2.6 指数与指数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数与指数函数，依据课标要求梳理指数幂运算、指数函数图象及性质应用等核心考点，结合近五年高考真题分析“单调性应用”“比较大小”等高频考点权重，归纳化简求值、图象辨析等常考题型，对接高考评价体系，备考针对性强。 课件亮点在于高考真题实战与解题技巧指导，如2023天津高考比较大小题，通过“同底数单调性+中间量0/1”法培养数学思维，解析指数型函数奇偶性与单调性综合题，帮助学生掌握得分技巧，提升应试能力，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

第6节　指数与指数函数 课标要求 1. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算 性质. 2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3. 理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根； ②式子 叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（ ）n＝ .当n为奇数时， ＝ ；当n为偶数时， ＝｜a｜＝ x　 根式　 a　 a　 高中总复习·数学 目 录 （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂： ＝ 　 　 a＞0，m，n∈N*， n＞1 负分数指数幂： ＝ ＝ 　 　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂 没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r， s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 　 　 高中总复习·数学 目 录 2. 指数函数的概念 函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R，a是底数. 提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做 指数型函数，不是指数函数. ax　 3. 指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 高中总复习·数学 目 录 底数 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域为 ，值域为 ⁠ 图象过定点 ⁠ 当x＞0时，恒有y＞1；当x ＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜ 0时，恒有y＞1 ⁠函数 ⁠函数 提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关， 应分a＞1与0＜a＜1来研究. R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 增　 减　 高中总复习·数学 目 录 1. 函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2. 作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点： （1，a），（0，1），（－1， ）. 3. 底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的 高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限 内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝－4. （　×　） （2）分数指数幂 可以理解为 个a相乘. （　×　） （3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数. （　√　） （4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）. （　×　） （5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n. （　×　） × × √ × × 高中总复习·数学 目 录 2. 若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（－ ）＝ （　　） A. ± B. ±3 C. D. 3 √ 解析： 　因为f（2）＝a2＝81，又a＞0，所以a＝9，从而f（x）＝ 9x，f（－ ）＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 3. 下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A. ＝－ B. （ ＝36 C. 若m8＝2，则m＝ D. ＝2－π √ 解析： 　对于A， ＝ ＝ ，故A错误；对于B，（ ＝ ＝62＝36，故B正确；对于C，m8＝2，故m＝± ，故C错误；对 于D， ＝｜2－π｜＝π－2，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分 图象如图所示，则（　　） A. 0＜b＜a＜1 B. 0＜a＜b＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 √ 解析： 　画出函数y＝ax与y＝bx在第一象限内的图象（图略），可知1 ＜a＜b. 高中总复习·数学 目 录 5. 若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝ ⁠. 解析：若a＞1，则f（x）max＝f（1）＝a＝2；若0＜a＜1，则f（x）max ＝f（－1）＝a－1＝2，得a＝ . 2或 　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 指数幂的运算（基础自学过关） 1. 已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　） A. B. － C. 1 D. －1 √ 解析： 　由9b＝36，得3b＝6，而3a＝2，则3a－b＝ ＝ ＝3－1，所以a －b＝－1.故选D. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知ab＝－5，则a ＋b ＝（　　） A. 2 B. 0 C. －2 D. ±2 解析： 　由题意知ab＜0，a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ＝a ＋b ，由于ab＜0，故 ＝－ ，则原式 ＝0. √ 高中总复习·数学 目 录 3. 〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A. a2＋a－2＝7 B. － ＝±1 C. ＋ ＝± D. ＋ ＝2 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9， 所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为（ － ）2＝a－2＋a－1＝3－2＝ 1， ， 的大小不确定，所以 － ＝±1，故B正确；因为（ ＋ ）2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5， ＞0， ＞0，所以 ＋ ＝ ， 故C错误；由立方和公式，可得 ＋ ＝（ ）3＋（ ）3＝（ ＋ ）（a－1＋a－1）＝ ×（3－1）＝2 ，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 4. 化简与求值： （1）（ －（2 ）0.5＋（0.027 ； 解： 原式＝（ －（ ＋（0.3 ＝ － ＋0.09＝－ 0.16. （2） （a＞0，b＞0）； 解：原式＝ ＝ · ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （3）（ ×（－ ）0＋ × － ； 解：原式＝（ ×1＋ × －（ ＝2. 高中总复习·数学 目 录 解： ∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0. ∵n＞1，n∈N*，∴当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a； 当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b） ＝－2a. ∴ ＋ ＝ （4） ＋ （a＜b＜0，n＞1，n∈N*）. 高中总复习·数学 目 录 指数幂的运算 高中总复习·数学 目 录 指数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列 结论正确的是（　D　） D A. a＞1，b＜0 B. a＞1，b＞0 C. 0＜a＜1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0 解析： 由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减 函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向 左平移得到的，所以b＜0. 高中总复习·数学 目 录 （2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值 范围是 ⁠. 解析： 函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向 下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一 条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）. （0，1）　 高中总复习·数学 目 录 1. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入 手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不 确定时应注意分类讨论. 2. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形 结合求解. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　C　） 解析： 因为y＝e－｜x｜＝ 所以函数图象关于y轴对 称，且过点（0，1），y＝e－｜x｜＞0，函数在（－∞，0）上单调递增， 在（0，＋∞）上单调递减，故C符合.故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b， 下列关系式中可能成立的是（　ABD　） A. 0＜b＜a B. a＜b＜0 C. b＜a＜0 D. a＝b 解析： 作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如 图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项 正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项 正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项 正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D. ABD 高中总复习·数学 目 录 指数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较指数式的大小 （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则 a，b，c的大小关系为（　　） A. c＞a＞b B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c √ 解析： 　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞ 1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞ 0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D. 高中总复习·数学 目 录 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 高中总复习·数学 目 录 考向2　解简单的指数方程或不等式 （1）已知不等式 ≤（ ）x－2的解集为A，则A＝ ⁠ ⁠； 解析： ∵（ ）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴ ≤2－2x＋4，即x2 ＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. [－3， 1]　 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零 点为 ⁠. 解析： 依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f （x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数 化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t ＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2. 2 高中总复习·数学 目 录 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g （x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a ＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂， 再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝ ，记a ＝f（ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则（　A　） A. b＞c＞a B. b＞a＞c C. c＞b＞a D. c＞a＞b A 高中总复习·数学 目 录 解析： 函数f（x）＝ 是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合 而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1） 上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可 知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f （x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ ）＝f（2－ ），又 ＜2－ ＜ ＜1，所以f（ ）＜f（2－ ）＜f（ ），所以b＞c＞ a，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2， 则p是q的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： ∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p： {x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1 与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1 ＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜ 0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p是q的必要 不充分条件. B 高中总复习·数学 目 录 指数型函数性质的综合应用（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P161复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－ （a∈R）， （1）探索函数f（x）的单调性； 解： 法一（直接判断法）　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，又2x＋1 ＞0，所以y1＝ 在R上是减函数，所以y2＝－ 在R上是增函数，所 以函数f（x）＝a－ 在R上单调递增. 高中总复习·数学 目 录 法二（定义法）　f（x）＝a－ （a∈R）的定义域为R，设x1， x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝ .因为x1＜x2， 所以 ＜ ，即 － ＜0.又 ＋1＞0， ＋1＞0，所以f （x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增. 高中总复习·数学 目 录 （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ 解：法一（定义法）　因为f（x）＝a－ （a∈R）的定义域为R，要 使f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）在R上恒成立，即a－ ＝－a＋ ，所以2a＝ ＋ ＝2，所以a＝1，所以存在实数a＝ 1，使函数f（x）为奇函数. 法二（特殊值法）　由于f（x）是奇函数，且定义域为R，故f（0）＝a － ＝0，解得a＝1，则f（x）＝1－ ，经验证符合题意，故存在 实数a＝1，使函数f（x）为奇函数. 高中总复习·数学 目 录 细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进 行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝ 是单调的奇函数. 高中总复习·数学 目 录 变式1 若f（x）＝ 是奇函数，则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. ±1 √ 解析： 　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即 ＋ ＝0，解得a＝±1. 高中总复习·数学 目 录 变式2 已知函数f（x）＝a－ 是R上的奇函数，则f（x）的值域 为 ⁠. 解析：易知a＝1，则f（x）＝1－ ，因为2x＋1＞1，所以0＜ ＜ 2，则－1＜1－ ＜1，即f（x）的值域为（－1，1）. （－1，1）　 高中总复习·数学 目 录 变式3 已知函数f（x）＝ ，且满足f（m2）＋f（m－2）＞0，则实数 m的取值范围是 ⁠. 解析：因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝ ＝ ＝－f（x）， 所以f（x）为奇函数.因为f（x）＝ ＝1－ ，所以f（x）为R 上的增函数.因为f（m2）＋f（m－2）＞0，所以f（m2）＞－f（m－ 2）＝f（2－m），所以m2＞2－m，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m ＞1，所以实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. （－∞，－2）∪（1，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性 质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0， 1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　） A. （－∞，－2] B. [－2，0） C. （0，2] D. [2，＋∞） D √ 解析： 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－ a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－ a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞， ）上单 调递减，所以 ≥1，即a≥2.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·山东临沂模拟）已知函数f（x）＝ ＋a （a∈R），则（　ACD　） A. f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B. f（x）的值域为R C. 当a＝1时，f（x）为奇函数 D. 当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2 ACD 高中总复习·数学 目 录 解析：对于函数f（x）＝ ＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0， 所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；当x＞0 时，2x＞1，2x－1＞0， ＞0，所以 ＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜ 1，－1＜2x－1＜0， ＜－2，所以 ＋a＜－2＋a，综上可得，f （x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时，f（x）＝ ＋1＝ ，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）＝ ＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f（x）＝ ＋2＝ ＋1，则f（x）＋f（－x）＝ ＋1＋ ＋1＝2，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 （3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范 围是 ⁠. 解析：显然f（x）为奇函数且单调递增，则f（a－1）＋f（2a2）≤0等 价于f（a－1）≤f（－2a2），即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤ ，故a 的取值范围为［－1， ］. ［－1， ］　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若 ＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. [2，4）∪（4，＋∞） C. （－∞，2）∪（2，＋∞） D. （－∞，4）∪（4，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a≥2且a≠4.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知a＝31.2，b＝1.20，c＝（ ）－0.9，则a，b，c的大小关系是 （　　） A. a＜c＜b B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜c＜a √ 解析： 　因为b＝1.20＝1，c＝（ ）－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数， 1.2＞0.9＞0，所以31.2＞30.9＞30＝1，即a＞c＞b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 设函数f（x）＝ 则使得f（x）≤2成立的x的取值范围 为（　　） A. （－∞，－4] B. （－∞，－2] C. （－∞，2] D. （－∞，4] √ 解析： 　当x＜1时，由2x－1≤2，得x＜1；当x≥1时，由 ≤2，得 1≤x≤4.所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（－∞，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·广东佛山二模）已知函数f（x）＝ （a∈R），命题p：f （x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　若f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），即 ＝ ＝ 恒成立，所以a＝1，则f（x）＝ ＝1＋ ，y＝2x－ 1在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，充 分性成立；若f（x）＝ ＝1＋ 在（0，＋∞）上单调递减，又y ＝2x－1在（0，＋∞）上单调递增，所以1＋a＞0，故a＞－1，此时不一 定有a＝1，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕下列各式正确的是（　　） A. （ ）7＝n7 B. （ ＝16 C. 2a3 ·（－5 ）÷（4 ）＝－ D. ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，（ ）7＝n7m－7，A不正确；对于B，由 （ ＝（ ＝ ＝24＝16，B正确；对于C， 原式＝[2×（－5）÷4] ＝－ ，C正确；对于D， ＝[a2·（a· ＝[a2·（ ＝（a2· ＝（ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不 经过第三象限，则a，b的取值范围可能为（　　） A. 0＜a＜1，b＜0 B. 0＜a＜1，0＜b≤1 C. a＞1，b＜0 D. a＞1，0＜b≤1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝ ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单 位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确； 若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不 经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，故C正确，D错 误. 　　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函 数f（x）＝ ⁠. 解析：f（x）＝1－ ，理由如下：∵y＝ 为R上的减函数，且 ＞0，∴f（x）＝1－ 为R上的增函数，且f（x）＝1－ ＜ 1，∴f（x）＝1－ 符合题意. 1－ （答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. （2025·广东韶关一模）当0＜x＜ 时，方程ax＝ （a＞0且a≠1）有 解，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：依题意，当x∈（0， ）时，y＝ax与y＝ 有交 点，作出y＝ ，x∈（0， ）的图象，如图，所以 解得a＞4. （4，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知函数f（x）＝（ . （1）若a＝－1，求f（x）的单调区间； 解： 当a＝－1时，f（x）＝（ ， 令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7. 则u＝－（x＋2）2＋7在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上 单调递减， 而y＝（ ）u在R上单调递减， 所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增， 即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－ ∞，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）有最大值3，求实数a的值. 解： 令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（ ）h（x），因为f （x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·安徽江淮十校联考）已知x，y∈R，且9x＋（x－2）·3x＝1， 9y－1＋y·3y＝9，则x＋y＝（　　） A. 1 B. 2 √ C. 3 D. 4 解析： 　因为9x＋（x－2）·3x＝1，两边同除以3x，得3x＋x－2＝3－ x，即3x－3－x＋x－2＝0　①，因为9y－1＋y·3y＝9，两边同除以3y，得3y －2＋y＝32－y，即32－y－3y－2－y＝0，整理得32－y－3y－2＋（2－y）－2＝ 0　②，由①②可构造函数f（x）＝3x－3－x＋x－2，显然该函数是R上的 增函数，于是根据①②知f（x）＝f（2－y），所以x＝2－y，因此x＋y ＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 已知函数f（x）＝ ＋x3，且f（m）＋f（m＋1）＞1，则实数m 的取值范围为（　　） A. （－ ，＋∞） B. （1，＋∞） C. （1，2） D. （ ，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　看见 联想到构造 ，因为f（0）＝ ，所以考虑f（x） － ＝ · ＋x3，令g（x）＝f（x）－ ，可知函数g（x）为奇函数 且单调递增，则f（m）＋f（m＋1）＞1⇔f（m）－ ＋f（m＋1）－ ＞0⇔g（m）＋g（m＋1）＞0，由奇函数性质可得g（m）＞g（－1－ m），因为g（x）单调递增，所以m＞－1－m，解得m＞－ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝m－ 是定义域为R的奇函数，则下列 说法正确的是（　　） A. m＝ B. 函数f（x）在R上的最大值为 C. 函数f（x）是减函数 D. 存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为函数f（x）＝m－ 是定义域为R的奇函数，所以f （0）＝m－ ＝0，解得m＝ ，故A正确；又f（x）＝ － ＝ － ＝ － ，因为ex＞0，所以ex＋1＞1，则0＜ ＜1，所以－ ＜f（x）＜ ，即f（x）∈（－ ， ），故B错误；因为y＝ex是增函 数，y＝ex＞0，且y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）＝ － 是减函数，故C正确；因为f（x）是减函数，所以y＝f（x）与y＝n 最多有1个交点，故f（x）－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n， 使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m， n），f（x）＝（ ）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f （x），则g（x）的值域为 .　　 解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝ （a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x） ＝（ ）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋ 2x，所以 得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y ＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为 [2，6]. [2，6]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江苏常州调研）已知定义域为R的函数f（x）＝ 是奇函数. （1）求a，b的值； 解： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即 ＝0，所以a＝1， 又因为f（－x）＝－f（x），所以 ＝－ ，将a＝1代入，整理 得 ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即（b－1）·（2x－1）＝0， 又因为当x≠0时，2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，求k的取 值范围. 解：由（1）知，函数f（x）＝ ＝ ＝－1＋ ， 因为y＝1＋2x为R上的增函数，且1＋2x＞0，则函数f（x）在R上是减 函数. 因为存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立， 所以不等式可转化为f（k＋t2）＜f（2t2－4t）， 所以k＋t2＞2t2－4t，所以k＞t2－4t， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 令g（t）＝t2－4t＝（t－2）2－4，t∈[0，4]， 故问题等价转化为k＞g（t）min，又因为g（t）min＝g（2）＝－4，所 以k＞－4， 故k的取值范围为（－4，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新交汇〕（2026·江苏徐州模拟）正实数m，n满足e1－2m＋2－2m ＝en－1＋n，则 ＋ 的最小值为 　 　. 解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋（1－2m）＝en－1＋（n－ 1），令f（x）＝ex＋x，则原等式为f（1－2m）＝f（n－1），显然函 数f（x）为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m＞0，n＞ 0，因此 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即m＝n＝ 时取等号，所以当m＝n＝ 时， ＋ 取得最小值 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $