精品解析：2026年黑龙江大庆市中考数学押题卷

大庆市中考数学押题卷 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列判断正确的是（ ） A. 若点关于轴的对称点在第二象限，则 B. 夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C. 4的平方根是2 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10. 定义一种新运算：，下列说法： ①若，则； ②若，则的解集为； ③代数式取得最小值时，； ④函数的图象与直线（为常数）有且仅有两个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 12. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，写出一个符合条件的的整数值__． 13. 已知圆锥的底面周长是，母线长为，则该圆锥的侧面积是_____． 14. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____． 15. 因式分解：______． 16. 如图，定直线，点B、C分别为、上的动点，且，在两直线间运动过程中始终有．点A是上方一定点，点D是下方一定点，且，，，，当线段在平移过程中，的最小值为______． 17. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第个图形中五角星的个数为___________． 18. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②当时，函数有最大值4； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算 20. 先化简再求值：，其中． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 22. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． （1）填空： 度， 度； （2）求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； （3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 23. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：）并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 度； （4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 24. 如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，时，求的长． 25. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ （3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 26. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）如图，过点A作直线与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，过y轴的正半轴上的一点D作直线轴，分别交线段于点E、F，设，求n与m之间的函数关系式． 27. 【模型建立】 如图1，是四边形的外接圆，是直径，，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； 【模型迁移】 （3）如图2，是四边形的外接圆，，，过点D 作交的延长线于点F，，，求的长（用含p和q的代数式表示） 28. 在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市中考数学押题卷 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵，而两个负数比较，绝对值大的反而小， ， ∴最小的数是． 2. 根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：C． 3. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴及数轴上点的特征来判断即可． 【详解】解：通过观察数轴可知：，故A错误，不符合题意； ，，故B错误，不符合题意； ，，故C错误，不符合题意； ，，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上点的特征，运用数形结合的方法是本题的关键． 4. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式进行求解即可. 【详解】解：分别用A，B，C，D表示“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票，画出树状图如图： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中满足要求的结果有2种， ∴. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则 ， 解得：（舍），， 故选D． 7. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 若点关于轴的对称点在第二象限，则 B. 夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C. 4的平方根是2 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 【详解】解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 10. 定义一种新运算：，下列说法： ①若，则； ②若，则的解集为； ③代数式取得最小值时，； ④函数的图象与直线（为常数）有且仅有两个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】①根据新定义化简式子，得到方程，解之即可判断；②根据式子的化简结果，得到不等式，解之即可判断；③根据新定义化简式子，再分情况讨论，得到最小值即可判断；④将函数表达式化简，再分，，，结合函数图像求解即可． 【详解】解：∵， ∴①若，解得：，故正确； ②当时，则， ， ∴， 解得：，与矛盾，故错误； ③ 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴代数式取得最小值时，，故错误； ④，， 当时，， 令，则， ∴与在第二象限必有一个交点，则在第一象限只有一个交点， 联立得，则， ∴，解得：， 且此时交点为； 当时，， 则与有且只有两个交点； 当时，， 对称轴为直线，开口向上， 如图可知：必有两个交点； 综上：函数的图象与直线（为常数）有且仅有两个交点，则或，故错误； ∴正确的有1个， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及了反比例函数，一次函数，绝对值的性质，题目比较新颖，难度较大，解题的关键是将所给新定义充分理解，转化为函数方面的问题解决． 二．填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：且， 故答案为：且． 12. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，写出一个符合条件的的整数值__． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据第三象限内点的横纵坐标都小于，列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，在范围内取一个整数值即可． 【详解】解：点在第三象限， 解得， 为整数， 可取或． 13. 已知圆锥的底面周长是，母线长为，则该圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可直接利用圆锥侧面积计算公式，代入已知的底面周长和母线长计算即可． 【详解】解：圆锥侧面积公式，其中为圆锥底面周长，为母线长， 将，代入公式得. ． 14. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_____． 【答案】a≥2 【解析】 【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 由①得：x≤2， 由②得：x＞a， ∵不等式组无解， ∴a≥2， 故答案为a≥2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找． 15. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为． 16. 如图，定直线，点B、C分别为、上的动点，且，在两直线间运动过程中始终有．点A是上方一定点，点D是下方一定点，且，，，，当线段在平移过程中，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作交于H，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则，从而可证四边形是平行四边形，得到，即可推出当E、F、H三点共线时，有最小值即有最小值；延长交于G，过点E作于T，过点A作于L，过点D作于K，证明四边形是平行四边形，，得到，然后通过勾股定理和解直角三角形求出和的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作交于H，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当点H，E，F三点共线时，有最小值，即有最小值， 延长交于G，过点E作于T，过点A作于L，过点D作于K，设，交于O， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 同理可求得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，有最小值即有最小值是解题的关键． 17. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第个图形中五角星的个数为___________． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第n个图形中五角星的个数． 【详解】第①个图形一共有2个五角星， 第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星， 第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星， …… 第n个图形一共有： 1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n-1） =2 [1+3+5+…+（2n-1）] =2n2， 故答案为2n2． 【点睛】本题考查了规律型，主要考查学生的观查和分析能力，此类型题目可以在平时的训练中加强． 18. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②当时，函数有最大值4； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出函数与坐标轴的交点坐标判断①，根据图象可知，函数没有最大值，判断②；图象法，判断③和④，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴图象与坐标轴的交点为，和；故①正确； 由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大；故③正确； ∴函数没有最大值；故②错误； 函数的对称轴为：， 当时，， ∴当函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是．故④错误； 综上，正确的是①③． 故答案为：①③． 三．解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算 【答案】 【解析】 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可. 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键. 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，再将x化简后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 22. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上． （1）填空： 度， 度； （2）求灯塔M到轮船航线的距离（结果保留根号）； （3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）30，45 （2）海里 （3）海里 【解析】 【分析】（1）分别过点C、M，作，，垂足分别为D、E．由三角形外角性质得，根据，得． （2）∵，海里．在中，由，得，代入计算即可． （3）可得四边形是矩形．得海里，．在中，由，得海里．在中，（海里）．所以海里． 【小问1详解】 解：分别过点C、M，作，，垂足分别为D、E． ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴海里． 在中， ， ∴ （海里）． 答：灯塔M到轮船航线的距离为海里． 【小问3详解】 解：∵都是正北方向， ∴四边形是矩形． ∴海里，． 在中， ∵， ∴． ∴海里． 在中， ， ∴ = （海里）． ∴ 海里． 答：港口C与灯塔M的距离为海里． 23. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校1500名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：）并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 度； （4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）150，36 （2） （3）144 （4）240人 【解析】 【分析】（1）根据A等级的频数和所占的百分比，可以求得m的值，根据C等级的频数即可求出n的值； （2）根据（1）中m的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出B等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （3）利用乘以B等级的百分比即可； （4）利用1500乘以A等级的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：B等级学生有：（人）， 补全的频数分布直方图略 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校参加竞赛的1500名学生中达到“优秀”等级的学生人数有240人． 24. 如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形； （2）根据，E是中点，得出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出． 【小问1详解】 解：（1）∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵，E是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明 ，是解题的关键． 25. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ （3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 【答案】（1）售价为30元，进价为24元 （2）售价为47元时，商品销售利润最大，最大为2645元 （3）解：当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高； 理由：方案二：每件商品的利润至少为24元，则有 解得， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）； 方案一：每件商品涨价不超过a元，即， 当时，∵，且对称轴为， ∴在的范围内，w随x的增大而增大，最大值在处， ∴， 当时，w在处取得最大值，元， 当时，， ∴方案二利润更高； 当时，，与方案二利润相等， 当时，， ∴方案一利润更高； 当时，， ∴方案一利润更高， ∴当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高． 【解析】 【分析】（1）设售价为元，进价为元，根据“售价比进价多6元”和“5件进价4件售价”列方程组，进行求解即可； （2）由题意得，单件利润为元，销量为件，利润函数为（，由销量非负得），再根据二次函数的性质求解即可； （3）方案二：利润元得，即；在内，随增大而减小，故时利润为2640元；方案一：，分（最大值在处，）和（最大值为2645元），将两种方案进行分类对比即可得到解答． 【小问1详解】 解：设该商品售价m元，进价为n元， 由题意得， 解得， 答：商品的售价为30元，进价为24元； 【小问2详解】 解：∵每天最少卖出0件商品， ∴ 解得， 由题意得， ， ∵， ∴当每件商品涨价17元，即售价为元时，商品的销售利润最大，最大为2645元； 【小问3详解】 略 26. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）如图，过点A作直线与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，过y轴的正半轴上的一点D作直线轴，分别交线段于点E、F，设，求n与m之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，作，证明，求出的长，进而求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）根据直线的解析式，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，根据，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由（1）可知，， 作轴，作轴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵直线与函数的图象交于点B， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知：直线的解析式为， ∵轴，分别交线段于点E、F，， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴. 27. 【模型建立】 如图1，是四边形的外接圆，是直径，，过点D作交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； 【模型迁移】 （3）如图2，是四边形的外接圆，，，过点D 作交的延长线于点F，，，求的长（用含p和q的代数式表示） 【答案】（1）见详解 （2）见详解（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质可得出，由平行线的性质可得出，即可证明是的切线． （2）由直径所对的圆周角等于可得出，由等腰三角形的性质可得出，由（1），由同弧所对的圆周角相等可得出，进而可得出，由圆的内接四边形性质可得出，进而可得出，由相似三角形的性质可得出答案． （3）延长至点G，使，连接，过点D作于点H，由等弧所对的圆周角相等，弦相等，可得出，，由圆的内接四边形性质可得出，即可用证明，由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出，再解直角三角形，即可得出 【详解】证明∶（1）证明∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径 ∴是的切线． （2）∵是直径， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知，是的切线． ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）延长至点G，使，连接，过点D作于点H，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的综合性问题，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的计算等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键， 28. 在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C． （1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当△PAB面积最大时，求点P的坐标； （2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时， ①求m的取值范围； ②求线段BC长度的最大值． 【答案】（1）①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）； ②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）； （2）①或； ②13 【解析】 【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令 x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可； 对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可． 【小问1详解】 ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴A（2，0），B（0，-2m）． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）． 令x=0，则， ∴． ①当m=2时，-2m=-4，则， ∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）； ②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线AB于点E． 设点P的横坐标为t， ∴，， ∴， ∴△PAB的面积=， ∵-1＜0， ∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）； 【小问2详解】 由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2）， ①∵y轴上有一点，点C在线段MB上， ∴需分两种情况讨论： 当时，解得：， 当时，解得：， ∴m的取值范围是或； ②当时， ∵， ∴当m=1时，BC的最大值为3； 当时， ∴， 当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13， ∴BC的最大值是13． 【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $