江西七校2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题

**基本信息** 立足高考范围，通过居民锻炼统计、芯片质量正态分布等真实情境，结合立体几何外接球、函数导数证明等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高二阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、向量、直线与圆|基础概念与图像直观结合| |多选题|3/18|立体几何、抛物线、正态分布|科技情境（芯片质量）与空间想象| |填空题|3/15|函数切线、椭圆、等比数列|运算能力与模型应用| |解答题|5/77|统计（独立性检验）、四棱锥（二面角）、导数（零点证明）|分层设计，从数据分析到逻辑论证，呼应高考命题趋势|

江西省七校2027届高二6月测试数学试卷 命题人：丰城中学 张燃 审题人：东乡一中 张峰 2026.6.10 考试范围：高考范围 本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数z满足，则（ ） A. i B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 5．已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（ ） A. 48 B. 82 C. 32 D. 64 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 10. 抛物线：的焦点为F，以为圆心，为半径得到圆D，圆D上有一点.过点F的直线与E交于P，Q两点，与圆D另交于点M，则（ ） A. B. 当时，P的横坐标为3 C. 当时， D. 11. 芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 若，则M最有可能的取值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 14. 已知等比数列中，，又数列满足，，若为数列的前项和，那么______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（本小题满分13分）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分）如图，在等腰中，，，D为边AB上的一动点，连接CD，作，垂足为E，且E在线段CD上（不包括端点C，D）． （1）若，求AD的长度； （2）求的取值范围． 17．（本小题满分15分）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． （1）若点，且，求点的坐标； （2）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：平面平面； （2）当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 19．（本小题满分17分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，求的最大值； （3）若函数有零点，证明：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省七校2027届高二6月测试数学试卷参考答案 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B C D A C D A B 二 、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 选项 BC AC ACD 12. 13. 14. 11.【详解】A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，故A正确； B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； C， ，故C正确； D，， 设，， 解得，，由， 解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 15.【小问1详解】零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关. 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ， ……………………………4分. 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．……………………………6分 【小问2详解】由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，所以， ，，……………………………10分 所以的分布列： 0 1 2 P 所以的数学期望为. ……………………………13分 16.【小问1详解】在中，，，由正弦定理可得，， ∴. ……………………………5分 【小问2详解】不妨设，则，，， 在中，由正弦定理得， ……………………………7分 则，………………………10分 由于，得，∴，……………………………12分 ∴，∴.……………………………15分 17.【小问1详解】双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即，……………………………4分 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为；……………………………6分 【小问2详解】设直线， ， 则，……………………………8分 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以，……………………………10分 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， ……………………………12分 代入化简可得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. ……………………………15分 18.【小问1详解】证明：平面 平面，∴平面平面， 又∵平面平面，且，平面， 又平面，故．在中，，E为线段的中点，则． 因为平面，平面，，平面． 平面，∴平面平面．……………………………4分 【小问2详解】（i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，， ，，设为平面的一个法向量．故即取，……………………………8分 取为平面的一个法向量． ，解得，故． ……………………………10分 （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n．……………………………12分 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积，……………………………15分 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则． 即化简可得, 因为，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． ……………………………17分 19.【小问1详解】因为 ，所以 ， ①若，则 ，所以在上单调递增； ②若，则由 ，得，由 ，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． ……………………………4分 【小问2详解】法1：由，即，得． 当，时，，下面证明此时成立， 此时 ，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以成立．综上，的最大值为．……………………………9分 法2：①若，则 当时， ， 当时，，所以当且时，，不合题意． ②若，则 的值域为，所以，所以． ③若，则结合（1）得， ， 即，即，所以， 令 ，则 ， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以 ， 当时，．综上，的最大值为．……………………………9分 【小问3详解】法1：若有零点，设零点为， 则 ， 即， 即 ，这说明点在直线 上， ……………………………11分 设点到直线的距离为，则 ，即，………………………13分 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以 ． ……………………………17分 法2：若有零点，设零点为，则 ， 即，即 ， ……………………………13分 设，则， 即 ，其中， ……………………………15分 所以，所以， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以 ． ……………………………17分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $