精品解析：2026年广东省汕头市潮阳区部分校九年级 二模数学试题

2025-2026（下）初三二模考试数学科试卷 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“”，近视100度记录为“”．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 华为某系列手机采用的是纳米的麒麟芯片，纳米用科学记数法表示是米，那么所代表的原数是（ ）． A B. C. D. 4. 如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（ ） A. B. C. D. 5. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子，为说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题，所列举反例正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）． A. 图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D. 图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 10. 如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 12. 命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题第_________题 用平方差公式分解下列各式：①；②；③；④． 13. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______． 14. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 15. 如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，求x的取值范围 小明的分析过程如下： 第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为①； 第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为_________②； 第三步：解不等式①得_________，解不等式②得_________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 15 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 16 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； （3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； （4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线：经过点． （1）用含有的式子表示； （2）若，点在上，且点的纵坐标为．请说明是否在上？ （3）直线交于点M，N，若线段的中点为直线与的唯一公共点，求的值． 21. 综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出延长线，交于点，连接； 第二步：如图3，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． （1）如图4，如果宽木条的宽度为12cm，窄木条的宽度为8cm，宽木条裁剪后的锐角是，那么__________； （2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； （3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则__________． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 23. 在平面直角坐标系中． （1）如图1，点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_________； （2）如图2，点，，若直线绕点B顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于点C，求点C的坐标； （3）如图3，直线l分别与函数，的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转，与函数的图象交于点F，连接，若轴，求的值． （4）如图4，已知抛物线与x轴交于点P，Q，以x轴上的点为旋转中心，将抛物线G绕点H旋转得到一个新抛物线，过点作x轴垂线，分别交抛物线G和抛物线于点M，N，记的长为n，n与m的函数关系图象为．当平行于m轴的直线与的公共点个数为3个时，请直接写出此时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）初三二模考试数学科试卷 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“”，近视100度记录为“”．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导验光记录对应的实际近视度数，再和200度比较，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：A、表示近视度，超过200度需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，符合题意； B、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意； C、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意； D、表示近视度，不超过200度，不需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，不符合题意． 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得，不符合题意； B、合并同类项可得，不符合题意； C、同底数幂除法，底数不变指数相减，可得，符合题意； D、幂的乘方法则，底数不变指数相乘，可得，不符合题意． 3. 华为某系列手机采用的是纳米的麒麟芯片，纳米用科学记数法表示是米，那么所代表的原数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，即用这个塞子左视图堵住第一个洞，主视图堵住第二个洞，俯视图堵住第三个洞，可得答案． 【详解】解：一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，只有图B符合题意． 5. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 6. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， ∴用30千克木材制作榫的数量为，用30千克木材制作卯的数量为， 又制作卯的数量比制作榫的数量少10个，即制作榫的数量比制作卯的数量多10个， 可列方程为：． 7. 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子，为说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题，所列举反例正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题“对于任何实数，都有”，忽略了为负数时的情况，只需选取满足“是实数但不满足”的反例即可. 【详解】解：∵二次根式的运算结果为非负数，当时，， ∴要说明原命题是假命题，只需取为负数即可， 四个选项中只有C选项， 验证：当时，，符合反例要求. 8. 球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理得出，设截面圆的半径为，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设截面圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴截面圆的半径为． 故选：D． 9. 数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（ ）． A. 图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B. 图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C. 图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D. 图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中编号为1的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； D．图（4）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意． 10. 如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连接，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记与交于点A，证明，得到，，设，则，证明，得到，设，，分别求出，，即可求出结果． 【详解】解：如图，记与交于点A， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 12. 命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是第_________题 用平方差公式分解下列各式：①；②；③；④． 【答案】① 【解析】 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式，需要满足可以写成两个符号相反的平方项的差的形式，即的形式，据此对四个式子逐一判断即可． 【详解】解：对于①，，两个平方项符号相同，无法改写为平方差的形式，故①不能按要求分解因式； 对于②，符合平方差的形式，故②可以按要求分解因式； 对于③，，符合平方差的形式，故③可以按要求分解因式； 对于④，，符合平方差的形式，故④可以按要求分解因式； 综上可知，不能按要求分解因式的题是①． 13. 如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______． 【答案】18° 【解析】 【分析】先算出正五边形的每个内角的度数，让360减去3个内角的度数和的差除以2即可． 【详解】∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°， ∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°． 故答案为18°． 【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数. 14. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造两个直角三角形. 在中利用锐角三角函数求出和的长，在中利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后根据线段的和差关系求解． 【详解】解：如图，过点作于点 在中，，.    在中，，  是等腰直角三角形 ． ． 15. 如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象关于点中心对称，可知若两点横坐标之和为，则纵坐标之和为；观察点列横坐标，发现除外，其余点到可关于对称配对，其中为对称中心，纵坐标为，计算即可得出结果； 【详解】解：函数的图象关于点中心对称，  若点与在函数图象上，且，则， 点的横坐标从开始依次增加，  横坐标分别为， ，  ， 又当时，对应点为对称中心，  ， ， 当时，， ． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键． 17. 在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解． 如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，求x的取值范围 小明的分析过程如下： 第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为①； 第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为_________②； 第三步：解不等式①得_________，解不等式②得_________； 第四步：得出x的取值范围是_________． 请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，，，； 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】先建立，再分别解出每个不等式的解集，得的取值范围是，再在数轴上表示出来该不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：点，，在数轴上的对应值分别为，，， 当点在点左侧，则； 当点在点右侧，可列不等式为， 即， 解不等式①得， 解不等式②得， 的取值范围是， 在数轴上表示如答案． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①分别以B、C为圆心，为半径画弧，两弧交下方于点，连接即可； ②作的垂直平分线交于E，以E为圆心，为半径画弧，在下方交垂直平分线于点，连接即可； （2）作交于F，设，根据30度角的性质可知，根据菱形的面积公式求出，即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 解：①如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，， ∴四边形为菱形； ②如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，，，， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，作交于F， 设， ∵， ∴， ∵菱形的面积为2， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴菱形的周长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； （3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； （4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）2.0，8.4 （2）1400 （3）推荐采用A温室的种植方案，理由见解析 （4）每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获得最大利润2400元 【解析】 【分析】（1）由单株产量表和口感评分频数分布直方图即可求解； （2）由不低于1.8千克的占比即可求解； （3）比较单株产量或口感评分的平均数、方差或中位数即可； （4）设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，根据题意列出不等式与一次函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：由单株产量表可得A温室的单株产量的众数；由口感评分频数分布直方图可得B温室的草莓口感评分从小到大排列第5个和第6个数据分别为8.3和8.5，则中位数． 【小问2详解】 解：（株）， ∴A温室单株产量不低于1.8千克的草莓约有1400株． 【小问3详解】 解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下： A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高； A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀．（选择一条回答即可） 【小问4详解】 解：设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最大值为（元），此时（盒）， ∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线：经过点． （1）用含有的式子表示； （2）若，点在上，且点的纵坐标为．请说明是否在上？ （3）直线交于点M，N，若线段的中点为直线与的唯一公共点，求的值． 【答案】（1） （2）不在，说明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入中，即可得出结果； （2）先求出点坐标，结合（1）中的结果，把点的横坐标代入进行判断即可； （3）联立直线和，利用根与系数的关系得出，联立直线和，根据线段中点坐标以及交点情况得出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：点不在上，理由如下： 当时，则， 当时，解得， ∴或， 由（1）知：， ∴：， ∴当时，； 当时，； ∴抛物线经过和，点不在抛物线上； 【小问3详解】 解：根据题意联立，得， 令方程的两个根为，即点的横坐标分别为， ∴， ∵线段的中点为直线与的唯一公共点， ∴中点的横坐标为， ，得， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图2，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图3，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接． （1）如图4，如果宽木条的宽度为12cm，窄木条的宽度为8cm，宽木条裁剪后的锐角是，那么__________； （2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性； （3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则__________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，两根木条的宽度比即为所求； （2）证明与能够重合，即，且即可； （3）过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，设，则，再解直角三角形，求出，，得到，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， ，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，，， ，， 同理可得， ， ， ， ，即， 又， ， ， 故和都是等腰直角三角形， 由平移得， ， 在和中， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即可完成拼接； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点， 则四边形为矩形， 两根木条的宽度比为，即， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程． （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）的中点为； （2）①见解析；②的长为或或． （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【小问1详解】 解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． 【小问2详解】 解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． 【小问3详解】 解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 23. 在平面直角坐标系中． （1）如图1，点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_________； （2）如图2，点，，若直线绕点B顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于点C，求点C的坐标； （3）如图3，直线l分别与函数，的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转，与函数的图象交于点F，连接，若轴，求的值． （4）如图4，已知抛物线与x轴交于点P，Q，以x轴上的点为旋转中心，将抛物线G绕点H旋转得到一个新抛物线，过点作x轴垂线，分别交抛物线G和抛物线于点M，N，记的长为n，n与m的函数关系图象为．当平行于m轴的直线与的公共点个数为3个时，请直接写出此时m的值． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4），，0 【解析】 【分析】（1）过作轴，由旋转性质得、，证，得、，故，结合在y轴左侧，即可求解； （2）由、，在中得；直线绕顺时针转，得；在中，，进而即可求出点的坐标； （3）由反比例函数的几何意义得、，证得；结合轴、，构造等腰直角，证，设参数解方程，最终求解得； （4）求出抛物线与x轴交于、，绕旋转得，由中心对称得解析式；算得，其图像为分段抛物线；当平行于m轴的直线与有3个交点时，对应，进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点作轴于，连接，如图， 则， 由旋转可得，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵，， ∴，， ，， ∴， 由题意得，在轴左侧， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：依题意得，， ，， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点，作轴于点，过作交的延长线于点，过点作轴于点，延长交轴于点，连接， 根据反比例函数的几何意义，得，， ，， ， ， ， ． ， ， ， ， 设，则，，，， ，，， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ∴，． 轴， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即 解得． ，，，， ，， ； 【小问4详解】 解：如图： 对于抛物线，令，则 解得， ∴抛物线与轴交点、， 令，则， ∴抛物线顶点为， 设新抛物线，且顶点为，与y轴右交点为， ∵将抛物线G绕旋转得到新抛物线， ∴， ∴， ∴， ∴新抛物线解析式为， 再将点B代入，得 解得， ∴新抛物线解析式为， 由题意得，∵点在上，点在上， ∴，， ∴， 当时，，开口向下；当时，，开口向上，如图， 当时，， ∴顶点为， 当时， 解得， ∴与m轴交于； 由题意得，设平行于m轴的直线为， ∴由图可得，当时，有2个交点； 当时，有3个交点； 当时，有4个交点； 当时，有2个交点； 当时，0个交点． 当时，， 解得，，， ∴当公共点个数为3个时，的值为、、． 【点睛】本题核心为旋转问题通过构造全等或等腰直角三角形转化坐标，反比例函数利用的几何意义与相似三角形，抛物线旋转依托中心对称坐标变换；常见错误为旋转方向与角度对应错误、中心对称点坐标算错、分段函数交点个数判断偏差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $