∠A、∠B、∠C。 3. 三角形的分类（按边分类） ① 不等边三角形：三条边长度都不相等； ② 等腰三角形：有两条边相等的三角形； （特殊）等边三角形：三条边都相等的三角形（属于特殊的等腰三角形）。 4. 三角形三边关系（本节重中之重） 定理1：三角形任意两边之和大于第三边 若△ABC三边长为a、b、c，则：$$a+b>c，a+c>b，b+c>a$$ 定理2：三角形任意两边之差小于第三边 $$|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a$$ 5. 快速判断法则（做题秒杀技巧） 判断三条线段能否组成三角形：只需判断最短两边之和 > 最长边，满足即可构成三角形，反之不能。 6. 第三边取值范围公式 已知三角形两边长为m、n（$$m>n$$），则第三边x的取值范围： $$\boldsymbol{m-n < x < m+n}$$ 7. 本节常见题型 ① 判断三条线段能否构成三角形； ② 已知两边，求第三边取值范围、整数边长、周长范围； ③ 已知三角形边长含字母，化简绝对值代数式； ④ 结合等腰三角形边长分类讨论求值（易错必考）。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，4cm C. 2cm，2cm，4cm D. 3cm，4cm，7cm 2. 已知三角形两边长分别为4和7，则第三边长不可能是（） A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 3. 一个等腰三角形的两边长为3和6，则周长为（） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 9 4. 已知三角形三边长为2、x、5，则x的取值范围是（） A. $$2<x<5$$ B. $$3<x<7$$ C. $$2\leq x\leq5$$ D. $$3\leq x\leq7$$ 5. 下列说法正确的是（） A. 等边三角形不是等腰三角形 B. 三角形任意两边之差大于第三边 C. 三条线段一定能组成三角形 D. 三角形任意两边之和大于第三边 6. 已知△ABC三边长为a、b、c，化简$$|a+b-c|+|a-b-c|$$的结果为（） A. $$2a$$ B. $$2b$$ C. $$2c$$ D. $$2a+2b$$ 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 已知三角形两边长为3和8，则第三边最长的整数值为________。 8. 已知三角形三边长为5、6、x，则周长L的取值范围是________。 9. 等腰三角形两边长为4和9，则周长为________。 10. 长度为3、4、m的线段可以构成三角形，则m的取值范围是________。 11. 三角形的三边为整数，两边为2、6，则第三边长为________。 12. 化简：若a、b、c为△ABC三边，则$$\sqrt{(a-b-c)^2}=$$________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）判断下列各组线段能否组成三角形： （1）5cm，6cm，10cm （2）4cm，5cm，9cm 14.（18分）已知三角形两边长为5和8： （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边为整数，求周长的最大值和最小值。 15.（18分）已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：$$|a-b+c|+|a-b-c|$$。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（最短两边之和大于最长边：2+3>4，其余选项均两边和等于第三边，无法构成三角形）； 2.D（第三边范围：$$7-4<x<7+4$$，即$$3<x<11$$，11不在范围内）； 3.B（分类讨论：3、3、6无法构成三角形，只能为3、6、6，周长=15）； 4.B（$$5-2<x<5+2$$，即$$3<x<7$$）； 5.D（A等边是特殊等腰；B两边之差小于第三边；C需满足三边关系）； 6.C（根据三边关系：$$a+b-c>0，a-b-c<0$$，原式$$=a+b-c-a+b+c=2c$$）。 二、填空题 7. $$10$$（$$5<x<11$$，最大整数为10）； 8. $$12<L<22$$（第三边$$1<x<11$$，周长$$5+6+1<L<5+6+11$$）； 9. $$22$$（4、4、9不能构成三角形，只能4、9、9，周长=22）； 10. $$1<m<7$$； 11. $$5、6、7$$（$$4<x<8$$，整数为5、6、7）； 12. $$b+c-a$$（$$a-b-c<0$$，开方等于绝对值，化简得相反数）。 三、解答题 13. 解： （1）$$5+6>10$$，满足三边关系，能组成三角形； （2）$$4+5=9$$，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。 14. 解： （1）设第三边长为x，由三边关系得：$$8-5<x<8+5$$，即$$3<x<13$$； （2）∵x为整数，∴x最小为4，最大为12， 周长最小值：$$5+8+4=17$$，周长最大值：$$5+8+12=25$$。 15. 解： ∵a、b、c为△ABC三边， ∴$$a+c-b>0，a-b-c<0$$， 原式$$=(a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+b+c=2c$$。 本节易错必记 1. 三边关系必须是两边之和大于第三边，等于、小于都无法构成三角形； 2. 等腰三角形边长问题必须分类讨论+检验三边关系，直接易错； 3. 第三边取值范围是大于两边差、小于两边和，无等号； 4. 边长绝对值化简，优先利用三边关系判断正负，再去绝对值符号。 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形及其相关元 素，了解三角形分类； 2.掌握三角形的三边关系；（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 学习目标 水分子结构示意图 飞机机翼 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑 物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例. 有三条线段，三个角 边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边. 顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点. 角：∠A,∠B,∠C 叫作三角形的内角，简称三角形的角. 问题1：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 问题2：三角形中有几条线段? 有几个角? A B C 三角形的相关概念 1 5 记法：三角形 ABC 用符号表示为________. 边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写 字母分别表示为________. △ABC c，b，a 边 c 边 b 边 a 顶点 C 角 角 角 顶点 A 顶点 B B C A 在△ABC 中， AB 边所对的角是： ∠A 所对的边是： ∠C BC 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？为什么？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上；②连接方式：首尾相接. 三角形应满足以下两个条件： 表示方法： 三角形用符号“△”表示，如三角形 ABC 可记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外 △ABC 还可记作 △BCA，△CAB，△ACB 等. 要点提醒 找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． A B C D E 5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD. （2）以 AB 为边的三角形有哪些？ △ABC，△ABE. （3）以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ABE，△BCE，△CDE. （4）以∠D 为角的三角形有哪些？ △BCD，△DEC. （5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边. △BCD 的三个角是 ∠BCD、∠D 和 ∠CBD. A B C D E 顶点 B 所对的边为 DC， 顶点 C 所对的边为 BD， 顶点 D 所对的边为 BC. 问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 三角形的分类 2 腰 三边各不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 问题2：你能找出下列三角形的三边长的特点吗？ 三边均不相等 有两条边相等 三条边均相等 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 三角形按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类： 腰和底不相等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 等边三角形是特殊的等腰三角形—腰和底边相等的等腰三角形． 判断： （1）等边三角形是等腰三角形.（ ） √ （2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （3）三角形按边可分为等腰三角形、等边 三角形和不等边三角形.（ ） × 做一做 如图，在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择了 A B 的路线，而不选择 A C B 的路线，难道小狗也懂数学？ C A B AC + CB ＞ AB（两点之间线段最短） 三角形的三边关系 3 A B C 路线1：从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线2：沿线段 AB 走. 请问：路线 1、路线 2哪条路程较短？你能说出根据吗？ 解：路线 2 较短； 两点之间线段最短. 由此，你能得出什么结论？ 议一议 三角形的任意两边之和大于第三边. A B C 总结归纳 利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到： 三角形的任意两边之差小于第三边 AB－BC＜AC AC－BC＜AB BC－AB＜AC 例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm． （2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm． （3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm． 归纳 典例精析 例2 如图，D 是△ABC 的边 AC 上一点，AD = BD，试判断 AC 与 BC 的大小. 在△BDC 中，BD + DC > BC (三角形的任意两边之和大于第三边). 又 AD = BD， 则 AC = BD + DC. 所以 AC > BC. 解：因为 AC = AD + DC， 例3 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm， x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6. 所以三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm. (2) 因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有 4 + 2x = 18. 解得 x = 7. ②若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有 2×4 + x = 18. 解得 x = 10. 因为 4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 综上可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形. 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 24 返回 2. 如图所示，以A为顶点的三角形有______个，以∠C为内角的三角形有________________________．在△ACE中，AC所对的角是________，∠C所对的边是________，以线段AD为边的三角形有____________________． 6 ，， △ABD，△ADE，△ADC 考试考法 返回 3．如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(　　) A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 D 考试考法 26 返回 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足 a2－6a＋b2－4b＋13＝0，c为奇数，则△ABC按边分类 为___________三角形． 等腰 考试考法 27 返回 5. 满足下列条件的三条线段，， ，能组成三角形的有 ( ) C ，，；，， ； ；， ， . A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 考试考法 返回 6. 若使用如图所示的①②两根铁丝做成一 个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成 两段的铁丝是( ) A A. 只有①可以 B. 只有②可以 C. ①②都可以 D. ①②都不可以 考试考法 29 7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是______________． 3b－a－c 返回 考试考法 30 返回 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长 的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___. 8 【点拨】因为是等腰三角形， 为底边， 所以.①当时， ; ②当时， ,此时不符合三角形 的三边关系，所以不能构成三角形，故不符合题意. 所以腰 的长为8. 考试考法 31 9. 如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木 条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相 邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相 邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹 C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大为( ) 考试考法 32 10. 根据如图所示的三个图形所表示的规律，按此规律，则第n个图形中的三角形的个数是(　　) A．6(n－1) B．6n C．6(n＋1) D．12n C 考试考法 33 三角形的概念及三边关系 三角形 按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形(包括等边三角形) 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形 任意两边之差小于第三边 课堂小结 $