精品解析：2026年重庆市育才中学校中考考前自主作业数学试题

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第三次自主作业数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的位置涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径．下列体育图标是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义（在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），依次判断四个选项图标是否存在这样的对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐一分析选项： 选项A、踢球人物图标，找不到一条直线，使直线两侧图形折叠后重合，不是轴对称图形； 选项B、带球人物图标，图形左右、上下均不对称，不是轴对称图形； 选项C、举重人物图标，沿着人物竖直中线折叠，直线左右两边图形能够完全重合，是轴对称图形； 选项D、骑自行车图标，自行车结构左右不一致，无对称轴，不是轴对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学每周体育锻炼的时间 B. 调查某热门景点的日均人流量 C. 调查某市中学生的视力情况 D. 调查某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、调查全班同学每周体育锻炼的时间，调查范围小，人数少，易操作，适合普查； B、调查热门景点日均人流量，范围大，工作量大，适合抽样调查； C、调查某市中学生视力情况，调查范围广，人数多，适合抽样调查； D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，测试具有破坏性，适合抽样调查． 综上，最适合采用全面调查（普查）的是A选项． 4. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据的度数可求的度数． 【详解】解：是中所对的圆周角，是中所对的圆心角， ． 故选：C． 5. 生活中常用地砖按规律铺设人行道的地面，如图，某段地面用“8字砖”铺设，1块地砖有2个正方形，用2块地砖可拼得5个正方形，用3块地砖可拼得8个正方形，……，按照这样的规律，则用10块地砖可以拼得的正方形的个数是（ ） A. 25 B. 27 C. 29 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形，归纳出用块地砖可以拼得的正方形的个数规律，再代入即可求解． 【详解】解：用1块地砖得到的正方形的个数为， 用2块地砖可以拼得的正方形的个数为， 用3块地砖可以拼得的正方形的个数为， …… 依此类推，用块地砖可以拼得的正方形的个数是， 当时，， ∴用10块地砖可以拼得的正方形的个数是29． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 7. 下列四个数中，值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据10的指数判断数的范围，再比较同指数下的系数大小，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴值最小的是． 8. 某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系、正确列出方程是解题的关键． 该款上衣销售量的月平均增长率为，根据3月份销售量和1月份销售量列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：该款上衣销售量的月平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或不合题意舍弃， 所以该款上衣销售量的月平均增长率为． 故选A． 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，连接交于点，交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长、交于点，延长、交于点，设，容易计算得，，．由平行线的性质和角平分线容易得到，则，从而证明，因此．容易证明，计算得．利用可判定、和，依次计算出，，，然后计算出，最后求比值即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，延长、交于点，设， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴，， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，为非零整数，满足且．下列说法中： ①满足条件的所有整式N中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式N共有15个； ③当时，满足方程有实数根的所有整式N的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件，逐个验证三个说法，利用枚举法结合整式、方程根的性质判断每个说法的正误，统计正确个数． 【详解】解：验证①：要得到的最大值，需让系数个数尽可能大，即每个系数平方和最小， 符合条件的整式N举例如下， 取，满足非零递减， 平方和为，此时，故①错误； 验证②：当时，，因为且为非零整数且， 符合条件的整式N举例如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴满足条件的所有整式N大于15个，故②错误； 验证③：当时，， ∵， ∴当时，满足条件的所有整式N有：，，，， 当时，满足条件的所有整式N有：，，，，，，，， 当时，满足条件的所有整式N有：， ∵，，，，以上四个式子时是一元一次方程全部有一个实根，，，，，，，以上六个式子时是一元二次方程且，有两个不相等的实根，式子，当时有一个实根为， ∴以上的十一个整式N都满足方程有实数根，且只有一个整式含有， ∴满足方程有实数根的所有整式N的和一定包含项，而③中的所有整式N的和为不含项的情况，故③错误； 三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的袋子里放有2个黄球，3个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用白球的数量除以袋子中球的总数量，即可得到随机取出一个球是白球的概率． 【详解】解：袋子中装有2个黄球，3个白球，1个红球， 球的总数量为（个）， 从袋子中随机取出一个球是白球的概率是． 12. 如图，，，则________°． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，直接根据平行线的性质与邻补角的性质求解即可作答． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 已知m为正整数，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，结合已知条件和为正整数，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，为正整数， ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分四种情况：当、时，当、时，当、时，当、时，列方程组求，的值，即可求解． 【详解】解：当、时，得， 解得， 与矛盾，故不合题意； 当、时，得， 解得，符合题意， 此时； 当、时，得， 解得， 与矛盾，故不合题意； 当、时，得， 解得，与、矛盾，不符合题意； 故答案为：． 15. 如图，、分别与相切于点、点，连接，延长直径与的延长线交于点，以、为邻边作平行四边形，交于点，连接交于点，交于点．若，，则的长度为________，的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、、，作于点，由切线的性质和圆周角定理可得，，进而可证明，则，计算得，，结合勾股定理可得计算出，．由切线长定理可得，结合勾股定理可计算出，．由平行可判定，计算得．由可证明和，依次计算出，．容易证明，计算得，最后计算出的面积即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵与相切， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵、分别与相切于点、点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 16. 一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和十位数字之和是百位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“和倍数”．将“和倍数”M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的“和倍数”记为，记，例如：当时，，则．若，则________．已知两个“和倍数”，（其中，，x、y均为整数），满足是完全平方数，且为整数，则的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先按新定义计算第一空；第二空将四位数的数位关系转化为代数式，根据定义推导出和的化简式，再根据完全平方数和整数的性质确定参数，求出，再化简分式得到确定，最后构造最大的计算． 【详解】解：当时，对调千位与十位、百位与个位得，则． 对于，由“和倍数”定义得，可知，均为整数，各数位不完全相同， ∵，对调后， ∴， 故， 代入得． 对于，即， 由“和倍数”定义得：， 整理得， 同理可得． 由是完全平方数，代入得是完全平方数， ，且是整数， 故为偶数， 设，则， ∴是完全平方数， ∵， ∴仅即符合条件， 故，即． 将，，代入分式得： 分式为整数，， ∴是的正因数， 仅符合条件，得， 则， 故． 要使最大，需使最大，满足，，各数位不为零，不完全相同， 使最大，得， 此时， 再使最大，，得， 此时， 故最大的， 则的最大值为． 三、解答题：（本大题共9小题，17-18题各8分，19-25各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据一元一次不等式的解法解答①即可； （2）根据一元一次不等式的解法解答②即可； （3）分别解两个不等式得到，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，利用数轴表示其解集． （4）根据（3）写出解集即可； 【小问1详解】 解：解不等式①，得． 【小问2详解】 解：解不等式②，得． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：结合（3）可得原不等式组的解集为． 18. 在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究： 如图，在四边形中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点E；过点C作的垂线，垂足为O，交直线于点F，连接． （2）补全证明： 求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ， ∴① ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴② ， ∴四边形是平行四边形， 又∵③ ， ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示，即为的平分线，，的延长线交于点F； （2） ①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线，尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边得到，再证明，得到，则四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 每年5月18日是“国际博物馆日”，为传承文博文化，某校组织了“博物馆文化知识竞赛”活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，均在75分以上，共分为五个等级： A：；B：；C：；D：；E：； 其中记为优秀）．相关信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩：76，78，81，82，84，86，87，88，89，89，92，92，93，94，96，97，97，97，99，100； 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的数据是：94，91，90，91，93，94，94，95； 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 90 90.5 a 八年级 90 b 98 请根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1） ，， （2）八年级学生竞赛成绩更好， ∵七年级与八年级学生竞赛成绩的平均数相同，七年级学生竞赛成绩的中位数小于八年级学生竞赛成绩的中位数，七年级学生竞赛成绩的众数小于八年级学生竞赛成绩的众数， ∴八年级学生竞赛成绩更好； （3）该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共约有840名 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、百分比的计算求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩中，出现次数最多的是， ∴， 八年级A组有：人，B组有：人，C组有：人，D组有：8人， ∴中位数在第10，11位同学成绩的平均数，即D组中， D组成绩从小到大排序为：90，91，91，93，94，94，94，95， ∴， ∵E组的人数为：人， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵记为优秀， ∴人， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共约有840名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式、分式的四则运算法则，先化简，再计算出的值，把的值代入化简的代数式中即可求解． 【详解】解： ，把代入上式中， 上式 21. 列方程解应用题： 为推广重庆轨道交通文化，某文创工坊推出“李子坝轻轨穿楼纪念套装”，每套包含1个轻轨列车模型和2枚穿楼纪念徽章．工坊安排21名工匠生产这两种产品，每人每天可制作10个列车模型或15枚纪念徽章，且每人每天只能制作一种产品． （1）为使每天制作的列车模型和纪念徽章正好配套，应安排多少名工匠制作列车模型，多少名工匠制作纪念徽章？ （2）在（1）问的安排下，为赶制文旅订单，工坊从徽章组抽调部分工匠支援模型组．抽调后，制作600个列车模型所用的时间，与制作450枚纪念徽章所用的时间相等．求从徽章组抽调了多少名工匠到模型组？ 【答案】（1）应安排9名工匠制作列车模型，12名工匠制作纪念徽章 （2）从徽章组抽调了5名工匠到模型组 【解析】 【分析】（1）设应安排x名工匠制作列车模型，y名工匠制作纪念徽章，由题意得，进而求解即可； （2）设从徽章组抽调了m名工匠到模型组，由题意得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设应安排x名工匠制作列车模型，y名工匠制作纪念徽章，由题意得： ， 解得：； 答：应安排9名工匠制作列车模型，12名工匠制作纪念徽章． 【小问2详解】 解：设从徽章组抽调了m名工匠到模型组，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：从徽章组抽调了5名工匠到模型组． 22. 如图，在矩形中，，，．动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，过点Q作的垂线交对角线于点P；动点M以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动．点Q、M同时出发，当点Q到达点B时，Q、M均停止运动．设动点Q运动的时间为x秒（），点M与点D之间的距离为，记的面积为S，令． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）如图所示， ∴当时，y随x的增大而减小；（答案不唯一） （3）根据图示，当时， 【解析】 【分析】（1）根据点M的位置，分类讨论，根据点Q的运动得到，证明得到，由此得到，代入可得； （2）根据函数解析式作图即可； （3）根据函数图象求不等式解集即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发， ∴点Q的运动时间为， 动点M以每秒3个单位长度的速度从点C出发，当点Q到达点B时，Q、M均停止运动， ∴当时，点M运动的路程为，即，此时点Q与点B重合，点M与点A重合， ∵点M与点D之间的距离为，动点M以每秒3个单位长度的速度从点C出发，运动的时间为x秒（），， ∴当时，点M在线段上，则，， 当时，点M在线段上，， ∴； ∵动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，动点Q运动的时间为x秒（）， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 重庆两江新区麓溪湖绿心公园是新晋网红打卡地，为方便游客游览，工作人员将园内四处主要打卡点抽象为平面内的四个点：A为绿心之环，B为山谷湖景观景台，C为马鞭草花海步道，D为绿心大草坪．已知点B在点A的正东方向，点C在点D的正东方向，点C在点B的西北方向，点D在点A的北偏东方向；绿心之环A到大草坪D的直线距离，绿心之环A到山谷湖景观景台B的直线距离．（参考数据：，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）周末小明、爸爸相约在公园游玩，小明从观景台B出发，沿方向匀速前往绿心之环A，爸爸从绿心之环A出发，沿方向匀速前往大草坪D，两人同时出发．已知小明的速度是爸爸速度的2倍，当两人首次相距时，求此时爸爸与绿心之环A的距离．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）小明的爸爸与绿心之环A的距离约为 【解析】 【分析】（1）先过点C作于点E，过点D作于点F，则，再根据解直角三角形的相关计算，等角对等边，矩形的判定和性质，得到，，由此即可求解； （2）先设两人首次相距时，小明在点M处，小明的爸爸在点N处，过点作于点P，则，设，则，再根据解直角三角形的相关计算得到，，进一步得到，在中由勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F， 则，． 根据题意可得，，，，， ，，， ，，． 根据题意可知，， 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形， ，， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，设两人首次相距时，小明在点M处，小明的爸爸在点N处，过点作于点P， 则，． 小明的速度是爸爸速度的2倍， 设，则． 由（1）可知，，． ，， ， ． 在中，，， ，， ． 在中，， ， 整理得，， ， ，． 当时，则，，不符合题意，舍去； 当，则，即小明的爸爸与绿心之环A的距离约为． 综上，小明的爸爸与绿心之环A的距离约为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一动点，连接交于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上对称轴右侧一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）；的最小值为：； （3）点的坐标为或． ∵，，， ∴根据勾股定理，， ∴，， ∵ 又∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴新的抛物线：， ∵点为点的对应点，由（2）得， ∴， ∵，， ∴轴，轴，，， ∴， 如图，画出函数和，标出点，连接，在线段上找一点，使得， ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 若在射线的上方， ∵， ∴， 如图，过点作交于点， ∵设直线：， 将，代入，解得：， ∴直线：， ∵， ∴设直线：， 将代入，解得， ∴直线：， ∵将直线：与联立， 则：，整理得： 解得：，（舍）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标和的长，再根据，求出点坐标，最后将点、点代入即可求解； （2）过点作轴交轴于点，与交于点，先求出直线的解析式，，即，再证明，推出，即可求解点坐标，然后作点关于直线的对称点点，将点向下平移个单位长度得点，连接与对称轴直线交于点，点向上平移个单位长度得，连接，证明四边形为平行四边形，，最后证明当三点共线时，有最小值，最小值为，且与重合，即可求解的最小值，从而求出的最小值； （3）先根据抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，求出解析式，画出函数和，标出点，连接，在线段上找一点，使得，求出，证明，根据，推出，分类讨论：①在射线的上方，②在射线的下方， ①在射线的上方，推出，过点作交于点，先求出直线解析式，再求出直线解析式，联立直线与抛物线，即可求解；②在射线的下方，作，与于点，与交于点，过点作交于点，求出，证明为等腰直角三角形，设，接着求出，，根据勾股定理求出的值，即求出坐标，然后求出直线解析式，联立直线与抛物线，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴当时，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴将、代入中， ，解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 如图，过点作轴交轴于点，与交于点， ∵设直线：， 将，代入，解得：， ∴直线： ， ∵点是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ∵， ∴对称轴直线， 如图，作点关于直线的对称点点，将点向下平移个单位长度得点，连接与对称轴直线交于点，点向上平移个单位长度得，连接， ∵关于直线的对称点， ∴， ∵点向下平移个单位长度得点，点向上平移个单位长度得， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为，且与重合， ∴， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 若在射线的上方略； 若在射线的下方， 如图，作，与于点，与交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，，则， 解得：， ∴， ∵由（3）①得直线：， ∴，即， ∵设直线：， 将，代入，解得：， ∴直线：， ∵将直线：与联立， 则：，整理得： 解得：，（舍）， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 25. 如图，中，，D为边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F，延长交于点G． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，E为线段上一点，连接、，延长至H，使，连接，若，探究线段与线段的数量关系，并证明； （3）如图3，E为直线上一点，连接、，若，，点P在直线上运动，连接，将沿翻折到所在平面内得到，点M、N分别在射线、上运动，满足，连接、，当取得最小值时，连接、、，当取得最大值，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点G是线段的中点， 如图所示，过点作，交于点K， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则是等腰直角三角形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， 如图所示，过点作，取，连接， 根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，由直角三角形两锐角互余得到，由三角形外角的性质列式即可求解； （2）根据题意得到，则点G是线段的中点，过点作，交于点K，证明，则是等腰直角三角形，，所以是等腰直角三角形，如图所示，过点作，取，连接，设，可证，得到，再证明，得，结合等腰直角三角形的性质即可求解； （3）如图所示，过点作交于点W，得到，，，作于点R，得到当点共线时，的值最小，最小值为的值，根据题意，当点三点共线，且线段经过以点D为圆心的圆时，的值最大，然后根据点圆最值关系即可解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作交于点W， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 如图所示，作于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，最小值为的值， 作，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折到所在平面内得到， ∴，即点三点在以点D为圆心1为半径的圆上，如图所示， 根据题意，当点三点共线，且线段经过以点D为圆心的圆时，的值最大， ∴ ， ∴， 如图所示，过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在延长线时， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得 ，， ∴ ∴当点在延长线时，不符合题意，舍去， 综上所述，的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的基础知识，含30度角的直角三角形的计算，解直角三角形的计算等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第三次自主作业数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的位置涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径．下列体育图标是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班同学每周体育锻炼的时间 B. 调查某热门景点的日均人流量 C. 调查某市中学生的视力情况 D. 调查某品牌新能源汽车的最大续航里程 4. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 生活中常用地砖按规律铺设人行道的地面，如图，某段地面用“8字砖”铺设，1块地砖有2个正方形，用2块地砖可拼得5个正方形，用3块地砖可拼得8个正方形，……，按照这样的规律，则用10块地砖可以拼得的正方形的个数是（ ） A. 25 B. 27 C. 29 D. 33 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，值最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，平分，过点作交的延长线于点，连接交于点，交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，为非零整数，满足且．下列说法中： ①满足条件的所有整式N中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式N共有15个； ③当时，满足方程有实数根的所有整式N的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在一个不透明的袋子里放有2个黄球，3个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是________． 12. 如图，，，则________°． 13. 已知m为正整数，若，则________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为________． 15. 如图，、分别与相切于点、点，连接，延长直径与的延长线交于点，以、为邻边作平行四边形，交于点，连接交于点，交于点．若，，则的长度为________，的面积为________． 16. 一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和十位数字之和是百位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“和倍数”．将“和倍数”M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的“和倍数”记为，记，例如：当时，，则．若，则________．已知两个“和倍数”，（其中，，x、y均为整数），满足是完全平方数，且为整数，则的最大值为________． 三、解答题：（本大题共9小题，17-18题各8分，19-25各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （4）原不等式组的解集为______． 18. 在学习了特殊四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究： 如图，在四边形中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点E；过点C作的垂线，垂足为O，交直线于点F，连接． （2）补全证明： 求证：四边形是菱形． 证明：， ， 平分， ， ∴① ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴② ， ∴四边形是平行四边形， 又∵③ ， ∴平行四边形是菱形． 19. 每年5月18日是“国际博物馆日”，为传承文博文化，某校组织了“博物馆文化知识竞赛”活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，均在75分以上，共分为五个等级： A：；B：；C：；D：；E：； 其中记为优秀）．相关信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩：76，78，81，82，84，86，87，88，89，89，92，92，93，94，96，97，97，97，99，100； 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的数据是：94，91，90，91，93，94，94，95； 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 90 90.5 a 八年级 90 b 98 请根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解应用题： 为推广重庆轨道交通文化，某文创工坊推出“李子坝轻轨穿楼纪念套装”，每套包含1个轻轨列车模型和2枚穿楼纪念徽章．工坊安排21名工匠生产这两种产品，每人每天可制作10个列车模型或15枚纪念徽章，且每人每天只能制作一种产品． （1）为使每天制作的列车模型和纪念徽章正好配套，应安排多少名工匠制作列车模型，多少名工匠制作纪念徽章？ （2）在（1）问的安排下，为赶制文旅订单，工坊从徽章组抽调部分工匠支援模型组．抽调后，制作600个列车模型所用的时间，与制作450枚纪念徽章所用的时间相等．求从徽章组抽调了多少名工匠到模型组？ 22. 如图，在矩形中，，，．动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动，过点Q作的垂线交对角线于点P；动点M以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿方向运动．点Q、M同时出发，当点Q到达点B时，Q、M均停止运动．设动点Q运动的时间为x秒（），点M与点D之间的距离为，记的面积为S，令． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 重庆两江新区麓溪湖绿心公园是新晋网红打卡地，为方便游客游览，工作人员将园内四处主要打卡点抽象为平面内的四个点：A为绿心之环，B为山谷湖景观景台，C为马鞭草花海步道，D为绿心大草坪．已知点B在点A的正东方向，点C在点D的正东方向，点C在点B的西北方向，点D在点A的北偏东方向；绿心之环A到大草坪D的直线距离，绿心之环A到山谷湖景观景台B的直线距离．（参考数据：，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）周末小明、爸爸相约在公园游玩，小明从观景台B出发，沿方向匀速前往绿心之环A，爸爸从绿心之环A出发，沿方向匀速前往大草坪D，两人同时出发．已知小明的速度是爸爸速度的2倍，当两人首次相距时，求此时爸爸与绿心之环A的距离．（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一动点，连接交于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上对称轴右侧一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，中，，D为边上一点，连接，过点C作交的延长线于点F，延长交于点G． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，E为线段上一点，连接、，延长至H，使，连接，若，探究线段与线段的数量关系，并证明； （3）如图3，E为直线上一点，连接、，若，，点P在直线上运动，连接，将沿翻折到所在平面内得到，点M、N分别在射线、上运动，满足，连接、，当取得最小值时，连接、、，当取得最大值，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $