精品解析：广东佛山市禅城区2025-2026学年第二学期九年级供题训练(二) 数学

2025-2026学年第二学期九年级供题训练（二） 数学 说明：本训练卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分，训练时间120分钟． 注意：1．本训练卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在训练卷上． 2．如需作图或画表，应先用铅笔画图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第I卷（选择题） 一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案）． 1. 如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 传输带运输的物品 D. 工作中的风力发电机叶片 3. 2026年五一假期，西樵山景区累计营业收入约600万元，数据“600万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以红纸为画卷，以刀剪作笔墨，佛山剪纸艺术承载着中华文明的千年智慧．下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 近日，佛山市各中小学顺利举办首届“数学文化周”活动．某校开设趣味游戏、文化讲座、实践探究、创意作品展四大特色项目，每个项目被选为最喜爱的可能性相同．现随机抽取一名学生进行问卷调查，该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学获胜 B. 乙同学获胜 C. 甲乙同学并列获胜 D. 无法判断 7. 如图，把一个含有角的直角三角板放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上，若测得为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 无限小数都是无理数 C. 若点在坐标轴上，则且 D. 垂线段最短 9. 如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的直径长为12，四边形内接于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 八边形的内角和为________度． 12. 计算：的结果________； 13. 如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 14. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 15. 二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 以下是小军同学的根式运算过程： 计算： 解：原式第①步 第②步 第③步 上述解答过程，第几步首次出错？错误的原因是什么？写出正确的计算过程． 17. 师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． （1）求与之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 18. 某校计划组织八年级学生从以下景点中选择1个开展春游活动：．亚洲艺术公园；．佛山乐园：．文华公园：．中山公园；．绿岛湖湿地公园．小明随机调查八年级学生的意向目的地（每位学生只能选1个景点），调查结果的统计图（部分）如下： （1）补全条形统计图并求出扇形统计图中“A”对应的圆心角度数； （2）若八年级有500名学生，则意向前往“E”的人数大约是多少？ 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，矩形中，点是对角线上的动点（不与、重合），过点分别作、边上的垂线段与，连接、．从以下三个选项中选择一个作为命题的条件， 另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例． ①；②；③对任意一点都有． 20. 某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款．若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元． （1）该社团成员总人数可能是180人吗？为什么？ （2）若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少？ 21. 综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 （1）计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 （2）设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题提出：一个三角形三条边的长度确定，其面积能求吗？ （1）【特例感知】直接写出图1、图2、图3对应的三角形面积、、的值： （2）【查阅资料】古希腊数学家海伦于约公元年总结出三角形的面积公式：若三角形的边长分别为、、，则其面积，其中，这个公式后世称为海伦公式： ①借助如图4所示的（三边长分别4、5、6），用三角形面积公式以及海伦公式都可求其面积的值，请你直接写出这个值； ②借助如图5所示的（三边长分别，、、），推导出海伦公式； （3）某公司计划在佛山岭南明珠展区搭建一个三角形展示架，用于摆放醒狮文创展品．展示架周长为，其中一条边长为，展区的面积能达到吗？若能，求另外两条边长，若不能，说明理由． 23. 如图1，已知线段，在上方作，使得，，点在边上，且，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接交于． （1）求线段的长； （2）平分吗？为什么？ （3）如图2，点在线段上（不与、重合），连接并延长交于点，在上取一点，连接，且．当点在上运动时，线段是否存在最大值？若存在，求该最大值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级供题训练（二） 数学 说明：本训练卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分，训练时间120分钟． 注意：1．本训练卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在训练卷上． 2．如需作图或画表，应先用铅笔画图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第I卷（选择题） 一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案）． 1. 如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 传输带运输的物品 D. 工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意； B．在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； C．传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； D．工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意． 3. 2026年五一假期，西樵山景区累计营业收入约600万元，数据“600万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：600万． 4. 以红纸为画卷，以刀剪作笔墨，佛山剪纸艺术承载着中华文明的千年智慧．下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 5. 近日，佛山市各中小学顺利举办首届“数学文化周”活动．某校开设趣味游戏、文化讲座、实践探究、创意作品展四大特色项目，每个项目被选为最喜爱的可能性相同．现随机抽取一名学生进行问卷调查，该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一共有4个等可能的特色项目，该生最喜爱“趣味游戏”的结果只有1种， ∴所求概率为． 6. 为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学获胜 B. 乙同学获胜 C. 甲乙同学并列获胜 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是统计中的平均数与方差，掌握平均数的计算和方差的意义是解题的关键．根据平均数的定义分别求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算出两人的方差，根据 “平均分高的同学获胜；若平均分相同，则发挥较稳定（方差小）的同学获胜” 的规则进行判断． 详解】解：，， 两人平均分相同，比较稳定性， ， ， 甲同学发挥更稳定，故甲同学获胜， 故选：． 7. 如图，把一个含有角的直角三角板放在一张对边平行的纸条上，其中直角顶点落在纸条的一边上，若测得为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵对边平行的纸条， ∴， 由题意，， ∴； 故选B． 8. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 无限小数都是无理数 C. 若点在坐标轴上，则且 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，∴A是假命题． 对于选项B，∵无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，∴B是假命题． 对于选项C，∵若点在坐标轴上，只有当点在原点上时，满足且，不在原点时则或，∴C是假命题． 对于选项D，∵垂线段最短，描述正确，∴D是真命题． 9. 如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边对等角求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵菱形纸片，， ∴，， ∴， ∵将菱形纸片折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，的直径长为12，四边形内接于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用圆内接四边形性质得到，进而，然后可得到，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∵的直径长为12， ∴， ∴． 第II卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 计算：的结果________； 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 【答案】4 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，利用垂径定理求出，再结合勾股定理求出，进而即可求出排水管内水的最大深度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即排水管内水的最大深度为4． 14. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理求出阴影区域的边长，求出总面积及阴影区域的面积，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为， ∴总面积，阴影区域的面积， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 15. 二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【解析】 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 以下是小军同学的根式运算过程： 计算： 解：原式第①步 第②步 第③步 上述解答过程，第几步首次出错？错误的原因是什么？写出正确的计算过程． 【答案】从第①步首次出错；错因是平方差公式运用错误； 正确过程如下： ． 【解析】 【详解】略 17. 师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． （1）求与之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 【答案】（1） （2）这根竹升面的总长度至少有 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行计算即可； （2）先计算出时，的值，结合反比例函数的增减性判断的范围即可． 【小问1详解】 解：设， 将点代入，得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，． 答：这根竹升面的总长度至少有． 18. 某校计划组织八年级学生从以下景点中选择1个开展春游活动：．亚洲艺术公园；．佛山乐园：．文华公园：．中山公园；．绿岛湖湿地公园．小明随机调查八年级学生的意向目的地（每位学生只能选1个景点），调查结果的统计图（部分）如下： （1）补全条形统计图并求出扇形统计图中“A”对应的圆心角度数； （2）若八年级有500名学生，则意向前往“E”的人数大约是多少？ 【答案】（1）补全条形统计图如下： “A”对应的圆心角度数为 （2）八年级意向前往“E”的学生人数为65人 【解析】 【分析】（1）先求出本次被抽样调查学生人数，再乘“A”对应的百分比，即可得出“A”对应的人数，即可补全条形统计图；用乘“A”对应的百分比即可得出“A”对应的圆心角度数； （2）用“E”对应人数除以本次被抽样调查的学生人数得出“E”对应的百分比，再用八年级的总人数乘“E”对应的百分比即可得出意向前往“E”的人数． 【小问1详解】 解：本次被抽样调查的学生人数：（人）， 意向前往“A”的人数：（人）， “A”对应的圆心角度数：． 【小问2详解】 解：（人）． 答：八年级意向前往“E”的学生人数为65人． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，矩形中，点是对角线上的动点（不与、重合），过点分别作、边上的垂线段与，连接、．从以下三个选项中选择一个作为命题的条件， 另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例． ①；②；③对任意一点都有． 【答案】方法一：选择①作为条件，②③作为结论，命题成立． 如图，连接， ， 矩形是正方形． ，． ． 又， ． ． ． ． ， ． 又， 四边形是矩形． ． 又，，， ． ． ． 方法二：选择②作为条件，①③作为结论，命题成立． 如图，连接， ，， ． 又， ． 矩形， ，． ． ． ． 又，，， ． ． 又， ∴四边形是矩形． ． ． 方法三：选择③作为条件，①②作为结论，命题成立． 如图，连接， ，， ． 又矩形， ． ∴四边形是矩形． ． 又对于上任意点（除、外），都有， ． 垂直平分． 即． 又四边形是矩形， 四边形是正方形． ，且． ． 又矩形， ． ． ∴． ． 【解析】 【分析】选择其中一个作为条件，另外两个作为结论，命题成立．证明矩形是正方形，四边形是矩形，，即可得证． 【详解】略 20. 某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款．若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元． （1）该社团成员总人数可能是180人吗？为什么？ （2）若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少？ 【答案】（1）该社团可能180人， 方法一： 设该社团成员有人， 依题意得：， 解得， 因为180在的范围内， 所以该社团成员总人数可能是180人． 方法二： 小于200，只能按零售价买， 180加上40超过200，按批发价买 该社团可能180人． （2）该社团成员有200人 【解析】 【分析】（1）根据原人数零售价（）、人数批发价（）列不等式组，求解人数取值范围，判断180是否在范围内． （2）设社团人数为未知数，用人数分别表示零售价、批发价，依据总价相等列分式方程，解方程并验根得到人数． 小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设该社团成员有人 ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该社团成员有200人． 21. 综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 （1）计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 （2）设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）佛山新城之眼的直径约为 （2）解法一： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在空旷平地找一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，即处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，即处于同一水平面上； 则米，所以的距离就是米． 解法二： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，与处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，与处于同一水平面上； ∴，， ∴四边形为平行四边形，所以米，所以的距离就是米． 解法三： 测量工具：无人机，测倾器 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一个能够看到最高点的地方，设为点，架上测倾器 步骤2：利用测倾器，从处测得点的仰角为，测得点的仰角为 步骤3：利用无人机测得点与直径的水平距离为米， 延长交于，过点作于点， 则四边形是矩形． 米． 则，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线，在中，求解，可得， 结合，再进一步求解即可. （2）根据测量工具与的计算方法，结合矩形，平行四边形的性质，三角函数的应用，设置合理的测量方案即可； 【小问1详解】 解：如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线， 则四边形均为矩形，，， ，，． 在中，， ． 在中，， 即． ． ． 答：佛山新城之眼的直径约为． 【小问2详解】 略 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题提出：一个三角形三条边的长度确定，其面积能求吗？ （1）【特例感知】直接写出图1、图2、图3对应的三角形面积、、的值： （2）【查阅资料】古希腊数学家海伦于约公元年总结出三角形的面积公式：若三角形的边长分别为、、，则其面积，其中，这个公式后世称为海伦公式： ①借助如图4所示的（三边长分别4、5、6），用三角形面积公式以及海伦公式都可求其面积的值，请你直接写出这个值； ②借助如图5所示的（三边长分别，、、），推导出海伦公式； （3）某公司计划在佛山岭南明珠展区搭建一个三角形展示架，用于摆放醒狮文创展品．展示架周长为，其中一条边长为，展区的面积能达到吗？若能，求另外两条边长，若不能，说明理由． 【答案】（1）6、12、 （2）①； ②解：如图，过点作， 设，，则，则 ，． ， 解得． ． ， ． （3）解：不能实现，理由： 设三角形景观展示架的三条边分别为、、，由题意，得 ，其中一条边为4，不妨设为4，由海伦公式，得 ． ，， ． ． ． 公司计划搭建的展区， ． 整理，得． ， ∴方程没有实数根， ∴该公司的计划不能实现． 【解析】 【分析】（1）根据所给条件，直接利用三角形的面积公式求解即可； （2）①直接代入海伦公式求解即可；②利用三角形的面积进行推导，首先作三角形一边上的高，然后利用勾股定理列方程求出高，最后代入三角形面积公式进行变形整理即可得证； （3）根据已知条件，通过海伦公式可得关于三角形其中一条边的一元二次方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：如图1，， 是直角三角形， ； 如图2，过点A作于D， ， ， ， ； 如图 3，过点A作于D， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①解：根据题意，得，，代入海伦公式，得 ； ②略 【小问3详解】 略 【点睛】对于阅读理解型问题，首先要理解材料中给出的定义、定理、公式或方法的适用条件及用途，然后再与所学知识结合起来解决问题． 23. 如图1，已知线段，在上方作，使得，，点在边上，且，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接交于． （1）求线段的长； （2）平分吗？为什么？ （3）如图2，点在线段上（不与、重合），连接并延长交于点，在上取一点，连接，且．当点在上运动时，线段是否存在最大值？若存在，求该最大值：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）是的角平分线．理由如下： 如图，过点作交延长线于点， ， ∴四边形是矩形． ，． ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ． ． ． 即平分； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过同角的余角相等推导等角，证明，利用相似三角形对应边成比例列式计算长度． （2）构造矩形得到线段等量关系，结合勾股定理求得边长，借助全等三角形证明角相等，完成角平分线的判定． （3）先证三角形相似求出定长线段，再利用等角转化得到新的相似三角形，设未知数建立关于动点线段的二次函数，借助二次函数最值规律求解最大值． 【小问1详解】 解：，， ，． 又， ． ． ． ，即． 解得； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：存在最大值． 方法一： ，， ． ． ，，， ． ． 解得． ． ，， ． 又， ， ， 如图，延长至点，作， ， ， ，即． 解得． ． 在中，由勾股定理得： 点在上运动 设，， 则． ，， ． ． ， ． 当时，． 方法二： 如方法一先求， 过点作， ，， ． ，， ． ． 又，， ． ，且，，． 设， 由， 得， ， ． 由，得， 则． ． 当时，，可取最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $