精品解析：2026年山西省晋中市祁县二模数学试题

2026年初中学业水平第二次模拟测试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 某气象站记录了四个观测点在一天中的气温（单位：），数据有正有负，呈起伏状态．其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《科技之光》纪念卡片一套张；图案名称分别为“天宫空间站”、“蛟龙号深潜器”、“复兴号高铁”、“大飞机”．现将这张卡片背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取张，正好抽取的卡片图案为复兴号高铁的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 8. 无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ） A. B. C. D. 9. 某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 启动后5分钟时，锅内温度为 B. 加热阶段，与的函数关系式为 C. 启动后15分钟时，锅内温度为 D. 从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. ，为任意实数 B. ，为任意实数 C. 为任意实数， D. 为任意实数， 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算： =_____． 12. 在学习了轴对称以后，小明同学设计了一个其外窗框为正六边形的轴对称窗格，下图为正六边形的外窗框示意图，连接，，交于点，则_______°． 13. 如图，将沿方向平移得到，点，，的对应点分别为，，．若，，则的长为______． 14. 某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压（）是海拔（）的一次函数，海平面时，海拔每升高，气压下降；气温（）与海拔（）也满足一次函数关系，海平面气温为，海拔每升高，气温下降约．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数（单位：）比真实大气压偏小．现测得某位置的气压计读数为，则该位置的气温为_______． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上，，连接，交于点，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 随着“双减”政策的深入推进，某校为了解学生参加课后服务社团活动的满意度，随机抽取了名学生进行评分（评分为整数，满分10分），所有学生的评分均在6分及以上．将评分数据整理成不完整的条形统计图，如图． 根据上述信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图． （2）填空：这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （3）后来，该兴趣小组又随机抽取了一些学生，这些学生的评分完全相同，与之前的个数据合并后，发现众数变为8分和9分．那么第二次抽取了多少名学生？合并后的数据中，中位数是变大了还是变小了？简单说明理由． 18. 如图，已知菱形，对角线，相交于点，，． （1）尺规作图：过点作于点，以点为圆心，长为半径作，交于点．（不写画法，保留作图痕迹） （2）求扇形的面积．（结果保留π） 19. 当前，低空经济快速崛起、应用场景不断拓展，某基建企业承接一批低空智能巡检基站建设任务，需建设甲、乙两类基站，计划共建座． 已知每座乙型基站的建设成本是甲型基站的倍，且企业计划投入万元专门用于修建甲型基站，投入万元专门用于修建乙型基站（资金恰好全部用完）． （1）求每座甲型基站的建设成本为多少万元． （2）基站建成后，每座甲型基站每天可完成次低空巡检任务，每座乙型基站每天可完成次低空巡检任务，则所有基站每天共可完成 次巡检任务． 20. 下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告 研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： （1）请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ． （2）请补全问题的证明过程． （3）在图中，若，，，直接写出的长． 21. 某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究 项目背景 夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．） 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容及示意 活动一：利用不同时刻的影长求树高 实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米… 活动二：利用树影计算休息区的长度 实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘． 请根据活动报告计算： （1）求活动一中树的高度． （2）求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 22. 综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 23. 综合与探究 问题情境： 已知矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到四边形，点，，的对应点分别是点，，． 猜想证明： （1）如图，当经过点时，连接并延长交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图，当点落在边的延长线上时，延长交于点，连接证明：四边形是平行四边形； 拓展延伸： （3）若，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，当，，三点共线时，请你直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第二次模拟测试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 某气象站记录了四个观测点在一天中的气温（单位：），数据有正有负，呈起伏状态．其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：正数大于一切负数， 正数大于所有负数， 故B选项不符合题意； 比较三个负数 ，，， ，，，且 ， 根据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”， 可得：， 气温最低的是． 2. 七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】七巧桌的主视图就是从七巧桌的正面观察到的平面图形，从七巧桌的正面看到的是三个连着的矩形，矩形之间的边应用实线． 【详解】解：七巧桌的主视图如下图所示： 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘底数不变指数相加，可得，故A选项错误； 选项B，与不是同类项，不能合并，故B选项错误； 选项C，根据单项式乘单项式的法则可得：，计算正确，故C选项正确； 选项D，根据完全平方公式可得：，原式结果错误，故D选项错误． 4. 《科技之光》纪念卡片一套张；图案名称分别为“天宫空间站”、“蛟龙号深潜器”、“复兴号高铁”、“大飞机”．现将这张卡片背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取张，正好抽取的卡片图案为复兴号高铁的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵一共张不同卡片，随机抽取张， ∴所有等可能的结果共种， ∴正好抽到“复兴号高铁”的结果只有种，因此所求概率为 ． 5. 随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均增长率的实际应用，根据平均增长率的计算规则列方程即可，增长年后的量=初始量，其中为年平均增长率，为增长年数． 【详解】解：年近视人数为万人，年平均增长率为， ∴年近视人数为， ∴年近视人数为， ∵年近视人数为万人， ∴列方程得． 6. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为四边形是正方形，所以先根据正方形对角线的性质，得到、、的度数，因为平分，所以根据角平分线的定义，计算出的度数，因为，所以代入对应角度即可得到结果． 【详解】在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ， 二次项系数， 抛物线开口向上， 故A选项错误； 由顶点式可知，抛物线顶点坐标为， 故B选项正确； 由抛物线的解析式可知，对称轴为直线， 故C选项错误； 根据二次函数性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而而减小， 故D选项错误. 8. 无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 9. 某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 启动后5分钟时，锅内温度为 B. 加热阶段，与的函数关系式为 C. 启动后15分钟时，锅内温度为 D. 从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别求出加热阶段一次函数解析式、恒温阶段常数、降温阶段反比例函数解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意可知，加热阶段图象过点和， 设加热阶段函数解析式为， 则， 解得， 加热阶段解析式为，故B选项说法正确，不符合题意； 当时，，故A选项说法正确，不符合题意； 恒温阶段时间为10至12分钟，温度为； 降温阶段，y与x成反比例，设，断电时刻为第12分钟，此时温度为， 图象过点 ∴， ∴降温阶段解析式为， 当时，则，故C选项说法正确，不符合题意； 对于D选项，求温度不低于的时长， 在加热阶段，令，解得，时长为， 在恒温阶段，，时长为； 降温阶段，令，解得，时长为， 总时长为；故D选项说法错误．符合题意. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. ，为任意实数 B. ，为任意实数 C. 为任意实数， D. 为任意实数， 【答案】A 【解析】 【分析】四边形是以为边的平行四边形，可知，根据的面积为、，可知边与的距离为，从而可以确定． 【详解】解：四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故A选项符合题意； 四边形是以为边的平行四边形， ， ， 边与的距离为， 点的坐标为， ， 的面积为， 故B选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故C选项不符合题意； 为任意实数，， 无法确定边上的高， 的面积无法确定， 故D选项不符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算： =_____． 【答案】- 【解析】 【分析】先把化简，再进行二次根式的减法计算. 【详解】解：原式= . 【点睛】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握计算法则是解题关键，本题是基础题. 12. 在学习了轴对称以后，小明同学设计了一个其外窗框为正六边形的轴对称窗格，下图为正六边形的外窗框示意图，连接，，交于点，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形的性质得出，，由等边对等角以及三角形内角和定理得出，，由角的和差关系得出，最后由三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵六边形是六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 13. 如图，将沿方向平移得到，点，，的对应点分别为，，．若，，则的长为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据平移的性质得，由此求出，再得到． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，点，，的对应点分别为，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 某地理考察队在某地不同海拔处测量大气压和气温，得到如下近似线性规律：大气压（）是海拔（）的一次函数，海平面时，海拔每升高，气压下降；气温（）与海拔（）也满足一次函数关系，海平面气温为，海拔每升高，气温下降约．考察队使用的气压计存在系统误差，其读数（单位：）比真实大气压偏小．现测得某位置的气压计读数为，则该位置的气温为_______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】先根据气压计读数与真实大气压的关系求出真实大气压，再根据大气压与海拔的一次函数关系求出该位置的海拔，最后根据气温与海拔的一次函数关系求出该位置的气温即可． 【详解】解：∵气压计读数比真实大气压偏小， ∴， 设大气压关于海拔的一次函数解析式为， 由时，，得， 由海拔每升高气压下降，得， ∴大气压关于海拔的一次函数解析式为， 将代入，得， 解得， 设气温关于海拔的一次函数解析式为， 由时，，得， 由海拔每升高气温下降，得， ∴气温关于海拔的一次函数解析式为， 将代入，得． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上，，连接，交于点，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作的延长线于点H，则，由平行四边形的性质以及三角函数的定义分别求出，，利用勾股定理求出，过点E作，由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可求出． 【详解】解：过点D作的延长线于点H， 则， ∵，平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 过点E作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 随着“双减”政策的深入推进，某校为了解学生参加课后服务社团活动的满意度，随机抽取了名学生进行评分（评分为整数，满分10分），所有学生的评分均在6分及以上．将评分数据整理成不完整的条形统计图，如图． 根据上述信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图． （2）填空：这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （3）后来，该兴趣小组又随机抽取了一些学生，这些学生的评分完全相同，与之前的个数据合并后，发现众数变为8分和9分．那么第二次抽取了多少名学生？合并后的数据中，中位数是变大了还是变小了？简单说明理由． 【答案】（1）补全条形统计图如图： （2）8.55；8.5；8 （3）20人；中位数变大了，理由为：合并后的中位数是第110和第111个数据的平均数，由条形统计图可得，合并后前三组人数共100人，前四组人数为170人，故第110和第111个数据均为9分，因此合并后的中位数为9分，原中位数为8.5分，故中位数变大了． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其余评分的人数即可得到评分9分的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （3）根据条形统计图以及众数和中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：分的人数为：，补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：平均数为：（分）； 共200个数据，则中位数是第100和101个数据的平均数， 由条形统计图可得，前三组共个数据，则第101个数据在评分9分这一组， ∴第100和101个数据为8和9， ∴中位数为； 由条形统计图可得，评分8的数据最多，故众数为8； 【小问3详解】 解： 原众数为8分(70人)，要使合并后众数变为8分和9分，需让9分的人数与8分相等，即9分人数变为70人， 因此第二次抽取的学生人数为： (人)，且这些学生的评分均为9分； 和并后总人数为人． 中位数的变化情况见答案． 18. 如图，已知菱形，对角线，相交于点，，． （1）尺规作图：过点作于点，以点为圆心，长为半径作，交于点．（不写画法，保留作图痕迹） （2）求扇形的面积．（结果保留π） 【答案】（1）如图，为所求作的垂线，为所求作的圆． （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作一条直线的垂线的方法，先作出，然后以点为圆心，长为半径作即可； （2）根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，求出，根据勾股定理求出，最后根据扇形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 当前，低空经济快速崛起、应用场景不断拓展，某基建企业承接一批低空智能巡检基站建设任务，需建设甲、乙两类基站，计划共建座． 已知每座乙型基站的建设成本是甲型基站的倍，且企业计划投入万元专门用于修建甲型基站，投入万元专门用于修建乙型基站（资金恰好全部用完）． （1）求每座甲型基站的建设成本为多少万元． （2）基站建成后，每座甲型基站每天可完成次低空巡检任务，每座乙型基站每天可完成次低空巡检任务，则所有基站每天共可完成 次巡检任务． 【答案】（1）每座甲型基站的建设成本为万元 （2）228 【解析】 【分析】（1）设每座甲型基站的建设成本为万元，则每座乙型基站的建设成本为万元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）先求出甲乙型基站的数量，再求总巡检任务次数． 【小问1详解】 解：设每座甲型基站的建设成本为万元，则每座乙型基站的建设成本为万元 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每座甲型基站的建设成本为万元 【小问2详解】 解：甲型基站数量为：（座），乙型基站数量为：（座）， ∴总巡检任务次数为：（次） 答：所有基站每天共可完成次巡检任务． 20. 下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告 研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： （1）请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ． （2）请补全问题的证明过程． （3）在图中，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）③④ （2）证明：， ． 又，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正交四边形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； （2）证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可证明； （3）分别对四个直角三角形运用勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 解：平行四边形和矩形的对角线不满足垂直的性质，故不符合题意； 菱形和正方形的对角线互相垂直且互相平分，故是筝形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴（舍负）． 21. 某校“综合与实践”小组的同学把“大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 大树下的清凉——树荫与太阳高度的动态探究 项目背景 夏季，人们在大树下乘凉时发现，随着时间推移，树荫的长度会不断变化．某数学实践小组决定运用锐角三角函数，探究太阳高度角变化时树荫长度的动态规律，从而更科学地规划乘凉区域．（太阳高度角是指太阳光线与地平面之间的夹角，也叫太阳高度．） 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容及示意 活动一：利用不同时刻的影长求树高 实践小组在上午时测得太阳光线与地面的夹角为，此时树影完全落在地面上，影长为．上午11时，太阳光线与地面的夹角变为，树影长为．测得米… 活动二：利用树影计算休息区的长度 实践小组计划在一棵高为米的大树下设置一个矩形休息区．休息区从树根处开始，沿树影方向铺设．已知下午时太阳光线与地面的夹角为，此时树影顶端恰好落在休息区远端的边缘．一段时间后，太阳高度角变为，树影变长，超出了原休息区的范围．小组决定沿树影方向再新增一段休息区，使新树影的远端也恰好落在新增休息区的边缘． 请根据活动报告计算： （1）求活动一中树的高度． （2）求活动二中需要新增的休息区长度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）解直角三角形得出，，根据米，列出关于的方程，解方程即可； （2）解直角三角形得出（米），（米），即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵米， ∴， 即， 解得：米， 答：树的高度为米； 【小问2详解】 解：根据题意得：米，，，， ∴， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：需要新增的休息区长度为米． 22. 综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： （1）过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： （2）在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； （3）过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 【答案】（1） （2）① ② （3），此时应选择海盗船排队 【解析】 【分析】（1）先根据运行时长和每分钟服务人数计算已入场人数，因为排队人数等于现场总人数减去已入场人数，所以代入对应的表达式即可得到m和x的关系式； （2）①因为工作人员匀速行走，速度已知，行走时间为x分钟，所以根据路程=速度×时间可直接得到s与x的关系式；②当工作人员走到队伍末端时，工作人员与门口的距离等于队伍长度，所以先将L用含m的表达式替换，再将m用含x的表达式替换，得到关于x的方程，解方程即可； （3）首先明确海盗船的运行时间t与过山车运行时间x的关系为，再计算海盗船的已入场人数，得到海盗船排队人数关于x的表达式；然后根据两个项目排队人数相等列方程求解x；最后分别计算两个项目当前排队人员全部入场需要的时间，比较大小即可判断选择哪个项目． 【小问1详解】 根据题意：排队人数现场总人数已入场人数， 已知总人数， 且每分钟服务人，分钟已入场人数为， ． 【小问2详解】 ①工作人员从门口出发，速度为米/分，匀速行走分钟， 根据路程速度时间， ∴； ②工作人员走到队伍末端时，， ∵，且， ∴， 令，， 即： ， 整理得， 解得，（舍去）， 因此． 【小问3详解】 海盗船分钟开始运行， 因此（）， ∴海盗船的排队人数为：总人数已服务人数 令两个项目排队人数相等，即， 代入得： ， 整理得， 解得，， 当时，过山车排队人数， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴， 此时两个项目排队人数均为， 过山车每分钟服务人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 23. 综合与探究 问题情境： 已知矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到四边形，点，，的对应点分别是点，，． 猜想证明： （1）如图，当经过点时，连接并延长交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图，当点落在边的延长线上时，延长交于点，连接证明：四边形是平行四边形； 拓展延伸： （3）若，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，当，，三点共线时，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）解：与的数量关系为，理由如下： 因为矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到四边形， 所以四边形是矩形， 所以，， ， 所以，，， 所以， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接交于点O， 因为矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到四边形， 所以四边形是矩形， 所以，， ， ，， 所以， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质； （2）连接交于点O，证明，得到，继而证明，得到，证明即可； （3）过点D作于点Q，过点D作交的延长线于点M，利用三角函数，勾股定理，分类求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点E落在线段上时， ，， ， ， 根据旋转的性质，得，， ， 过点D作于点Q， 根据三角函数，得， 解得， ， 根据勾股定理，得； 如图，当点E落在线段上时， ，， ， ， 过点D作交的延长线于点M， ， ， ， 根据三角函数，得， 解得， ， 根据勾股定理，得； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $