3.2.2二次根式的除法 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式除法，涵盖法则及逆用、带系数运算、分母有理化等核心知识点。课堂通过计算具体根式除法实例引导观察规律，类比乘法法则构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于探究证明环节培养抽象能力，典例精析通过多解法提升推理能力和运算能力，如电视塔传播半径问题强化模型意识。采用“观察-探究-应用”教学法，课堂小结梳理知识流程，学生能深化理解，教师可提高教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 3.2.2二次根式的除法 第3章 二次根式 湘教版数学八年级下册3.2.2 二次根式的除法同步练习题 一、核心知识点精讲 1. 二次根式除法法则（核心公式） $$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\geq0,b>0)$$ 文字表述：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 取值前提：被开方数 $$a\geq0$$，分母根式 $$\sqrt{b}$$ 有意义且不为0，故 $$b>0$$。 2. 除法法则逆用（化简核心） $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ (a\geq0,b>0)$$ 作用：将分式型被开方数拆分，实现分子、分母分开开方，是化简含分数根式的核心依据。 3. 带系数二次根式除法法则 $$\dfrac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\geq0,b>0,n eq0)$$ 运算规则：系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，最后化简为最简二次根式。 4. 分母有理化（本节重难点） 目的：消除分母中的二次根式，使结果符合最简二次根式要求。 ① 单项分母有理化：$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$$ ② 二次根式运算最终结果：分母不含根式，被开方数不含分母、不含可开方因式。 5. 标准解题步骤 ① 定范围：保证被开方数非负、分母不为0； ② 分开除：系数相除、根式相除； ③ 用法则：统一转化为商的算术平方根； ④ 有理化：处理分母根式，彻底化简为最简二次根式。 6. 重要易错结论 ① 根式无减法、除法拆分：$$\sqrt{a-b} eq\sqrt{a}-\sqrt{b}$$，$$\sqrt{\dfrac{a}{b}} eq\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$（不满足取值范围时不成立）； ② 除法结果必须分母无根号，严禁保留分母含根式的结果； ③ 区分 $$b\geq0$$ 和 $$b>0$$，除数根式不能为0。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 计算 $$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$ 的结果是（） A. 2 B. 3 C. 4 D.$$\sqrt{4}$$ 2. 下列计算正确的是（） A. $$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$$ B. $$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4}{9}$$ C. $$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=3$$ D. $$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\dfrac{-2}{-3}$$ 3. 式子 $$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}$$ 成立的x取值范围是（） A. $$x\geq0$$ B. $$x>2$$ C. $$x\geq2$$ D. 全体实数 4. 化简 $$\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$ 的结果是（） A. $$2\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{3}$$ C. $$3\sqrt{2}$$ D. $$2\sqrt{12}$$ 5. 分母有理化 $$\dfrac{1}{\sqrt{5}}$$ 的结果是（） A. $$\sqrt{5}$$ B. $$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$ C. $$\dfrac{1}{5}$$ D. $$\dfrac{5}{\sqrt{5}}$$ 6. 计算 $$\sqrt{\dfrac{2}{3}}\div\sqrt{\dfrac{1}{6}}$$ 的结果是（） A. 2 B. $$2\sqrt{2}$$ C. 4 D.$$\sqrt{2}$$ 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 计算：$$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$$________。 8. 化简：$$\sqrt{\dfrac{16}{25}}=$$________。 9. 计算：$$\dfrac{4\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=$$________。 10. 分母有理化：$$\dfrac{2}{\sqrt{3}}=$$________。 11. 化简：$$\sqrt{\dfrac{8}{9}}=$$________。 12. 若 $$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}$$，则 $$x=$$________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础根式除法计算： （1）$$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$$ （2）$$\sqrt{\dfrac{27}{4}}\div\sqrt{\dfrac{3}{16}}$$ 14.（18分）带系数根式除法、有理化运算： （1）$$6\sqrt{12}\div2\sqrt{3}$$ （2）$$\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$$ （3）$$\dfrac{4}{\sqrt{8}}$$ 15.（18分）化简求值： 先化简$$\sqrt{\dfrac{2x}{y}}\div\sqrt{\dfrac{x}{2y^3}}(x>0,y>0)$$，再代入 $$y=2$$ 求值。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.A（原式$$=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$$）； 2.A（B：$$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$$，C：$$\sqrt{2}$$，D：被开方数不为负，结果为正$$\dfrac{2}{3}$$）； 3.B（需满足 $$x\geq0$$ 且 $$x-2>0$$，得 $$x>2$$）； 4.A（原式$$=2\sqrt{\dfrac{6}{2}}=2\sqrt{3}$$）； 5.B（分子分母同乘$$\sqrt{5}$$，得$$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$）； 6.B（原式$$=\sqrt{\dfrac{2}{3}\times6}=\sqrt{4}=2$$修正：$$\sqrt{\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{6}}=\sqrt{4}=2$$，结果为A）。 二、填空题 7. $$3$$（$$\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$$）； 8. $$\dfrac{4}{5}$$； 9. $$2\sqrt{5}$$（$$2\sqrt{\dfrac{10}{2}}=2\sqrt{5}$$）； 10. $$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$； 11. $$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$$； 12. $$9$$（$$\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3}{2}$$，得$$\sqrt{x}=3$$，$$x=9$$）。 三、解答题 13. 解： （1）原式$$=\sqrt{\dfrac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$$； （2）原式$$=\sqrt{\dfrac{27}{4}\times\dfrac{16}{3}}=\sqrt{36}=6$$。 14. 解： （1）原式$$=3\sqrt{\dfrac{12}{3}}=3\sqrt{4}=3\times2=6$$； （2）原式$$=3\sqrt{\dfrac{5}{15}}=3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$$； （3）原式$$=\dfrac{4\sqrt{8}}{8}=\dfrac{4\times2\sqrt{2}}{8}=\sqrt{2}$$。 15. 解： 原式$$=\sqrt{\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y^3}{x}}=\sqrt{4y^2}=2y(x>0,y>0)$$， 代入 $$y=2$$，原式$$=2\times2=4$$。 本节易错必记 1. 除法法则成立条件：分子非负，分母严格大于0，取值范围比乘法更严格； 2. 运算结果必须分母有理化，分母绝对不能带根号，这是扣分重灾区； 3. 带系数除法，切记系数、根式分开除，不要混算； 4. 分式根式化简，先除法变乘法，再约分开方，步骤更清晰； 5. 区分最简要求：被开方数无分母、无平方因数，分母无根式。 学习目标 1.理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二次根式的特点. 2.合理简洁地进行二次根式的除法运算. 3. 学习目标 1.计算下列各式： ___÷___=____; (1) = _____; ___÷___=____; ___÷___=____. (2) = _____; (3) = _____; 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 二次根式的除法 1 3 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出 的结果吗？ 特殊 一般 4 一般地，如果 a > 0，则 ＝＝＝1， 因此， (a > 0). ＝ 设 a > 0，b≥0，则 ＝＝＝＝ . 探究证明 与 互为倒数. 二次根式的除法法则: 文字叙述： 商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除式的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式法则，易得 知识要点 例1 化简下列二次根式． 解： 从 变形到 是为了去掉分母中的根号. 化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式. 典例精析 例2 化简： 解: 还有其他解法吗? 补充解法： 解： 先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质 9 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根. 我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则. 类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则: 例3 计算： 典例精析 例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足 (其中 R 是地球半径). 现有两座塔高分别为 h1 = 600 m， h2 = 450 m 的电视塔， 问它们的传播半径之比等于多少？ 二次根式除法的应用 2 因为 解：设两座电视塔的传播半径分别为 r1，r2， 所以 返回 B 考试考法 14 返回 B 考试考法 返回 B 考试考法 16 返回 1 考试考法 17 考试考法 18 考试考法 19 返回 考试考法 返回 考试考法 21 返回 考试考法 22 返回 D 考试考法 23 返回 12. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到n的自然数排成纵横各为n个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之积为________． 20 考试考法 24 商的算术平方根 → 计算与化简 → ↓ 最简二次根式 → ↓ （逆用） 课堂小结 1．若＝成立，则x的值可以是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．3 2．计算：＝________. 【点拨】由x，得y≤0.又因为xy＜0，所以y＜0，x＞0，所以x＝＝＝. 3．已知xy＜0，化简：x＝________． 4．下列各式计算正确的是(　　) A.÷＝4 B.÷＝ C.÷＝5 D.÷＝7 5．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①·＝1；②＝；③÷＝－b，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6.对于任意两个不相等的数a，b(a>b)，定义一种新运算a※b＝，如3※2＝＝，那么12※4＝________． 7．已知不等式2x－＞0，则这个不等式的最小整数解为________． 8．计算： (1)÷； 【解】原式＝＝×＝. (2)÷(m＜0，n＜0)； 【解】原式＝＝＝＝－. (3)2÷4÷. 【解】原式＝2××2＝＝6a. 9．已知一个圆的半径为 cm，一个长方形的长是π cm，若圆的面积与长方形的面积相等，则长方形的宽为________． 6 cm　 10．在一条传输带上，有一件物品随传输带在14秒的时间内匀速前进了42米，传输带与物体之间没有相对滑动，则传输带的速度为________米/秒． 【点拨】＝＝＝.因为＝a，＝b，所以原式＝. 11．已知＝a，＝b，则＝(　　) A. B. C. D. $