精品解析：2026年山西省运城市闻喜县中考 二模数学试题

数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列选项中与4的和为0的是（ ） A. B. C. D. 4 2. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 山西是全国重要的能源基地，不仅肩负着保障国家能源供应的重任，近年来还积极推动能源结构优化与绿色转型．近5年来，山西新能源装机容量增长4309万千瓦．数据“4309万”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 铜觚（gū）是商周时期最常见的青铜器之一，也是先秦礼器制度的核心，常与爵构成固定组合，体现了“藏礼于器”的礼制思想，在祭祀、宴等很多场合中常见．如图，该件青铜觚的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组，的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长，交于点D，连接、、若，则的大小为．（ ） A. B. C. D. 8. 某校兴趣小组收集到了围棋、轮滑、篮球、健步走四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图所示），这四张卡片除了正面的图案和编号外其余均相同，该兴趣小组将这四张卡片背面朝上放在桌子上搅匀，从中随机抽取一张不放回，然后再从余下的三张卡片中随机抽取一张，则两次抽取的卡片中有篮球或健步走的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，边在x轴的正半轴上，点A在第一象限，点C在斜边上，点D在反比例函数的图象上（点D在直线的右侧），反比例函数的图象过点A，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 如图，在平行四边形中，已知，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，交边于点，再以点为圆心，的长为半径画弧与边恰好也交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 12. 锣鼓大桥位于中国山西省临汾市尧都区，横跨汾河，桥面设双向十车道及非机动车道、人行道，总宽m米，该桥全长是桥宽的10倍多10米，则锣鼓大桥全长___________米．（用含m的代数式表示） 13. 如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为___________． 14. 在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 15. 如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 18. 为加强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，该校九年级数学实践小组随机抽取所在城镇部分居民家庭统计其4月份用水量，并将居民家庭的用水量x（单位：）分为5组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全条形统计图． （2）若平均用水量小于，则体现所在城镇居民节水意识较强，节水率达到评选节水先进城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇4月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 19. 辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质 发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆? 20. 项目学习 项目背景：为传承三晋历史文化，某校数学实践小组开展“测量运城安邑塔的高度”数学项目学习问题，该小组成员利用皮尺和测角仪测量运城安邑塔的高度，形成了如下活动报告． 项目主题 运城安邑塔的测量与计算 驱动问题 如何利用皮尺、测角仪测量运城安邑塔的高度 活动内容 利用解直角三角形计算线段长 活动过程 方案说明 图1为运城安邑塔实景图． 图2为测量方案示意图，为塔高，为垂直于地面的测角仪，为测量塔顶时的仰角观测线，为测角仪底部到塔底的水平距离，图中所有点均在同一竖直平面内 数据测量 在点处测得塔顶端的仰角为，米，米 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算运城安邑塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：） 21. 阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直腰分割四边形 【概念理解】在一个四边形中，如果一条对角线把这个四边形分成有公共边的一个直角三角形（含等腰直角三角形且对角线不为直角边）和一个等腰三角形（三个内角都没有直角），那么这条对角线叫作这个四边形的直腰分割线，这样的四边形叫作直腰分割四边形．如图1，在四边形中，为对角线，，那么把这条对角线称为四边形的直腰分割线，四边形称为直腰分割四边形． 【问题解决】 问题1：如图1，在四边形中，对角线为四边形的直腰分割线，若，为等边三角形，则直腰分割四边形的周长为________； 问题2：如图2，在四边形中，对角线是四边形的直腰分割线．若，求直腰分割四边形的面积． 解：如图3，连接交于点．对角线是四边形的直腰分割线，，四边形是直腰分割四边形，．，为等边三角形，． 任务： （1）问题1中的空白处四边形的周长为________． （2）请将问题2中的解答过程补充完整． （3）如图4，已知四边形为直腰分割四边形，是其直腰分割线，若为等腰直角三角形，，，请直接写出的度数． 22. 综合与实践 问题情境： 某校九年级小康同学利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备，图1是投篮过程中的截面图，投篮过程中篮球的运动路线可以近似地看作是抛物线的一部分． 实验数据： 如图1，小康投篮的运动轨迹可以近似地用抛物线来刻画，篮球运动的水平距离为米，篮球距离水平地面的竖直高度为米，当小康投篮后篮球运动的水平距离为0.5米时，竖直高度为2.625米；当篮球运动的水平距离为1米时，竖直高度为3米． 数学建模： 如图2，以水平地面所在的直线为轴，小康投篮时的站立点为点，过点所作的垂线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求篮球运动轨迹的抛物线表达式． （2）求篮球飞行的最大高度． （3）若篮球与轴的水平距离1.2米处的竖直高度满足米视为有效投篮，请你通过计算说明小康此次投篮是否有效． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，E是上的一点，连接，将沿着折叠，得到，折痕为，且点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上的一个动点，连接，作关于线段的对称线段，射线交射线于点G，连接． 猜想证明： （1）如图1，当点恰好落在边上时，过点E作于点H．试判断的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图2，当点在矩形的外部时，过点E作于点H．当时，求的长． 问题解决： （3）当时，且点G在线段的延长线上时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列选项中与4的和为0的是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴与4的和为0的是. 2. 道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断选项：轴对称图形是沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合；中心对称图形是绕某一点旋转后能和原图重合．分别分析四个交通标志，找出同时满足两个条件的图案． 【详解】解：选项A：旋转后无法与原图重合，没有对称轴，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 选项B：有竖直对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后文字颠倒，无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C：有竖直对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后图案反向，无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D：存在多条对称轴，是轴对称图形；绕圆心旋转后图案和原图完全重合，是中心对称图形，符合题意． 3. 山西是全国重要的能源基地，不仅肩负着保障国家能源供应的重任，近年来还积极推动能源结构优化与绿色转型．近5年来，山西新能源装机容量增长4309万千瓦．数据“4309万”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数．据此将原数4309万转换为科学记数法，即可作答． 【详解】解：依题意，4309万 故选：C 4. 铜觚（gū）是商周时期最常见的青铜器之一，也是先秦礼器制度的核心，常与爵构成固定组合，体现了“藏礼于器”的礼制思想，在祭祀、宴等很多场合中常见．如图，该件青铜觚的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，该件青铜觚的左视图为． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 6. 不等式组，的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，选出正确结果． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为 ． 7. 如图，点A、B、C在上，，连接并延长，交于点D，连接、、若，则的大小为．（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明，进而可得结论． 【详解】解：，， ，， ， ， 是直径， ， ， 故选：C． 8. 某校兴趣小组收集到了围棋、轮滑、篮球、健步走四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图所示），这四张卡片除了正面的图案和编号外其余均相同，该兴趣小组将这四张卡片背面朝上放在桌子上搅匀，从中随机抽取一张不放回，然后再从余下的三张卡片中随机抽取一张，则两次抽取的卡片中有篮球或健步走的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两次抽取的卡片中有篮球或健步走的情况有10种， ∴两次抽取的卡片中有篮球或健步走的概率为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，边在x轴的正半轴上，点A在第一象限，点C在斜边上，点D在反比例函数的图象上（点D在直线的右侧），反比例函数的图象过点A，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，设，可求得，所以，再将代入求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ，点D的横坐标为， 当时，， ， ， ， ． 10. 如图，在平行四边形中，已知，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，交边于点，再以点为圆心，的长为半径画弧与边恰好也交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交点为，由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质得，即得，即得到，又由是等边三角形得，，得，，得到，即得，得到， 又由，得，进而得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交点为， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：进行二次根式的简便运算，把看作、2看作，直接套用公式化简求值． 【详解】解：由平方差公式， 令，， ． 12. 锣鼓大桥位于中国山西省临汾市尧都区，横跨汾河，桥面设双向十车道及非机动车道、人行道，总宽m米，该桥全长是桥宽的10倍多10米，则锣鼓大桥全长___________米．（用含m的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题意，得 锣鼓大桥全长为米． 13. 如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】利用两直线平行同旁内角互补及入射角等于反射角，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵入射角反射角， ∴． 14. 在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 【答案】90 【解析】 【分析】坡度，构造直角三角形，设竖直下降高度、水平距离分别用含未知数的式子表示，再利用勾股定理结合斜坡总长150米列方程求解． 【详解】解：已知斜坡坡度， 即， 设下降高度米，则水平前进距离米， 由勾股定理，斜坡斜面长， 沿斜坡行进总长150米， ， 解得：， 下降高度米． 15. 如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，构造矩形，利用旋转性质求出长度；再构造辅助线，利用中点结合中位线及直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】提示：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 由题意可知，是的中点， 根据平行线分线段成比例，则， 是的中点， 是的中位线， ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式， ． 【小问2详解】 ， 解：方程两边同时乘得， ， ， 解得， 检验：当时，， 因此，原方程的解为． 17. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义等知识，正确作出角平分线是解答的关键． （1）按照作角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义推导出，，再根据等角对等边得到即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图，射线为所求． 【小问2详解】 解：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 为加强学生节约用水意识，某校举办了以“节水护水”为主题的活动．结合该主题活动，该校九年级数学实践小组随机抽取所在城镇部分居民家庭统计其4月份用水量，并将居民家庭的用水量x（单位：）分为5组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．再对收集到的数据进行统计、整理后，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全条形统计图． （2）若平均用水量小于，则体现所在城镇居民节水意识较强，节水率达到评选节水先进城镇的标准．若分别用4，6，8，10，12作为A，B，C，D，E这五组用水量的平均数，估计该城镇4月份用水量的节水率是否达到评选要求，并对城镇家庭提出一条节水建议． 【答案】（1）54°；补全条形统计图如图所示． （2）该城镇4月份用水量的节水率没有达到评选要求，建议：一水多用，洗澡水冲厕所． 【解析】 【分析】(1)先根据A组户数和所占百分比算出抽查总户数，再用总户数减去其余四组户数得到D组数量，依据D组占总数的比例乘算出圆心角度数，最后在条形图D位置补画高度为30的长条． (2)利用各组给定的平均数作为组中值，通过加权平均数公式算出整体平均用水量，和比较大小判断是否达标，再结合生活实际写出合理节水建议． 【小问1详解】 解：抽取的总户数为（户）， D组的户数为（户）， D组所对应的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：， 该城镇4月份用水量的节水率没有达到评选要求， 建议：一水多用，洗澡水冲厕所． 19. 辐射诱变育种，又称辐射育种或核能育种，是指利用X射线、γ射线、中子、离子束或电子束等电离辐射源照射植物种子、植株或其他生物材料，诱发其遗传物质 发生可遗传的突变，进而从中筛选和培育具有高产、早熟、抗病、抗逆、优质等优良性状新品种的一种育种方法．我国培育成功的辐射诱变育种盆栽新品彩叶草价格为29元/盆，精品盆栽菊花价格为99元/盆． （1）某公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，请计算购买新品彩叶草和精品盆栽菊花的盆数． （2）若该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，所需购买两种盆栽的总数仍为200盆，则最多可购买精品盆栽菊花多少盆? 【答案】（1）购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆 （2）45盆 【解析】 【分析】（1）设购买新品彩叶草x盆，购买精品盆栽菊花y盆．公司计划购买这两种辐射诱变育种盆栽共200盆，若购买这两种盆栽的总价为10000元，据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买精品盆栽菊花m盆，则购买新品彩叶草盆，该公司购买这两种辐射诱变育种盆栽的预算资金不超过9000元，据此列出不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买新品彩叶草x盆，购买精品盆栽菊花y盆． 由题意得 解得 答：购买新品彩叶草140盆，购买精品盆栽菊花60盆． 【小问2详解】 解：设购买精品盆栽菊花m盆，则购买新品彩叶草盆， 由题意得， 解得． 答：最多可购买精品盆栽菊花45盆． 20. 项目学习 项目背景：为传承三晋历史文化，某校数学实践小组开展“测量运城安邑塔的高度”数学项目学习问题，该小组成员利用皮尺和测角仪测量运城安邑塔的高度，形成了如下活动报告． 项目主题 运城安邑塔的测量与计算 驱动问题 如何利用皮尺、测角仪测量运城安邑塔的高度 活动内容 利用解直角三角形计算线段长 活动过程 方案说明 图1为运城安邑塔实景图． 图2为测量方案示意图，为塔高，为垂直于地面的测角仪，为测量塔顶时的仰角观测线，为测角仪底部到塔底的水平距离，图中所有点均在同一竖直平面内 数据测量 在点处测得塔顶端的仰角为，米，米 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算运城安邑塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：） 【答案】71米 【解析】 【分析】作辅助线构造直角三角形，利用矩形性质转化边长，再借助锐角正切函数求出塔身上半段高度，最后加上测角仪高度得到安邑塔总高． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 根据题意可知， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， （米）， （米）． 21. 阅读与思考 下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直腰分割四边形 【概念理解】在一个四边形中，如果一条对角线把这个四边形分成有公共边的一个直角三角形（含等腰直角三角形且对角线不为直角边）和一个等腰三角形（三个内角都没有直角），那么这条对角线叫作这个四边形的直腰分割线，这样的四边形叫作直腰分割四边形．如图1，在四边形中，为对角线，，那么把这条对角线称为四边形的直腰分割线，四边形称为直腰分割四边形． 【问题解决】 问题1：如图1，在四边形中，对角线为四边形的直腰分割线，若，为等边三角形，则直腰分割四边形的周长为________； 问题2：如图2，在四边形中，对角线是四边形的直腰分割线．若，求直腰分割四边形的面积． 解：如图3，连接交于点．对角线是四边形的直腰分割线，，四边形是直腰分割四边形，．，为等边三角形，． 任务： （1）问题1中的空白处四边形的周长为________． （2）请将问题2中的解答过程补充完整． （3）如图4，已知四边形为直腰分割四边形，是其直腰分割线，若为等腰直角三角形，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）17 （2）， ， ， 垂直平分AC， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再结合等边三角形性质求周长； （2）由勾股定理求出，再结合勾股定理求出的长，最后求面积； （3）根据等腰直角三角形性质求，再结合勾股定理求得，得到的度数，最后求出的度数． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理： ， 是等边三角形， ， 则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，与交于点， 四边形为直腰分割四边形，是其直腰分割线，为等腰直角三角形， ， ． ∵， 垂直平分， ． ， ， ． 22. 综合与实践 问题情境： 某校九年级小康同学利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备，图1是投篮过程中的截面图，投篮过程中篮球的运动路线可以近似地看作是抛物线的一部分． 实验数据： 如图1，小康投篮的运动轨迹可以近似地用抛物线来刻画，篮球运动的水平距离为米，篮球距离水平地面的竖直高度为米，当小康投篮后篮球运动的水平距离为0.5米时，竖直高度为2.625米；当篮球运动的水平距离为1米时，竖直高度为3米． 数学建模： 如图2，以水平地面所在的直线为轴，小康投篮时的站立点为点，过点所作的垂线为轴建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求篮球运动轨迹的抛物线表达式． （2）求篮球飞行的最大高度． （3）若篮球与轴的水平距离1.2米处的竖直高度满足米视为有效投篮，请你通过计算说明小康此次投篮是否有效． 【答案】（1） （2）3.125米 （3）小康此次投篮有效 【解析】 【分析】（1）把，、，代入，列二元一次方程组求解、； （2）二次函数化为顶点式，在顶点处取最大值； （3）将代入解析式算出，对比． 【小问1详解】 解：将点和代入，得 ， 解得， 故篮球运动轨迹的抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：， 有最大值， 当时，， 篮球飞行的最大高度为3.125米． 【小问3详解】 解：当时，， 视为有效投篮，而， 小康此次投篮有效． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，E是上的一点，连接，将沿着折叠，得到，折痕为，且点C关于的对称点F恰好落在边上，P是边上的一个动点，连接，作关于线段的对称线段，射线交射线于点G，连接． 猜想证明： （1）如图1，当点恰好落在边上时，过点E作于点H．试判断的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图2，当点在矩形的外部时，过点E作于点H．当时，求的长． 问题解决： （3）当时，且点G在线段的延长线上时，请直接写出的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形． 理由：四边形是矩形， ． 由折叠可得， 四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ． ， ． 由题意知 ． ． 由折叠的性质可得，，， ． 为等腰直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质、特殊角的三角函数、正方形的判定和性质进行证明即可； （2）证明，根据相似三角形的性质进行解答即可． （3）求出，求出，根据三角形的面积公式即可求出答案 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得． 设，则， ． ． 由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ． ． ． 【小问3详解】 点G在线段的延长线上时，过点E作于点H，根据题意，得四边形是正方形， ． ． ． ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $