精品解析：2026年甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学二模数学试题

2025-2026学年第二学期九年级数学学情调研（7） 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，，，为圆上三点，交于点，，若，则为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，原点为位似中心．已知点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 2 9. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 10. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 11. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解=______． 13. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 14. 现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是______． 15. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 三、解答题（共11小题） 16. 计算： ． 17. 用配方法解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 20. 天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 21. 小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连接，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． （3）探究提升： 小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决：如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 22. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀，从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如图统计图； 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：________，________； （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由； （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 23. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 24. （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 25. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； （2）若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； （3）若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 26. 在平面直角坐标系中，对于两个图形，和直线，若在图形上存在点，在图形上存在点，使得点和点关于直线对称，就称图形和互为关联． （1）若的半径为1，点与为关联，则的值为 ； （2）已知点，射线与线段为关联，求的取值范围； （3）已知⊙的半径为2，直线与轴，轴分别交于点，，若关于对称的图形与线段互为关联，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学学情调研（7） 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较规则，先区分正负，再比较正实数大小即可得到结果． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴负数和0都小于正数和，只需比较和的大小． 对两个正数平方得，， ∵， ∴， 因此四个数的大小关系为，故最大的数是2． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转 ，判断是否能与自身重合，从而确定答案． 【详解】解：选项 A：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 B：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 C：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 D：绕其中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形． 故选D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与同类项合并规则对应法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A.，故原计算错误，你符合题意； B.，故原计算正确，符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意． 4. 光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫做光的折射．如图所示，将某玻璃的两个界面抽象为两条直线，，且，一束光线从空气斜射入该玻璃，为入射点，为法线，为折射光线，为入射光线的延长线，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对顶角相等的性质得，通过角度差计算出，接着依据 “一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条” 的平行线性质，由 且 推导出 ，得到直角，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出角 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为法线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，代入系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 计算得， 整理得， 解得， ∴的取值范围是． 6. 如图，，，为圆上三点，交于点，，若，则为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点的解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，原点为位似中心．已知点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点，的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，原点为位似中心， 点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点E的坐标为，即． 8. 已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 9. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 10. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出两种分银情况对应的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：第一种情况：每人分七两，剩余四两，总银两等于分出的银子加剩余的银子， ∴，整理得， 第二种情况：每人分九两，还差八两，需要的总银子等于现有银两加缺少的银两， ∴， ∴可列方程组． 11. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以分别写出y与x的关系和S与x的关系，从而可以得到y与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系． 【详解】解：∵， 则与满足一次函数关系， ∵， 则S与满足二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 13. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 14. 现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解： 画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的结果数有3种， 故甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率为． 15. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 三、解答题（共11小题） 16. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将变形为，再利用完全平方公式配方为，再求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，23 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： 将代入，得：原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解题关键． 19. 如图，一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=的图象分别交于点A．B，且点A的横坐标为-2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）P（0，3）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）将x=-2代入y=-x+1求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为（0，a），得到PC=，根据△ABP的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：当x=-2时，y=-（-2）+1=2， ∴A（-2，2）， ∵反比例函数y=的图象过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4， ∴y=-1，即B（4，-1）， 设点P的坐标为（0，a）， ∵一次函数y=-x+1的图象与y轴交于点C． ∴C（0，1）， ∴PC=， ∵△ABP的面积为6， ∴， 解得a=-1或a=3， ∴点P的坐标为（0，-1）或（0，3）． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． 20. 天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】该建筑物顶端到地面的高度约为米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形是矩形，得到，米，设米， 则米， 分别在和中，利用锐角三角函数的定义表示出和的长，根据， 列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， 四边形是矩形， ，米， 设米， 则米， 在中，， （米）， 在中，， 米， ， ， 解得， （米）， 即该建筑物顶端到地面的高度约为米． 21. 小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连接，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． （3）探究提升： 小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决：如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 【答案】（1） （2）菱形 （3）点如图所示： 【解析】 【分析】（1）容易判断是等边三角形，则，直接计算圆的面积即可； （2）由可判定四边形是菱形，因此； （3）连接，以点为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线与的交点即为点． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴所画圆的面积为； 【小问2详解】 解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、，连接交射线于点， 由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称． 22. 为纪念中国航天日，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀，从该校七、八年级各随机抽取8名学生，对这16名学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】七年级8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，73，75； 八年级8名学生竞赛成绩：83，90，79，90，83，83，73，75． 【整理数据】小亮对七、八两个年级抽取学生的竞赛成绩整理并绘制了如图统计图； 【分析数据】七、八年级抽取学生竞赛成绩的相关数据如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：________，________； （2）结合以上数据进行分析，你认为哪个年级成绩比较好，并说明理由； （3）该校七年级共有学生152人，八年级共有学生160人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）； （2）八年级，理由如下： 虽然在平均数上，两个年级的分数一样，但八年级的中位数和众数都高于七年级，且八年级的方差更小，说明八年级的成绩更稳定，因此八年级的成绩比较好 （3）约为人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）从中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可； （3）分别计算出两个年级的优秀率，再乘以对应的学生数，最后求和即可． 【小问1详解】 解：将八年级8名学生的成绩从小到大排列得： ，，，，，，，， 其中第4个数和第5个数都是， ∴八年级的中位数为，即， 七年级学生的成绩中，分出现3次，出现的次数最多， ∴七年级的众数为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：这两个年级获奖的总人数约为人． 23. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形的性质找出证明全等三角形所需的条件． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】（1）略 （2）略 25. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； （2）若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； （3）若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求出函数的解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，因此抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，从而得到不等式，求解即可； （3）分类讨论，当时，随的增大而减小，则，，结合，求出的值；当时，同理，，并求出的值；当时，在顶点处取到最小值，再分为和两类，对应的或，解方程并删去不符合题意的根即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴在处，取得最大值，即；在处，取得最小值，即， ∵， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ②当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴在处，取得最小值，即；在处，取得最大值，即， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时，此时区间包含对称轴， ∴在处，取得最小值，即， 由（2）可知，离直线越近，函数值越小， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 当时， ∵。 ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 综上所述，的值或． 26. 在平面直角坐标系中，对于两个图形，和直线，若在图形上存在点，在图形上存在点，使得点和点关于直线对称，就称图形和互为关联． （1）若的半径为1，点与为关联，则的值为 ； （2）已知点，射线与线段为关联，求的取值范围； （3）已知⊙的半径为2，直线与轴，轴分别交于点，，若关于对称的图形与线段互为关联，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用对称性求出点的对称点的坐标为，根据题意，点到点的距离为，即，解方程即可； （2）先求出射线的解析式，再求出线段关于直线的对称线段的解析式，从而求出交点坐标，根据题意可得，代入求出的取值范围； （3）先求出点，则线段的解析式为，再求出点关于直线的对称点的坐标为，容易判断关于直线对称，因此线段与有公共点时，即可满足图形与线段互为关联．设点是线段与的公共点，利用半径为可得，则该方程在内有实数根．由可得，由根与系数的关系可得，，．分为两根都在内，较大根在内和较小根在内三种情况讨论，分别写出、需满足的条件，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点关于直线的对称点的坐标为， 根据题意，点在上，且的半径为， ∴，即， 解得或； 【小问2详解】 解：设射线的解析式为， 将点代入，得， ∴射线的解析式为， 线段关于直线的对称线段为， 将代入，得， ∵，且， ∴， ∴，解得； 【小问3详解】 解：将代入，得， ∴线段的解析式为， 点关于直线的对称点的坐标为， ∵点在直线上， ∴关于直线对称， 根据题意可得，线段与有公共点时，即可满足图形与线段互为关联， 设点是线段与的公共点， ∵， ∴由勾股定理可得，， 整理，得， ∴该方程在内有实数根， ， 整理得， 解得， 设方程的两根为，， 由根与系数的关系可得，，， ①当时， ∴， 解得， ∵， ∴； ②当时， ∴， 该不等式组无解； ③当时， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，故舍去， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $