2.2 函数的单调性与最值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的单调性与最值专题，依据高考评价体系梳理了定义理解、单调区间求法、单调性应用及最值求解四大考查维度，通过真题分析明确单调性应用（求参数范围）等高频考点，归纳出判断证明、区间求解等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法归纳+素养提升”策略，结合2024年新高考Ⅰ卷真题，用定义法、导数法突破单调性判断，培养数学思维与运算能力。通过换元法解最值等典型题解析，助学生掌握技巧，教师可据此系统教学，提升备考效率。

第二节　函数的单调性与最值 1 知识清单 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 定义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 返回导航 2 图象 描述 自左向右看图象是________的 自左向右看图象是________的 上升 下降 返回导航 3 剖析　增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征： 一是任意性； 二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)； 三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． 返回导航 4 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 剖析　单调区间是函数定义域的子集．函数的单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． 若一个函数有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 单调递增 单调递减 返回导航 5 (3)复合函数的单调性 简记为：同增异减． u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 返回导航 6 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． (2)f(x)与－f(x)的单调性相反． (3)当a>0时，af(x)与f(x)的单调性________；当a<0时，af(x)与f(x)的单调性________． (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 相同 相反 返回导航 7 (5)若f(x)恒为正值或负值，则当a>0时，f(x)与具有________的单调性；当a<0时，f(x)与具有________的单调性． (6)f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)： 简记为：①＋＝；② ＋ ＝； ③ －＝ ；④  －＝. 相反 相同 返回导航 8 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈D，都有________； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈D，都有________； (4)存在x0∈D，使得f(x0)＝m 结论 M为最大值 m为最小值 f(x)≤M f(x)≥m 返回导航 9 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)单调递增．(　　) (3)已知函数y＝f(x)在R上单调递增，则函数y＝f(－x)在R上单调递减．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) × × √ × 返回导航 10 2．(人教A版必修一P79T3改编)函数f(x)＝－的单调递增区间为________． 答案：(－∞，0)，(0，＋∞) 解析：函数f(x)＝－属于反比例函数，由其图象易知单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 返回导航 11 3．(人教A版必修一P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________． 答案：　2 解析：因为函数f(x)＝在[2，6]上单调递减，所以当x＝6时，函数取最小值；当x＝2时，函数取最大值2. 返回导航 12 4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________． 答案：－3 解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. 返回导航 13 【常用结论】 函数单调性的等价定义 设任意x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减． 返回导航 14 命题点一　函数的单调性 考向1　函数单调性的判断或证明 例1 (1)下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝x2－4x＋1在(1，＋∞)上单调递增 B．f(x)＝|x＋3|在(－∞，－3)上单调递增 C．f(x)＝在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减 D．f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递减 答案：C　 返回导航 15 解析：f(x)＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，故f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，A错误；当x∈(－∞，－3)时，f(x)＝－x－3，单调递减，B错误；f(x)＝的图象是由y＝的图象向右平移2个单位长度得到的，故f(x)在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，C正确；因为y＝x和y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，由单调递增＋单调递增＝单调递增，D错误．故选C. 返回导航 16 (2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 答案：方法一　设－1<x1<x2<1，f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回导航 17 方法二　f′(x)＝＝. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回导航 18 学霸笔记：(1)判断函数单调性的方法 ①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法． (2)证明函数单调性的方法 ①定义法；②导数法． 返回导航 19 跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P86T8) (1)根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． 答案：证明：∀x1，x2∈[3，＋∞)且x1<x2， 则y1－y2＝x1＋－＝(x1－x2)＋＝， ∵x1，x2∈[3，＋∞)，∴x1x2>0，x1x2>9. 又∵x1<x2，∴x1－x2<0，∴y1－y2<0，即y1<y2. ∴y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． 返回导航 20 (2)讨论函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的单调性． 答案：∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， y1－y2＝x1＋－＝. ①当x1，x2∈(0，3]时，x1x2>0，x1x2－9<0，又x1－x2<0， ∴y1－y2>0，即y1>y2，∴y＝x＋在(0，3]上单调递减． ②当x1，x2∈(3，＋∞)时，x1x2>0，x1x2－9>0，又x1－x2<0， ∴y1－y2<0，即y1<y2，∴y＝x＋在(3，＋∞)上单调递增． 返回导航 21 (3)讨论函数y＝x＋(k>0)在区间(0，＋∞)上的单调性． 答案：∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1<x2， 则y1－y2＝－＝. ①当x1，x2∈时，x1x2>0，x1x2－k<0，又x1－x2<0，∴y1－y2>0，即y1>y2，∴y＝x＋(k>0)在上单调递减． ②当x1，x2∈时，x1x2>0，x1x2－k>0，又x1－x2<0，∴y1－y2<0，即y1<y2，∴y＝x＋(k>0)在上单调递增． 返回导航 22 考向2　求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 答案：∵f(x)＝其图象如图所示，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． 返回导航 23 (2)f(x)＝. 答案：函数f(x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得f(x)定义域为[－1，3]， 由二次函数的图象可知函数y＝3＋2x－x2的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为[1，3]， 所以函数f(x)＝的单调递增区间为[－1，1]，单调递减区间为[1，3]. 返回导航 24 学霸笔记： (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法． 返回导航 25 跟踪训练　(1)函数f(x)＝的单调区间为________________． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为________________． 答案：(1)单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递减区间　 (2)(－1，2)和(5，＋∞) 返回导航 26 解析：(1)f(x)＝＝＝1+，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)． (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为(－1，2)和(5，＋∞)． 返回导航 27 命题点二　函数单调性的应用 考向1　比较函数值的大小 例3 (2026·沧州模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，且函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增．设a＝f()，b＝f(－4)，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<b<c 答案：D 返回导航 28 解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x)＝f(－4－x)．所以a＝f＝f＝c＝f(－1)＝f(－4＋1)＝f(－3)．又因为函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且－<－4<－3<－2，所以<f(－4)<f(－3)，即a<b<c.故选D. 返回导航 29 学霸笔记：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较． 返回导航 30 跟踪训练　(衔接·北师大版必修一P65A组T3改编)已知函数f(x)在R上单调递减，a，b∈R，且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 答案：D 解析：因为a，b∈R，且a＋b<0，则a<－b，由函数f(x)在R上单调递减，则f(a)>f(－b)，同理b<－a，有f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选D. 返回导航 31 考向2　解不等式 例4 已知函数f(x)＝2x＋sin x，若f(ln a)<f(2)，则a的取值范围为(　　) A．(0，e2) B．(0，e) C．(e2，＋∞) D．(2，＋∞) 答案：A 解析：函数f(x)＝2x＋sin x的定义域为R，因为f′(x)＝2＋cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，若f(ln a)<f(2)，则⇒0<a<e2，即a的取值范围为(0，e2)．故选A. 返回导航 32 学霸笔记：求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 返回导航 33 跟踪训练　函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．() B．[) C．() D．[) 答案：D 解析：由题意知函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则由f(2x－1)<f，得0≤2x－1<，解得≤x<，即x∈. 返回导航 34 考向3　求参数的取值范围 例5 (链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 答案：B 返回导航 35 解析：当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝＋a2－a，若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B. 返回导航 36 　真题探源　(源自北师大版必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上单调递减，求实数a的取值范围． 答案：根据题意，函数f(x)＝在定义域R上单调递减， 则有解得0≤a≤，故a的取值范围为. 返回导航 37 学霸笔记：利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 返回导航 38 命题点三　函数的最值 例6 (1)函数f(x)＝x－＋1在[1，4]上的值域为(　　) A．[1，] B．[0，1] C．[0，] D．[] (2)函数f(x)＝2x2－的最小值为________． C －1 返回导航 39 解析：(1)由y=f(x)的x在[1，4]上单调递增，且在[1，4]上单调递减， 根据单调性的性质可得f(x)＝x－＋1在[1，4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝，∴f(x)值域为.故选C. (2)设t＝(t≥1)，则f(t)＝2t2－t－2在[1，＋∞)上单调递增， 所以函数的最小值为f(1)＝－1. 返回导航 40 学霸笔记：求函数最值的四种基本方法 (1)单调性：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)基本不等式：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (3)换元法：将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． (4)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． 返回导航 41 跟踪训练　(1)函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　) A． B．5，2 C．2，1 D．1， (2)函数f(x)＝的值域为________． 答案：A　 答案：(－∞，2] 返回导航 42 解析：(1)∵y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，且y>1，∴f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，∴函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)＝，f(2)＝. 返回导航 43 (2)方法一　图象法 作出函数f(x)＝的图象(如图所示)，由函数图象可知，f(x)max＝f(0)＝2，∴f(x)的值域为(－∞，2]. 返回导航 44 方法二　单调性 当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，∴f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在(－∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，∴函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.∴f(x)的值域为(－∞，2]. 返回导航 45 1．(2026·龙岩模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4 C．f(x)＝2x D．f(x)＝ 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：由“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”，得函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，对于A，f(x)＝在(0，+∞)上不单调递增，A不满足；对于B，函数4x＋4在(0，2)上单调递减，B不满足；对于C，函数f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，C满足；对于D，函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，D不满足．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A． B．－ C．－2 D．2 答案：A 解析：易知f(x)＝－x＋在上单调递减，故其最大值为f(－2)＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 3．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(　　) A．f(3)<f(π)<f(2) B．f(π)<f(3)<f(2) C．f(2)<f(π)<f(3) D．f(π)<f(2)<f(3) 答案：B 解析：因为∀x1，x2∈R，x1<x2，则x1－x2<0，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2)．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)<f(3)的实数x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)<f(3)，所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 5．“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增”是“k>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增，等价于k－1>0，即k>1，所以“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增”是“k>2”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 6．函数f(x)＝3x－10＋的值域为(　　) A．[5，＋∞) B．[6，＋∞) C．[7，＋∞) D．[10，＋∞) 答案：A 解析：由x－5≥0得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞)．因为y＝3x－10与y＝在[5，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在[5，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(5)＝5，即函数f(x)的值域为[5，＋∞)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 7．若函数y＝x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 答案：B 解析：当k>0时，y＝x－在(1，＋∞)上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k<0时，y＝x＋，由对勾函数的性质知，若满足题意，则≤1，解得－1≤k<0.综上，k≥－1.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 8．如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递减，且函数y＝在区间I上是单调递增，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　) A．和 B． C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2，所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上单调递减，又当x≤2且x≠0时，－4，令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)，则g(x)在和上单调递增，故f(x)的“可变区间”I为和. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 9．下列说法正确的是(　　) A．若y＝f(x)在区间I上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则y＝f(x)在I上单调递减 B．函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增 C．函数f(x)＝－在定义域内单调递增 D．函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：对于A，由题意，任意取x1，x2∈I，若x1>x2，则f(x1)<f(x2)，由函数单调性可知y＝f(x)在I上单调递减，故A正确；对于B，因为函数f(x)＝x2的图象是以直线x＝0为对称轴，开口向上的抛物线，故函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为函数f(x)＝－的图象为双曲线，在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递增，但不能说f(x)在定义域内单调递增，故C错误；对于D，因为函数f(x)＝的图象为双曲线，在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，故D错误．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 10．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：f(x)＝－x2＋2|x|＋1＝ 作出函数f(x)的图象如图． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故AB正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 11．能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若fmin(x)＝f(2)，则f(x)单调递减”为假命题的一个函数为________． 答案：f(x)＝－2(答案不唯一) 解析：函数f(x)＝－2在上单调递增，在上单调递减，图象连续不断，f(0)＝－，f(2)＝所以函数f(x)＝－2在区间 [0，2]上是一条连续不断的曲线，在x＝2处取得最小值f(2)，但在[0，2]上不单调． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 12．函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是________. 答案：(－∞，0]，[1，2] 解析： y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，据此可得函数f(x)＝|x(x－2)|的图象，如图所示． 由图象可知函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是(－∞，0]，[1，2]. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 13．(13分)已知函数f(x)＝. (1)函数单调性的定义证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增； 答案：证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为x1，x2∈(－1，＋∞)，x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 (2)求函数f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值． 答案：由(1)知f(x)在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝－，f(x)max＝f(4)＝1， 所以函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为1，最小值为－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 14．(15分)已知函数f(x)＝ (1)若a>0，求f(x)的值域； 答案：因为f(x)＝且a>0， 可知f(x)＝2ax＋3在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤f(1)＝2a＋3， 所以f(x)在(－∞，1]上的值域为(－∞，2a＋3]； 且f(x)＝ax2＋x在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(1)＝a＋1， 所以f(x)在(1，＋∞)上的值域为(a＋1，＋∞)； 注意到2a＋3＝(a＋1)＋(a＋2)>a＋1， 所以f(x)在R上的值域为R. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 (2)若f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围． 答案：若f(x)＝在R上单调递减， 则解得－2≤a≤－， 所以实数a的取值范围为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 15．(5分)函数f(x)＝的最小值为(　　) A．0 B．4 C． D．2 答案：D 解析：根据题意，函数f(x)的定义域为[4，＋∞)，且由于y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，y＝在区间[4，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(4)＝2.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 68 16．(5分)已知函数f(x)＝若f(2t2－1)>f(t＋2)，则实数t的取值范围为________. 答案： 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 69 解析：作出函数f(x)＝的图象如图所示． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 70 由图可知，f(x)在R上单调递减．因为f(2t2－1)>f(t＋2)，所以2t2－1<t＋2，即，所以实数t的取值范围为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 71 $