2.7 对数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据课标要求系统梳理对数概念、运算性质、函数图象与性质及反函数等核心考点，对接高考评价体系，分析对数运算、单调性比较等高频考点权重，归纳运算求值、大小比较等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试策略指导，如以2024全国甲卷对数运算题为例，讲解换底公式变形技巧，培养数学思维；通过2023新高考Ⅱ卷反函数题，分析图象对称关系，提升直观想象素养。设易错点警示（如定义域忽略）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可利用诊断自测精准教学，高效备考。

第7节　对数与对数函数 课标要求 1. 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2. 通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点. 3. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且 a≠1）. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 对数式的运算 概念 如果 （a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底 N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ⁠ ，N叫做 ⁠ 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ ⁠ 负数和0没有对数 1的对数是 ：loga1＝ ⁠ 底数的对数是 ：logaa＝ ⁠ 对数恒等式： ＝ ⁠ ax＝N　 logaN　 底 数　 真数　 x＝logaN　 0　 0　 1　 1　 N 高中总复习·数学 目 录 运算 性质 loga（MN）＝ ⁠ a＞0，且a≠1，M＞ 0，N＞0 loga ＝ ⁠ logaMn＝ （n∈R） 换底 公式 logab＝ （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） logaM＋logaN　 logaM－logaN　 nlogaM　 高中总复习·数学 目 录 2. 对数函数及其性质 （1）定义：函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是 ⁠； 提醒：对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x ＞0；③系数为1. 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 logax　 （0，＋∞）　 （2）图象与性质 高中总复习·数学 目 录 性质 定义域： ⁠ 值域：R 图象过定点 ，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是 ⁠ 在（0，＋∞）上是 ⁠ （0，＋∞）　 （1，0）　 增函数　 减函数　 提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情 况进行讨论. 高中总复习·数学 目 录 3. 反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且 a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 高中总复习·数学 目 录 1. 换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝ （a，b均大于0且不等于1）； （2）lo bn＝ logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2. 对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点 （a，1），（ ，－1），函数图象只在第一、四象限. 高中总复习·数学 目 录 3. 对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的 底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规 律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）log2x2＝2log2x. （　×　） （2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数. （　×　） （3）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数. （　×　） （4）函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1， 2）. （　×　） （5）函数y＝logax与y＝lo x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称. （　√　） × × × × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 函数f（x）＝ ＋ln（x－1）的定义域为（　　） A. （1，＋∞） B. （1，2）∪（2，＋∞） C. （－∞，1） D. （0，2）∪（2，＋∞） √ 解析： 　因为f（x）＝ ＋ln（x－1），所以要使函数有意义，则 解得x＞1且x≠2，所以f（x）的定义域为（1，2）∪（2， ＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 3. 下列运算正确的是（　　） A. lg 2＋lg 3＝lg 5 B. log34·log43＝0 C. 2lg －lg ＝2 D. lg 1－ln e2＋ ＝4 √ 解析： 　对于A，lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误；对于B，log34·log43＝1， 故B错误；对于C，原式＝lg （ ）2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故C 错误；对于D，原式＝0－2＋ ＝－2＋ ＝－2＋6＝ 4，故D正确，故选D. 高中总复习·数学 目 录 4. 设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为 （　　） A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. b＞c＞a D. a＞c＞b √ 解析： 　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x， y3＝log0.4x的大致图象，由图可知，当x＝6时，log0.26 ＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），则m的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：因为y＝log0.7x的定义域为（0，＋∞），且是减函数，故2m＞m －1＞0，解得m＞1. （1，＋ ∞）　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 对数的运算（基础自学过关） 1. 若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　） A. －2 B. C. D. 1 √ 解析： 　由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝ log54，所以abc＝log23×log35×log54＝ × × ＝2，则log4（abc） ＝log42＝ . 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足log2（log3x）＝log3 （log2y）＝1，则x＋y＝（　　） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 √ 解析： 　因为log2（log3x）＝log3（log2y）＝1，所以x＋y＝ ＋ ＝9＋8＝17.故选D. 高中总复习·数学 目 录 3. （2024·全国甲卷15题）已知a＞1且 － ＝－ ，则a＝ ⁠. 解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t＝ loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍去），所 以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64. 64　 高中总复习·数学 目 录 4. 计算下列各式： （1）log535＋2log2 －log5 －log514； （2）log23·log38＋（ ； （3） . 解：（1）原式＝log5 ＋log22＝log553＋1＝4. （2）原式＝ · ＋ ＝3＋ ＝3＋2＝5. （3）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 对数运算的一般思路 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并； （2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的 运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算； （3）ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的 有效方法，在运算中应注意互化. 高中总复习·数学 目 录 对数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）函数f（x）＝ax与g（x）＝lo x（a＞0且a≠1）在同一坐标 系中的大致图象是（　C　） C 高中总复习·数学 目 录 解析： 对于A、C、D，由指数函数的图象，可得a＞1，则0＜ ＜1，即 函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，故A、D错误，C正确；对于B， 由指数函数的图象，可得0＜a＜1，则 ＞1，即函数g（x）在（0，＋ ∞）上单调递增，故B错误. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝｜log3x｜，若a＜b，且f（a）＝f（b），则a ＋4b的取值范围是（　D　） A. [2 ，＋∞） B. （2 ，＋∞） C. [5，＋∞） D. （5，＋∞） D 解析： 画出f（x）＝｜log3x｜的图象如图所示， 因为a＜b，且f（a）＝f（b），所以－log3a＝log3b， 故 ＝b，且0＜a＜1，令y＝a＋4b，所以y＝a＋ ， 由对勾函数的性质可知y＝a＋ 在（0，1）上单调递减，故y＝a＋ ＞1＋ ＝5，故a＋4b的取值范围是（5，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 对数函数图象的识别及应用 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用 数形结合法求解. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常 数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　D　） A. a＞0，b＜－1 B. a＞0，－1＜b＜0 C. 0＜a＜1，b＜－1 D. 0＜a＜1，－1＜b＜0 D 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因 为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函 数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）若方程4x＝logax在（0， ］上有解，则实数a的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析： 若方程4x＝logax在（0， ］上有解， 则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在（0， ］ 上有交点，由图象知 解得0＜ a≤ . （0， ］　 高中总复习·数学 目 录 对数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较对数值的大小 （1）（2025·湖南长沙部分学校月考）设a＝log43，b＝log53，c＝ log45，则（　D　） A. a＞c＞b B. b＞c＞a 解析： 因为a＝log43＜1，b＝log53＜1，c＝log45＞1，其中a＝ ，b ＝ ，所以a－b＝ － ＝ ＞0，所以c＞a＞b，故 选D. D C. c＞b＞a D. c＞a＞b 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·黑龙江龙东联盟联考）已知2a＝3b＝6，则a，b满 足（　AD　） A. a＝log26 B. a＜b C. ＋ ＜1 D. a＋b＞4 AD 解析： A选项，由2a＝6，得a＝log26，故A正确；B选项，由3b＝6，得b ＝log36，∵a＝log26＞2，b＝log36＜2，∴a＞b，故B错误；C选项，∵ ＋ ＝ ＋ ＝log62＋log63＝1，故C错误；D选项，∵a≠b且a＞ 0，b＞0，∴由基本不等式得a＋b＝（a＋b）（ ＋ ）＝2＋ ＋ ＞ 4，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 比较对数式大小的方法 （1）当底数为同一数字时，可由对数函数的单调性比较大小； （2）当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论； （3）当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较； （4）当底数与真数都不同时，可借助1，0等中间值比较大小. 高中总复习·数学 目 录 考向2　解简单的对数方程或不等式 （1）方程log2（x－1）＝2－log2（x＋1）的解为 ⁠； 解析： 原方程变形为log2（x－1）＋log2（x＋1）＝log2（x2－1）＝2， 即x2－1＝4，解得x＝± .又x＞1，所以x＝ . 　 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递 减，则不等式f（lo （2x－5））＞f（log38）的解集为 　（ ， ）∪ ⁠. 解析： 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调 递减，所以可将f（lo （2x－5））＞f（log38）化为｜lo （2x－ 5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝ log3 ，即2x－5＞8或0＜2x－5＜ ，解得x＞ 或 ＜x＜ . （ ， ）∪ （ ，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定， 需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax 的单调性求解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）（2025·浙江金华十校二模）已知a＝log32，b＝log54，c＝ log98，则（　D　） A. c＜b＜a B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. a＜b＜c 解析： 由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.则 ＝ ＝ × ＝ × ＝ ＝ ＜1，所以a＜b. ＝ ＝ × ＝ × ＝ ＝ ＜1，所以b＜c.所以a＜b＜c.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）不等式logx（x＋2）＞1的解集是（　B　） A. （2，＋∞） B. （1，＋∞） C. （0，1） D. （0，1）∪（1，＋∞） 解析： logx（x＋2）＞1⇔ ①或 ②，①无解，② 的解为x＞1，∴x＞1，故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （3）已知函数f（x）＝ 则不等式f（（log2x）2－3）＜ 4f（log2x）的解集为 ⁠. 解析： 当x≥0时，f（x）＝2x2≥0，4f（x）＝8x2＝f（2x），且f （x）在[0，＋∞）上单调递增；当x＜0时，f（x）＝－2x2＜0，4f （x）＝－8x2＝f（2x），且f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f （x）在R上是增函数，且4f（x）＝f（2x），于是原不等式可化为 （log2x）2－3＜2log2x，即（log2x）2－2log2x－3＜0，即（log2x＋1） （log2x－3）＜0，得－1＜log2x＜3，解得 ＜x＜8. （ ，8）　 高中总复习·数学 目 录 对数型函数性质的综合问题（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P161复习参考题11题〕已知函数f（x）＝loga （x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）. （1）求函数f（x）＋g（x）的定义域； 解： 由f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）， 则有 得－1＜x＜1， 则函数f（x）＋g（x）的定义域为（－1，1）. 高中总复习·数学 目 录 （2）判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由. 解：函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数，理由如下： 令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）. 又h（－x）＝f（－x）＋g（－x） ＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x） ＝loga（x＋1）＋loga（1－x） ＝f（x）＋g（x）＝h（x）， 则∀x∈（－1，1），有h（－x）＝h（x）成立， 故函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）不具有奇偶性，但其复 合函数却可能具有奇偶性，其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义结合 对数函数的运算性质进行判断，一般地函数f（x）＝loga（n＋mx）（n －mx）为偶函数，函数f（x）＝loga 为单调的奇函数. 高中总复习·数学 目 录 变式1 已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞ 1），则函数f（x）＋g（x）的单调递增区间为 ；值域 为 ⁠. 解析：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga （1－x）＝loga（1－x2），定义域为（－1，1）.设t＝1 －x2，x∈（－1，1），则h（x）＝logat.函数t＝1－x2的 图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，所以t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.当a＞1时，对数函数y＝logat在（0，＋∞）上单调递增.根据复合函数“同增异减”的原则，h（x）＝loga（1－x2）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.画出函数h（x）＝loga（1－x2）的大致图象，如图，由图易知h（x）的值域为（－∞，0]. （－1，0）　 （－∞，0]　 高中总复习·数学 目 录 变式2 〔链接高考〕〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x ＋a）ln 为偶函数，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 √ 解析： 　法一　∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），又f（1）＝ （a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，f（－1）＝（a－1）ln 3，∴－（a＋ 1）＝a－1，∴a＝0. 高中总复习·数学 目 录 法二　f（－x）＝（－x＋a）ln ＝（－x＋a）ln ＝（x－a） ln ，∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（－x），∴x＋a＝x－a， 即a＝0. 法三　易知函数g（x）＝ln 为奇函数，要使函数f（x）＝（x＋a） ln 为偶函数，则h（x）＝x＋a为奇函数，即a＝0. 高中总复习·数学 目 录 变式3 已知函数f（x）＝lg（ ＋a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的 取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （－∞，0） D. （－1，1） √ 解析： 　函数f（x）为奇函数，但并不确定定义域是否包含0，所以不 能利用f（0）＝0确定a的取值范围.利用定义可得f（x）＋f（－x）＝ 0⇔（ ＋a）·（ ＋a）＝1⇔（2＋a）2－a2x2＝1－x2，通过比较系 数可得 解得a＝－1.再由lg（ －1）＜0可得0＜ －1＜1，解得－1＜x＜0，故选A. 高中总复习·数学 目 录 　　求解与对数型函数有关的综合问题时，必须弄清的三个方面：一是定 义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是 复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时 需注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）（2025·江西一模）若函数f（x）＝log0.1（12－ax）在区间 （3，6）上单调递增.则a的取值范围是（　D　） A. （－∞，0） B. （－2，0） C. （0，2） D. （0，2] 解析： f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t＝12－ ax，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减且恒为正，所以a＞0且12－ 6a≥0，所以0＜a≤2.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝ln（ －3x）＋1，则f（lg 2）＋f（lg ）＝（　D　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 令g（x）＝f（x）－1，则g（x）＝ln（ －3x），由g （－x）＝ln（ ＋3x）＝ln ＝－ln（ －3x）＝ －g（x），所以g（x）为奇函数，故g（x）＋g（－x）＝0，即f（－ x）＋f（x）＝2，则f（lg 2）＋f（lg ）＝2，故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （3）〔多选〕对于函数f（x）＝lg ，下列说法正确的有 （　ACD　） A. 函数f（x）的图象关于y轴对称 B. 当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减 C. 函数f（x）的最小值是lg 2 D. 当－1＜x＜0或x＞1时，f（x）单调递增 ACD 高中总复习·数学 目 录 解析：f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且 f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴 对称，故A正确；当x＞0时，f（x）＝lg ＝lg（x＋ ），由对勾函 数的性质可知，y＝x＋ 在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递 增，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，1]上单调递减，在 [1，＋∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故f （x）在－1＜x＜0或x＞1时单调递增，故B不正确，D正确；当x＞0时， x＋ ≥2（当且仅当x＝1时取等号），又f（x）是偶函数，所以f（x） 的最小值是lg 2，故C正确.故选A、C、D. 高中总复习·数学 目 录 互为反函数的两个函数图象间的关系 　　通过人A必修一P135探究与发现我们知道指数函数y＝ax（a＞0，且 a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象 关于直线y＝x对称.也就是说，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象 上任意一点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点Q（y0，x0）在对数函数 y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上. 高中总复习·数学 目 录 （1）若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m ＋n＝（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x＋4， 且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于 直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直， 所以两函数图象与直线y＝－x＋4的交点A， B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根，则实数a ＝ ⁠. 解析：由于函数f（x）＝ax（a＞1）的图象与函数 g（x）＝logax（a＞1）的图象关于直线y＝x对称， 则方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根等价 于直线y＝x是曲线f（x）与g（x）的公切线.设直 线y＝x与曲线f（x）＝ax相切于点P（x0， ）.由f（x）＝ax得f'（x）＝axln a，所以 解得 　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f （2）＝1，则f（x）＝（　　） A. log2x B. C. lo x D. 2x－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝ 1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f（x）＝log2x. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（　　） A. ＋ ＝7 B. ln e2＋ln（ln e）＝1 C. log23·log34＝1 D. lg 25＋ lg 8－lg 200＋lg 2＝0 √ 解析： 　 ＋ ＝（23 ＋ ＝4＋27＝31，A错误；ln e2＋ln （ln e）＝2＋ln 1＝2，B错误；log23·log34＝log24＝2，C错误；对于D，原 式＝lg 52＋ lg 23－lg 200＋lg 2＝2（lg 5＋lg 2）－lg 100＝0，D正确，故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. （2025·江苏南京二模）已知a＝log23，b＝log43，c＝ ，则a，b，c 的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a √ 解析： 　a＝log23＞log22＝1，由32＞23，得3＞ ，则log23＞log2 ＝ ，即a＞c＞1；b＝log43＜log44＝1，所以b＜c＜a.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·湖南长沙市一中模拟）已知函数f（x）＝lo （x2＋3），且f （log2m）＜f（2），则实数m的取值范围为（　　） A. （4，＋∞） B. （0， ） C. （ ，4） D. （0， ）∪（4，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为x2＋3≥3，所以函数f（x）＝lo （x2＋3）的定义域为 R，则定义域关于原点对称，且f（－x）＝lo （x2＋3）＝f（x），所 以f（x）为偶函数.又x≥0时，u＝x2＋3单调递增，而y＝lo u单调递 减，所以f（x）＝lo （x2＋3）在[0，＋∞）上单调递减，根据对称性 知x＜0时，f（x）＝lo （x2＋3）单调递增.函数y＝log2m中，m＞0， 由f（log2m）＜f（2）得｜log2m｜＞2，解得0＜m＜ 或m＞4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga（－x），y＝ （a＞0且 a≠1）的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为函数y＝loga（－x）的图象与函数y＝logax的图象关于y 轴对称，所以函数y＝loga（－x）的图象恒过定点（－1，0），故A、B 错误；当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y ＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减，而y＝ （a＞1）在（－ ∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，故D错误，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有 下列说法，其中正确的为（　　） A. f（x）的图象关于原点对称 B. f（x）的图象关于y轴对称 C. f（x）的最大值为0 D. f（x）在区间（－1，1）上单调递增 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－ x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2 （1－｜x｜）为偶函数，图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f （x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x） ≤log21＝0，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·山东乳山模拟）若函数f（x）＝ 在（－ ∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ 当x∈（－∞， 1]时，易知f（x）＝2x＋2在（－ ∞，1]上单调递增，当x∈（1，＋∞）时，f（x）＝log2（x－1）在（1，＋∞）上单调递增.作出f（x）的大致图象，如图所示.由图可知，f（1）＝4，f（17）＝log2（17－1）＝4，因为f（x）在（－∞，a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1，17]. [1，17]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. （2025·广东深圳一模改编）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga（x ＋ ）的图象一定经过第 象限. 解析：当x＝0时，y＝loga ＝－1.当0＜a＜1时，函数图象经过第二、 三、四象限；当a＞1时，函数图象经过第一、三、四象限.所以函数y＝ loga（x＋ ）的图象一定经过第三、四象限. 三、四　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，函数y＝logax在区间[a， 3a]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a的值； 解： 因为loga3＜loga2，所以0＜a＜1， 所以y＝logax在[a，3a]上为减函数， 因为函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以logaa－loga（3a）＝1，即loga ＝1，解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2＋loga －2的最小值. 解： 由（1）得a＝ ，因为1≤x≤3， 所以－1≤lo x≤0， 所以y＝（logax）2＋loga －2＝（lo x）2＋ lo x－2， 令lo x＝t，则t∈[－1，0]，y＝t2＋ t－2＝（t＋ ）2－ ，所以当t ＝－ ，即x＝ 时，y取得最小值，且最小值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　） A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＜ ＜ D. ＜ ＜ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　 ， ， 可分别看作函数f （x）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b））， （c，f（c））与坐标原点O（0，0）连线的斜率.作出 函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时， ＜ ＜ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 若不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立， 则实数a的取值范围为（　　） A. （0， ） B. （0，1） 解析： 　若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，logax＜0，而 （x－1）2＞0，故（x－1）2＜logax无解；若a＞1，此 时x∈（1，2]，logax＞0，而（x－1）2＞0，令f（x） ＝logax，g（x）＝（x－1）2，画出函数f（x）与g （x）的图象，如图，由不等式（x－1）2＜logax在x∈（1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈（1，2）. √ C. （ ，1） D. （1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 若x1＜x2＜x3＜x4， 且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　） A. x1＋x2＝－4 B. x3x4＝1 C. 1＜x4＜4 D. 0＜x1x2x3x4≤2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　函数f（x）＝ 的图象如图所示，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝t，则 0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f（x）图象 的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对 于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝ －2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于 B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2（x3x4）＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈（0，4），则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜ －2，当x≤0时，f（x）＝－x2－4x，所以x1x2x3x4＝x1（－4－x1）＝－ －4x1＝f（x1）∈（0，4），故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题改编）设函数f（x）＝（x＋ a）·ln（x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为 ⁠. 解析：法一　由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x＋a ＝0解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0解得x＝1－b，则当x∈（－b，1－ b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－ b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b ＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当且仅当a＝ － ，b＝ 时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 法二　令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln （x＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a. 所以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当a＝－ ，b＝ 时，等号成立，所以（a2＋b2）min＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解： 当a＝ 时，f（x）＝lo （ x2－x）. 由 x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2， 所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（2，＋∞）， 利用复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0）， 单调递减区间为（2，＋∞）. 14. （15分）已知函数f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）. （1）若a＝ ，求f（x）的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围. 解： 令g（x）＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g（x）的图 象开口向上，对称轴为直线x＝ . ①当0＜a＜1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x） ＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g（x）min＝g（4）＞0， 即 此不等式组无解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ②当a＞1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2 －x在[2，4]上单调递增，且g（x）min＝g（2）＞0，即 解得a＞ ，又a＞1，所以a＞1. 综上，实数a的取值范围为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新交汇〕设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2 的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示. 若△ABC为正三角形，则m·2n＝ ⁠. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意可得BC＝2，则正三角形ABC边长为2，点A到BC距离为 ，BC中点纵坐标与点A纵坐标相等且等于点B纵坐标加1，所以点C的 坐标为（m＋ ，n＋1）.将A，C两点的坐标代入函数y2＝log2x＋2， 可得log2m＋2＝n，log2（m＋ ）＋2＝n＋1，两式相减得log2（m＋ ）－log2m＝1，所以log2 ＝1，所以 ＝2，解得m＝ ，所 以n＝log2m＋2＝log2 ＋2＝log24 ，所以m·2n＝ × ＝ ×4 ＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $