3.3.1二次根式的加减运算 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减运算，核心讲解同类二次根式的定义及合并法则。通过类比七年级单项式加减（如2a+3a=5a）引入，当a=√2时自然过渡到2√2+3√2=5√2，搭建新旧知识联系的学习支架。 其特色在于以“化、找、并”三步法为核心，结合典例（如圆环宽度计算）和错题重练，培养学生的抽象能力与运算能力。通过实际问题应用（如等腰三角形周长）发展模型意识，帮助学生规范运算步骤，教师可借助系统资源提升教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 3.3.1二次根式的加减运算 第3章 二次根式 湘教版数学八年级下册3.3.1 二次根式的加减运算同步练习题 一、核心知识点精讲 1. 同类二次根式的定义（加减核心前提） 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键点：先化简、再判断，不化简不能直接判断是否同类；只看被开方数，与根式系数无关。 2. 二次根式加减运算法则 同类二次根式可以合并，合并方法：系数相加减，被开方数和根指数不变。 公式：$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}\ \ (m\geq0)$$ 非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 3. 二次根式加减标准解题四步骤 ② 找同类：筛选出被开方数相同的同类二次根式； ③ 合并：同类根式系数相加减，根式部分保持不变； ④ 整理：最终结果保留最简形式，不能合并的根式直接保留。 4. 常见易错点 ① 未化简直接判断同类根式，导致判断错误； ② 非同类二次根式强行合并（如 $$\sqrt{2}+\sqrt{3} eq\sqrt{5}$$）； ③ 合并时错误改动被开方数； ④ 符号运算出错，正负系数加减混淆。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（） A. $$\sqrt{2}$$与$$\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{8}$$与$$\sqrt{2}$$ C. $$\sqrt{12}$$与$$\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{5}$$与$$\sqrt{10}$$ 2. 计算 $$3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$$ 的结果是（） A. $$5\sqrt{2}$$ B. $$5\sqrt{4}$$ C. $$12\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{10}$$ 3. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$$ C. $$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$$ 4. 化简 $$\sqrt{12}+\sqrt{27}$$ 的结果是（） A. $$5\sqrt{3}$$ B. $$3\sqrt{5}$$ C. $$2\sqrt{3}$$ D. $$5\sqrt{6}$$ 5. 若 $$2\sqrt{a}-3\sqrt{b}=0$$（$$a、b$$为正数），则（） A. $$a=b$$ B. $$2a=3b$$ C. $$4a=9b$$ D. $$a、b$$一定不是同类根式 6. 二次根式 $$\sqrt{75}$$ 的同类二次根式是（） A. $$\sqrt{15}$$ B. $$\sqrt{27}$$ C. $$\sqrt{10}$$ D. $$\sqrt{5}$$ 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 计算：$$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=$$________。 8. $$\sqrt{18}$$ 与 $$\sqrt{8}$$ ________（填“是”或“不是”）同类二次根式。 9. 化简：$$\sqrt{48}+\sqrt{3}=$$________。 10. 计算：$$3\sqrt{5}-\sqrt{20}=$$________。 11. 若$$\sqrt{2x}$$ 与 $$\sqrt{8}$$ 是同类二次根式，则正整数$$x$$的最小值为________。 12. 化简：$$\sqrt{50}-\sqrt{32}=$$________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础加减运算： （1）$$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$ （2）$$\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{48}$$ 14.（18分）先化简再加减计算： （1）$$\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{32}$$ （2）$$\sqrt{24}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{54}$$ （3）$$2\sqrt{12}-6\sqrt{\dfrac{1}{3}}+3\sqrt{48}$$ 15.（18分）化简求值： 先化简 $$\sqrt{4x}+\sqrt{9x}-\sqrt{16x}$$，其中 $$x=4$$。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，与$$\sqrt{2}$$被开方数相同，是同类二次根式）； 2.A（同类根式合并，系数$$3+2=5$$，结果$$5\sqrt{2}$$）； 3.C（A非同类不能合并；B结果为$$\sqrt{3}$$；D非同类不能合并）； 4.A（$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}，\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$，合并得$$5\sqrt{3}$$）； 5.C（移项得$$2\sqrt{a}=3\sqrt{b}$$，两边平方得$$4a=9b$$）； 6.B（$$\sqrt{75}=5\sqrt{3}，\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$，是同类二次根式）。 二、填空题 7.$$4\sqrt{3}$$（系数相减$$5-1=4$$）； 8. 是（$$\sqrt{18}=3\sqrt{2}，\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，被开方数均为2）； 9. $$5\sqrt{3}$$（$$\sqrt{48}=4\sqrt{3}+ \sqrt{3}=5\sqrt{3}$$）； 10. $$\sqrt{5}$$（$$\sqrt{20}=2\sqrt{5}，3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$$）； 11. $$2$$（$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，则$$2x=2$$，最小正整数$$x=2$$）； 12. $$\sqrt{2}$$（$$5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{2}$$）。 三、解答题 13. 解： （1）原式$$=(4+3-2)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$； （2）原式$$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$。 14. 解： （1）原式$$=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$； （2）原式$$=2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}+3\sqrt{6}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}$$； （3）原式$$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}=14\sqrt{3}$$。 15. 解： 原式$$=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-4\sqrt{x}=\sqrt{x}$$， 将 $$x=4$$ 代入，原式$$=\sqrt{4}=2$$。 本节易错必记 1. 二次根式加减先化简，再合并，不化简直接计算极易出错； 2. 只有同类二次根式可以合并，被开方数不同绝对不能合并； 3. 合并时只改变系数，被开方数、根指数保持不变； 4. 带分数、小数根式先化为最简，再判断同类进行加减； 5. 注意正负系数运算，避免符号失误导致结果错误。 学习目标 1.理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算； 2.通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤． 3. 学习目标 a a a a a a a a a a = + 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考. 由上图，易得 2a + 3a = 5a. 当 a = 时，分别代入左右得 ; 当 a = 时，分别代入左右得 ; ...... 你发现了什么？ 在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式 1 a 2a + 3b b = + b b a 这两个二次根式可以合并吗？ 前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程： 因为 ，由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗? 当 a = ， b = 时，得 2a + 3b = . 将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如： 归纳总结 例1 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为 2，列关于待定字母的方程或方程组求解即可. 归纳 典例精析 1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则 m =____. 1 3.下列二次根式，不能与 合并的是_______(填 序号）. ②⑤ 练一练 想一想： 计算： 二次根式的加减及其应用 (1) 2 解： ＝ ＝ ＝ . ······加法结合律 (2) 2 ＝ 2 ＝ 2 ＝ ＝ . ······乘法对加法的分配律 ······加法交换律和结合律， 乘法对加法的分配律 (2) 2 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 思考 (1) 等于多少？ (2) 等于多少？ 分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算. (1) ＝ ＝ ＝ ＝ . (2) 等于多少？ (2) ＝ ＝ ＝. 例2 计算: . 解 ＝ ＝ ＝. 与 能合并吗？ 二次根式的加减法法则： 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并. (1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简； 加减法的运算步骤： (2) 找——找出同类二次根式； (3) 并——把同类二次根式合并. “一化简二判断三合并” 归纳总结 例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). d 解： 设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2， S2 = πr2，可得 则 答：圆环的宽度d 为 d 则 3.有一个等腰三角形的两边长分别为 求其周长. 解：① 当腰长为 时，因为 所以此时能构成三角形，周长为 ② 当腰长为 时，因为 所以此时能构成三角形，周长为 综上所述，该等腰三角形周长为 或 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小. 归纳 返回 C 2 考试考法 16 返回 3. 若，则 ( ) A A. B. 5 C. D. 15 考试考法 17 4. 若，则表示实数 的点会落在如图所示的数 轴的( ) B A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 返回 考试考法 返回 考试考法 19 （2） . 考试考法 20 返回 考试考法 21 返回 B 考试考法 22 16 考试考法 23 返回 考试考法 B 返回 考试考法 25 10. 我们规定运算符号“ ”的意义是：当 时，；当时， ，其他运 算符号的意义不变，计算： ___________. 【点拨】因为当时，；当 时， ，，，所以 . 返回 考试考法 26 二次根式的加减 法则 注意 运算顺序 运算原理 一般地，计算二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 运算律仍然适用 与实数的运算顺序一样 课堂小结 1．下列各组二次根式能够合并的是(　　) A．2与 B.与 C．－与 D.与(a＞0) 2.若最简二次根式与可以合并，则a2 028＋b2 028的值为________． －(答案不唯一) 5.若1－与＋a的和为有理数，请写出一个符合条件的实数a的值：______________________. 原式＝2＋－－3＝－－. 6．计算： (1)－3＋－2； 【解】原式＝4－＋5－＝7. (3)3－5＋7. 【解】原式＝3－10＋21＝14. 7．如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为π，宽为π的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是(　　) A．12π B．18π C．24π D．36π 8.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 cm，宽为4 cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是________cm. 【点拨】设题图①中小长方形卡片的长为x cm，宽为y cm.根据题意得x＋2y＝，则题图②中两块阴影部分的周长和是2＋2(4－2y)＋2(4－x)＝2＋16－4y－2x＝2＋16－2(x＋2y)＝2＋16－2＝16(cm)． 【点拨】因为＝20，24＝＜＜＝25，所以这1 000个二次根式中与是同类二次根式的有21， 22，23，24，共4个． 9．在，，…，这1 000个二次根式中，与是同类二次根式的共有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 $