2.1 函数的概念及其表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”专题，依据课标要求梳理了定义域求解、解析式表示、分段函数应用等核心考点，通过近三年高考真题分析明确定义域（占比30%）、分段函数（占比25%）等高频考点分布，归纳出复合函数定义域、分段函数求值等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题情境+方法归纳+素养提升”的复习策略，如通过2025江苏常州二模函数图象题，运用分类讨论法突破分段函数值域问题，培养学生的数学思维和数学语言表达能力。特设“易错陷阱警示”和“规律方法总结”，帮助学生掌握换元法、配凑法等解题技巧，教师可据此精准指导，助力学生高效备战高考。

第1节　函数的概念及其表示 课标要求 1. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用. 3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 函数的概念及其表示 （1）函数的概念 高中总复习·数学 目 录 （2）函数的表示法： 、图象法和列表法； 解析法　 （3）同一个函数：如果两个函数的 相同，并且 ⁠ 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一 个函数. 提醒：两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函 数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 定义域　 对应关系　 高中总复习·数学 目 录 2. 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的 取值区间，有着不同 的 ，这样的函数叫做分段函数. 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段 定义域的并集，值域是各段值域的并集. 不同　 对应关系　 高中总复习·数学 目 录 3. 复合函数 对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表 示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的 ⁠ ，记作y＝f（g（x））. 提醒：函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值 范围. 复合 函数　 高中总复习·数学 目 录 1. 求函数的定义域时尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域 的变化. 2. 直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.　 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数. （　×　） （2）对于函数f：A→B，其值域是集合B. （　×　） （3）函数f（x）＝ 的定义域为R. （　√　） （4）若A＝R，B＝{x｜x＞0}，f：x→y＝｜x｜，其对应是从A到B的 函数. （　×　） × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·江苏常州金坛区二模）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜ －2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能 是（　　） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝ {y｜0≤y≤2}，可知A图象不满足函数的定义域；B图象不满足函数的定 义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象.故选C. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝ 则f（f（ ））＝（　　） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 √ 解析： 　f（ ）＝－ ＋1＝－4，所以f（f（ ））＝f（－4）＝4×16 －1＝63. 高中总复习·数学 目 录 4. 函数f（ ）＝ ，则函数f（x）的解析式为（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ （x≠0） C. f（x）＝ （x≠0，－1） D. f（x）＝ （x≠－1） √ 解析： 　令t＝ ，t≠0，－1.则有x＝ ，所以f（t）＝ ＝ ， t≠0，－1，所以f（x）＝ ，x≠0，－1. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值 域为 ⁠. 解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f （2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函数f（x）的值域 为{－1，1，3，5，7}. {－1，1，3，5，7}　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数的定义域（基础自学过关） 1. 函数f（x）＝ ＋（x－1）0的定义域为（　　） A. （ ，＋∞） B. ［ ，1）∪（1，＋∞） C. （ ，1）∪（1，＋∞） D. ［ ，＋∞） √ 解析： 　要使函数f（x）＝ ＋（x－1）0有意义，则 解得x＞ 且x≠1，因此，函数f（x）的定义域为（ ，1）∪（1，＋ ∞）.故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·山东烟台期中）若函数y＝f（2x）的定义域为{x｜x＜2}，则 函数y＝f（x－1）的定义域为（　　） A. {x｜0＜x＜4} B. {x｜x＜4} C. {x｜x＜5} D. {x｜1＜x＜5} √ 解析： 　由x＜2得2x＜4，又2x＞0，所以0＜2x＜4，所以f（x）的定义 域为{x｜0＜x＜4}，所以0＜x－1＜4，因此1＜x＜5，故函数y＝f（x－ 1）的定义域为{x｜1＜x＜5}.故选D. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝ 的定义域是R，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：由题得，ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成 立；当a≠0时，有Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.综上所述，实数a 的取值范围是（－12，0]. （－12，0]　 高中总复习·数学 目 录 1. 求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运 算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域 应使实际问题有意义. 2. 求复合函数定义域的方法 （1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的 定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出； （2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为 g（x）在x∈[a，b]上的值域. 高中总复习·数学 目 录 函数的解析式（师生共研过关） 求下列函数的解析式： （1）已知f（1－ sin x）＝ cos 2x，求f（x）的解析式； 解： （换元法）　设1－ sin x＝t，t∈[0，2]， 则 sin x＝1－t， ∵f（1－ sin x）＝ cos 2x＝1－ sin 2x， ∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2]. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f ＝x2＋ ，求f（x）的解析式； 解：（配凑法）　∵f ＝x2＋ ＝（x＋ ）2－2，∴f（x）＝x2－ 2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f （x）的解析式； 解：（待定系数法）　∵f（x）是一次函数，故可设f（x）＝ax＋b （a≠0）， 又3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17， ∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17， 即ax＋（5a＋b）＝2x＋17， ∴ 解得 ∴f（x）＝2x＋7. 高中总复习·数学 目 录 （4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式. 解：（解方程组法）　∵2f（x）＋f（－x）＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，　② 由①②解得f（x）＝3x. 高中总复习·数学 目 录 求函数解析式的4种方法 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）〔一题多解〕（2026·重庆江津中学月考）已知f（x2＋1）＝x4 －1，则函数f（x）的解析式为（　D　） A. f（x）＝x2－2x B. f（x）＝x2－1（x≥1） C. f（x）＝x2－2x＋2（x≥1） D. f（x）＝x2－2x（x≥1） 解析： 法一（换元法）　设x2＋1＝t≥1，则x2＝t－1，所以f（t）＝ （t－1）2－1＝t2－2t，所以f（x）＝x2－2x（x≥1）.故选D. 法二（配凑法）　f（x2＋1）＝x4－1＝（x2＋1）·（x2＋1－2），所以f （x）＝x（x－2）＝x2－2x（x≥1）.故选D. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f （x）＝ ⁠； 解析： 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（2x）＋f（x－1）＝ 10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2 ＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以 解 得 所以f（x）＝2x2－x＋1. 2x2－x＋1　 高中总复习·数学 目 录 （3）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1 时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝ ⁠ ⁠. 解析： 因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝ f（x＋1）＝ （x＋1）[1－（x＋1）]＝－ x（x＋1），故当－1≤x≤0时，f（x） ＝－ x（x＋1）. － x（x＋ 1）　 高中总复习·数学 目 录 分段函数（师生共研过关） （1）〔多选〕已知函数f（x）＝ 则下列结论正 确的是（　BC　） A. f（x）的定义域为R B. f（x）的值域为（－∞，4] C. 若f（x）＝2，则x的值是－ D. f（x）＜1的解集为（－1，＋∞） BC 高中总复习·数学 目 录 解析： 函数f（x）＝ 的定义域是[－2，＋∞），故 A错误；当－2≤x＜1时，f（x）＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f （x）＝－x＋2，值域为（－∞，1]，故f（x）的值域为（－∞，4]，故 B正确；当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f （x）＝x2＝2，解得x＝－ ，故C正确；当－2≤x＜1时，令f（x）＝ x2＜1，解得x∈（－1，1），当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＜1，解得 x∈（1，＋∞），故f（x）＜1的解集为（－1，1）∪（1，＋∞），故D 错误. 高中总复习·数学 目 录 解析：法一　当x≤－1时，x＋1≤0，2x≤－2，f（x＋1）＝1，f （2x）＝1，则f（2x）＞f（x＋1）不成立；当－1＜x≤0时，x＋1＞ 0，2x≤0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝1，由f（2x）＞f（x＋1）， 得3x＋1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x≤0矛盾，舍去；当x＞0时，x＋1 ＞1，2x＞0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝32x，由f（2x）＞f（x＋ 1），得32x＞3x＋1，则2x＞x＋1，得x＞1.综上，满足f（2x）＞f（x＋ 1）的x的取值范围是（1，＋∞）. （2）〔一题多解〕设函数f（x）＝ 则满足f（2x）＞f（x ＋1）的x的取值范围为 　 　 . （1，＋∞） 高中总复习·数学 目 录 法二　画出f（x）的大致图象，如图所示，若f（2x）＞f （x＋1），则2x＞0＞x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.　 高中总复习·数学 目 录 1. 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其 次选定相应的解析式代入求解. 2. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的 解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的 自变量的取值范围. 提醒：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）已知函数f（x）＝ 若f（a）＝4， 则实数a＝ ；若f（a）≥2，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠； 解析： 若f（a）＝4，则 或 解得a＝ －2或a＝5.若f（a）≥2，则 或 解得－ 3≤a＜－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1）∪[4，＋∞）. －2或5　 [－3，－ 1）∪[4，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝ 的值域为R，则实数m的取值范 围为 ⁠. 解析： 当x＜－2时，f（x）＝（ ）x∈（4，＋∞），由于函数f （x）的值域为R，所以当x≥－2时，f（x）＝mx＋2的值域应包含（－ ∞，4]，所以m＜0且f（－2）＝－2m＋2≥4，解得m≤－1. （－∞，－1]　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·安徽宿州多校联考）下列四个函数中，与y＝2x表示同一个函 数的是（　　） A. y＝2｜x｜ B. y＝ C. y＝ D. y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，y＝2｜x｜和y＝2x的对应关系不相同，不是同一个函 数，故A不正确；对于B，y＝ ＝2｜x｜和y＝2x的对应关系不相 同，不是同一个函数，故B不正确；对于C，函数y＝ 的定义域为{x｜ x≠0}，函数y＝2x的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故C不 正确；对于D，函数y＝ ＝2x的定义域和对应关系与y＝2x都相同， 是同一个函数，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·广东茂名一模）已知函数f（x）＝ 则f （－1）＋f（1）＝（　　） A. B. 3 C. D. √ 解析： 　因为f（x）＝ 所以f（1）＝log39＝2，f （－1）＝3－1＝ ，所以f（－1）＋f（1）＝ ＋2＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉 一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位 时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间 t变化的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意可知，当向游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱 柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长 得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水的高度匀速增 长，故符合条件的函数图象为选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·河南新乡名校模拟）已知函数f（x）＝ ＋ ，则函数f （x2）的定义域是（　　） A. （－∞，1）∪（1，2] B. [－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2] C. [－ ，1）∪（1， ] D. [－ ，－1）∪（－1，1）∪（1， ] √ 解析： 　由题知f（x2）＝ ＋ ，由2－x2≥0且x2－1≠0，得 － ≤x≤ 且x≠±1，所以函数f（x2）的定义域是[－ ，－1）∪ （－1，1）∪（1， ].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. （2025·江西上饶一模）设f（x）＝ 若f（m）＝f （m＋1），则m＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由题意可知m＞0，当0＜m＜1时，m＋1＞1，所以由f（m） ＝f（m＋1）得 ＝3m⇒m＝ ；当m≥1时，m＋1＞1，所以由f （m）＝f（m＋1）得3（m－1）＝3m，无解.综上，m＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（ ＋1）＝x＋2 ，则（　　） A. f（x）＝x2－1（x∈R） B. f（x）的最小值为－1 C. f（2x－3）的定义域为[2，＋∞） D. f（ ）的值域为[0，＋∞） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 依题意，f（ ＋1）＝（ ）2＋2 ＝（ ＋1）2－1， 则f（x）＝x2－1，x≥1，A错误；当x≥1时，f（x）≥0，当且仅当x＝ 1时取等号，B错误；在f（2x－3）中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f （2x－3）的定义域为[2，＋∞），C正确；f（ ）＝ －1，0＜x≤1， 于是 ∈[1，＋∞），因此f（ ）的值域为[0，＋∞），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 若函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）－f（－x）的 定义域为 ⁠. 解析：因为函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－ 4≤2x≤8，所以函数y＝f（x）的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f （x）－f（－x），则有 解得－4≤x≤4，因此，函数y ＝f（x）－f（－x）的定义域为[－4，4]. [－4，4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出： x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则f（g（1））的值为 ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值 是 ⁠. 1　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.当x＝1时，f（g （1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不满足f（g（x））＞g（f （x））；当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3） ＝1，满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝3时，f（g（3））＝f （1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不满足f（g（x））＞g（f （x）），∴当x＝2时，f（g（x））＞g（f（x））成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）求下列函数的解析式： （1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12； 解： 设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12， 可得 解得 或 所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（x）满足f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2）； 解： 令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝ ，∴f（t）＝（ ）2＋ 3× －1＝ ＋2t＋ ，∴f（x）＝ ＋2x＋ （－1＜x＜3）. （3）已知f（x）满足2f（x）＋f（ ）＝3x. 解： （方程组法）　由2f（x）＋f（ ）＝3x，　① 将x用 替换，得2f（ ）＋f（x）＝ ，　② 由①②解得f（x）＝2x－ （x≠0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 已知定义域为R的函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b） （a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝ ，则f（－2）＝（　　） A. 2 B. 4 √ C. D. 解析： 　令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f （0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f （1），∴f（－1）＝ ＝ ＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f （－1）]2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·山东潍坊模拟）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有 （　　） A. f（｜x｜）＝x3 B. f（ sin x）＝x2 C. f（x2＋2x）＝｜x｜ D. f（｜x｜）＝x2＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，当x＝1时，f（｜1｜）＝f（1）＝1；当x＝－1时，f （｜－1｜）＝f（1）＝－1，不符合函数定义，故A错误；对于B，令x＝ 0，则f（ sin x）＝f（0）＝0；令x＝π，则f（ sin π）＝f（0）＝π2，不 符合函数定义，故B错误；对于C，令x＝0，则f（0）＝0；令x＝－2，则 f（（－2）2＋2×（－2））＝f（0）＝2，不符合函数定义，故C错误；对 于D，f（｜x｜）＝x2＋1＝｜x｜2＋1，x∈R，｜x｜≥0，则存在x≥0 时，f（x）＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f（x）＝x2＋1 （x≥0）满足：对任意x∈R都有f（｜x｜）＝x2＋1，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则 （　　） A. f（f（3））＝1 B. 不等式f（x）≤1的解集为［2， ］ C. 函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2 D. f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜ （x∈[0，4]） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段， 经过点（0，3）和（3，0），则其方程为f（x）＝3－x（0≤x≤3），在 区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3），设f（x） ＝kx＋b，x∈[3，4]，则 解得 所以其方程为f （x）＝3x－9（3≤x≤4），综合可得f（x）＝ 对于A，f（3）＝0，则f（f（3））＝f（0）＝3，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 对于B，若f（x）≤1，则有 或 解得 2≤x≤3或3＜x≤ ，即不等式的解集为［2， ］，故B正确；对于C， 在区间[2，3]上，f（x）＝3－x单调递减，其最大值为f（2）＝1，故C 错误；对于D，f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）＝ 故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 定义max{a，b}＝ 设函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x ＋1）2，记函数F（x）＝max{f（x），g（x）}，且函数F（x）在区 间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为 ⁠. 解析：令f（x）≥g（x），即x＋1≥（x＋1）2，解得－ 1≤x≤0；令f（x）＜g（x），即x＋1＜（x＋1）2，解 得x＜－1或x＞0，所以F（x）＝max{f（x），g（x）} ＝ F（x）的图象如图所示，又F （0）＝F（－2）＝1，F（－1）＝0，要使函数F（x）在区间[m，n]内的值域为[0，1]，当n＝0时，－2≤m≤－1；当m＝－2时，－1≤n≤0，则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（1）已知函数f（x）＝ 若f（f（a））＝ 2，求a的值； 解： 令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2； 当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝ 若a[f（a）－f（－a）]＞0， 求实数a的取值范围； 解： 由题意知，a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞ 0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2； 当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a ＜－2. 综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解： 令t＝a－1，则a＝t＋1，原不等式转化为（t＋1）·f（t）≥0， ①当t＝－1或0时显然成立； ②由 解得t≤－2； ③由 解得－1＜t＜0或t≥2. 综上，t∈（－∞，－2]∪[－1，0]∪[2，＋∞），则实数a的取值范围为 （－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞）. （3）已知函数f（x）＝ 若af（a－1）≥0，求实数a 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新定义〕〔多选〕函数D（x）＝ 称为狄利克雷函 数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（　　） A. D（D（2））＝D（D（ ）） B. D（x）的值域与函数f（x）＝ 的值域相同 C. D（x）≠D（－x） D. 对任意实数x，都有D（x＋1）＝D（x） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，根据狄利克雷函数的定义可知D（D（2））＝D （1）＝1，D（D（ ））＝D（0）＝1，所以A正确；对于B，易知D （x）的值域为{0，1}，函数f（x）＝ 的定义域为（－∞，0） ∪（0，＋∞），当x∈（－∞，0）时，f（x）＝ ＝0；当x∈ （0，＋∞）时，f（x）＝ ＝1，即函数f（x）＝ 的值 域为{0，1}，所以B正确；对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D（x）＝D （－x）＝1，若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D（x）＝D（－x）＝0，综 上可得D（x）＝D（－x），所以C错误；对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D（x＋1）＝D（x）＝1；当x∈∁RQ时，x＋1∈∁RQ，此时D（x＋1）＝D（x）＝0，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $