第3章 二次根式（复习课件）数学湘教版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的概念、性质、四则运算及应用，通过单元知识图谱和考点分层串讲，将定义、性质、运算规则与实际问题解决串联，帮助学生构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，题型剖析中通过“例题-变式”设计，如二次根式性质应用从基础化简到结合数轴的综合题，培养推理意识，针对训练包含实际应用题如矩形舞台面积计算，发展应用意识。这种设计既分层巩固知识，又帮助教师精准把握复习重点。

单元复习课件 第3章 二次根式 湘教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握二次根式的概念、有意义的条件及核心性质、，能熟练进行二次根式的加、减、乘、除四则运算，并且能将结果化为最简二次根式. 3.灵活运用二次根式的性质化简复杂式子，解决与二次根式相关的实际应用问题，且在运算中准确把握符号和化简要求. 2.二次根式的四则运算法则应用，尤其是被开方数不同的二次根式加减运算，以及二次根式乘法、除法法则与性质的综合运用.​ 单元学习目标 二次根式 概念与性质 定义 性质 ： ： ： ： 乘法和除法 乘法 ： 除法 ： 最简二次根式 加法和减法 同类二次根式 计算法则 四则运算顺序 单元知识图谱 考点一、二次根式的概念 1．定义：形如（其中）的式子，叫做二次根式。称为________，称为________。 2．有意义的条件：二次根式有意义的前提是被开方数，即被开方数为________。 二次根号 被开方数 非负数 考点串讲 考点二、二次根式的性质 1．性质1：非负数的算术平方根的平方，等于它________。 即：（） 2．性质2：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的________。 即： 3．积的算术平方根的性质：（，） 4．商的算术平方根的性质：（，） 本身 绝对值 考点串讲 考点三、二次根式的乘除运算 1．乘法法则：两个非负数的算术平方根的积，等于它们积的________。 即：（，） 2．除法法则：两个非负数（除数对应的被开方数为正数）的算术平方根的商，等于它们商的________。 即：（，） 3．最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： （1）被开方数中不含________； （2）被开方数中不含能开得尽方的________或________。 算术平方根 算术平方根 分母 因数 因式 考点串讲 考点四、二次根式的加减运算 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数________，则这几个二次根式称为同类二次根式。 2．加减法则：先将每个二次根式化成________二次根式，再合并________二次根式.。 相同 最简 同类 考点串讲 考点五、二次根式的四则混合运算 运算顺序与有理数的四则混合运算一致：先算________，后算________；有括号的先算________内的。 乘除 加减 括号 考点串讲 考点一、二次根式的相关概念 例1：下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． C 解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C． 是最简二次根式，符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 题型剖析 考点一、二次根式的相关概念 二次根式识别： 根指数是 2，且被开方数≥0. 二次根式有意义条件： 被开方数≥0，联立不等式求变量值. 最简二次根式判定： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数 或 因式. 题型剖析 考点一、二次根式的相关概念 变式1：若，则 ． 解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 题型剖析 考点一、二次根式的相关概念 变式2：下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． B 解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 题型剖析 考点二、二次根式的性质 例2： ． 解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 题型剖析 考点二、二次根式的性质 的应用： 先判断a的正负，再去绝对值. 根号外字母移进根号内： 先由被开方数非负确定字母符号，再将字母平方后移入，注意符号保持. 题型剖析 考点二、二次根式的性质 变式1：把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． D 解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 题型剖析 考点二、二次根式的性质 变式2：实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 题型剖析 例3：老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ）   A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 考点三、二次根式的运算 B 解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误；故选：B 题型剖析 考点三、二次根式的运算 一要按运算顺序逐步计算，每一步验证结果的正确性. 二要将根式化为最简形式，避免错误变形. 题型剖析 考点三、二次根式的运算 变式1：计算：＝ ． 解：原式 = ， 故答案为：． 题型剖析 考点三、二次根式的运算 变式2：计算： (1) (2) 解：（1）原式 ； （2）原式 题型剖析 考点四、与二次根式有关的化简求值 例4：已知，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． D 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 题型剖析 考点四、与二次根式有关的化简求值 一定范围：由二次根式有意义的条件，即：被开方数≥0，确定字母取值范围. 二化成最简式：将根式化为最简二次根式，或利用化简绝对值. 三代值计算：把确定的字母值代入化简后的式子，计算出结果. 题型剖析 考点四、与二次根式有关的化简求值 变式1：先化简，再求值∶，其中． 解：原式； 当时， 原式 ． 题型剖析 考点四、与二次根式有关的化简求值 变式2：已知，，求下列代数式的值． 解：∵，， ∴ ． 题型剖析 考点五、二次根式的应用 例5：如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）．  A． B． C． D． B 解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：， 大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为： ，故选：B． 题型剖析 考点五、二次根式的应用 提取数据：从实际场景中，通过题中的数量关系，用二次根式表示未知量. 建立关系：结合实际图形 （或数量的逻辑关系），列含二次根式的表达式. 化简计算：对二次根式进行运算，得到实际问题的结果. 题型剖析 考点五、二次根式的应用 变式1：如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为 ， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为 ， ∴阴影面积为， 故答案为：． 题型剖析 考点五、二次根式的应用 变式2：高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间为_________s． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 2 解：（2）∵，, ∴，∴， ∴，而 ∴，故，会对无防护人体造成伤害． 题型剖析 1．二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B．5 C．1 D． B 解：∵ 二次根式有意义， ∴， 解得． ∵，其余选项的数都小于4， 故选：B． 针对训练 2．下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． A 解：∵ ， ∴ 与的被开方数相同，可以合并，故选项A符合题意； 而，被开方数为2； ，被开方数为6； 已是最简二次根式，被开方数为30； 均不能与合并，故选项不符合题意；故选：． 针对训练 3．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． D 解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 针对训练 4．从、、这三个实数中任选两数相乘大于2的是（    ） A． B． C． D．没有 C 解：A选项，，不满足题意； B选项，，不满足题意； C选项，，满足题意； D选项，不满足题意； 故选：C． 针对训练 5．如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ）  A． B． C． D． D 解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和．故选：D． 针对训练 6．使式子有意义的x的取值范围是 ． 解：∵有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 针对训练 7．的有理化因式可以是 ． 解：∵ ， ∴的有理化因式可以是． 故答案为：． 针对训练 8．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 2 解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 针对训练 9．当时，化简二次根式____________. 解：∵，， 又∵，， ∴，即， ∵ ， 又 ∵，，， ∴原式．故答案为：． 针对训练 10．若，则的最大值是 ． 解：根据题意，得，解得， 设，则，故， 故 ， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 针对训练 11．计算： (1) (2) 解：（1） ； （2） ． 针对训练 12．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米．  (1)求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； 解：（1）这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； （2）阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一 个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 针对训练 ✅ 知识构建： 相关概念、性质→四则运算→分母有理化→化简求值 ✅ 思想方法： 特殊到一般、分类讨论、转化与化归、数形结合 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $