1.2 有理数及其大小比较 知识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版七年级上册（十八题型）

**基本信息** 本同步练以18题型为框架，通过典例引领+变式训练分层设计，覆盖有理数概念、分类、数轴等5大知识点，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，适配新授课基础夯实与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|有理数概念、分类等单一知识点|以选择判断题为主，如题型01有理数认识，培养抽象能力| |技能巩固|数轴画法、相反数求法等基本技能|增加分类填空，如题型02有理数分类，强化推理意识| |综合应用|数轴动点、绝对值非负性等综合问题|融入动态情境，如题型07数轴动点，发展几何直观与应用意识|

1.2有理数及其大小比较知识归纳与题型突破2026-2027 学年人教版七年级上册（十八题型） 知识归纳 知识点1. 有理数的概念 1.自然数：0和正整数统称为自然数。 2.整数：正整数、零和负整数统称整数。 3.分数：正分数和负分数统称分数。 4.有理数：整数和分数统称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 （1）是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 （2）有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 知识点2. 有理数的分类 注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 1.有理数按符号（正、负）分类如下： 2.有理数按定义分类如下： 【注意】 1.整数中除了正整数和负整数，还有0. 2.两个整数的比，如 2/3,-1/2 等、有限小数(如0.2，－3.14等)、无限循环小数等都是分数； 3.小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数(无理数)，不在有理数的学习范围.所以，我们不能说小数都是有理数. 4.能约分成整数的数不能算做分数，如15/3。 知识点3. 数轴的概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 2.数轴的画法. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限. 【方法总结】 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 知识点4. 相反数的概念 1.相反数的概念 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）一般地，a和-a互为相反数. （3）特别地，0的相反数是0. 2.相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称. 【方法总结】1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有2个，它们分别在原点的左右，表示-a和 a，我们说这两点关于原点对称. 2.a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数. 3.求一个数的相反数方法：在这个数前加一个“－”号． 4.化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负. 知识点5. 绝对值的概念 概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a| 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a=0，那么|a| =0 （3）如果a＜0，那么|a| =-a 【知识总结】 1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥0 2.相反数、绝对值的联系是什么？ （1）互为相反数的两个数的绝对值相等. （2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值. 知识点5. 有理数大小比较的法则 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 【方法总结】比较有理数大小的方法. 方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 题型突破 题型01 有理数的认识 【典例1】下列各数中，是有理数的是（　　） A． B．π C． D． 【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【变式4】下列说法中正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数； ②一个有理数，不是正数就是负数； ③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正的就是负的； ⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 对有理数进行分类 【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{　 　…}； （2）分数集合：{　 　…}； （3）非负整数集合：{　 　…}； （4）负有理数集合：{　 　…}。 【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内： ﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12% 整数集合{　 　…}； 正分数集合{　 　…}； 非正整数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}． 【变式2】把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，． 正数集合{　 　…}； 负分数集合{　 　…}； 非负整数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}． 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合{　 　…}；； 整数集合{　 　…}；； 正分数集合{　 　…}；； 非正数集合{　 　…}；； 有理数集合{　 　…}；． 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{　 　…}； （2）负数集合：{　 　…}； （3）整数集合：{　 　…}； （4）分数集合：{　 　…}； （5）非负整数集合：{　 　…} 题型03 对“非”字的有理数的理解 【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　　个． 【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（　　） 【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型04 数轴的画法 【典例1】下列表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各图中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 题型05 数轴与有理数的关系 【典例1】如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【变式2】如图，数轴上表示数﹣1.5的点所在的线段是（　　） A．AB B．BO C．OC D．CD 【变式3】分别写出数轴上A、B、C表示的数． 【变式4】把下列各数：2.5，﹣3，0，，﹣1.6 （1）分别在数轴上表示出来： （2）将上述的有理数填入图中相应的圈内． 题型06 数轴上点与点之间的距离 【典例1】在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【变式1】数轴上到原点的距离等于3的点表示的数是 　 ． 【变式2】数轴上点A表示﹣4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．7 D．1 【变式3】在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　） A． B． C．5 D．﹣5 【变式4】在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（　　） A．5 B．﹣7 C．5或﹣7 D．8 【变式5】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（　　） A．6 B．6或﹣6 C．11或﹣6 D．11或﹣1 题型07 数轴上的动点问题 【典例1】在数轴上，点A表示数﹣5，将点A在数轴上移动7个单位长度到达点B，则点B所表示的数为（　　） A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12 【变式1】数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【变式2】如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣3，则a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【变式3】如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（　　） A．π B．﹣1+π C．2π﹣1 D．﹣π 【变式4】如图，直径为1的圆上有一点A，且点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点A再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（　　） A．3与4之间 B．6与7之间 C．﹣7与﹣6之间 D．﹣5与﹣4之间 题型08 数轴的折叠问题 【典例1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【变式1】在数轴上，与表示﹣2和4的点距离相等的点所表示的数为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式2】在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣1的点与表示3的点重合，表示数7的点与点A重合，则点A表示的数是（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣7 D．﹣5 【变式3】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数﹣2对应的点与数4对应的点重合．则： （1）数轴上数8对应的点与数 　 　对应的点重合； （2）若数轴上两点A，B（点A在B的左侧），折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，则点A表示的数为 　 　． 【变式4】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： 2 2表示的点与数 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为：　 ． 题型09 判断两个数是否为相反数 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．2与﹣2 B．2与 C．与﹣2 D．﹣2与 【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 【变式2】下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+3和﹣（﹣3） B．3和 C．﹣2和 D．+（﹣4）和﹣（﹣4） 【变式3】下列各对数中，互为相反数的（　　） A．和﹣（+0.5） B．和0.3333 C．和﹣1.25 D．﹣（﹣2）和+（+2） 【变式4】下列不是互为相反数的是（　　） A．﹣|﹣3|与+3 B．+（﹣3）与3 C．﹣（﹣3）与3 D．﹣（﹣3）与﹣3 题型10 求数或式子的相反数 【典例1】实数﹣的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D． 【变式1】已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣3 【变式2】﹣（﹣6）的相反数是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【变式3】a﹣b的相反数是（　　） A．﹣a+b B．﹣a﹣b C．a+b D．a﹣b 【变式4】a+b﹣c的相反数是（　　） A．﹣a﹣b+c B．a﹣b+c C．﹣a+b+c D．﹣a﹣b﹣c 【变式5】（1）π﹣3的相反数是 　 ，π+1的相反数是 　 　； （2）a﹣b的相反数是 　 　，a+b的相反数是 　 　； （3）﹣a﹣b+c的相反数是 　 ． A．a﹣b+c B．﹣a+b﹣c C．a+b﹣c D．﹣a﹣b﹣c 题型11 相反数的性质 【典例1】若a与1互为相反数，则a+1＝（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【变式1】若代数式3x和2x﹣5互为相反数，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【变式2】设a与b互为相反数，则＝　 　． 【变式3】若a和b互为相反数，则（a+b）2024结果是 　 　． 【变式4】已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（　　） A．p•q＝1 B． C．p+q＝0 D．p﹣q＝0 题型12 相反数与数轴 【典例1】如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是　 　． 【变式1】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是（　　） A．﹣4，4 B．4，﹣4 C．8，﹣8 D．﹣8，8 【变式3】已知：数轴上A点表示+8，B、C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？ 【变式4】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是　 　．（用“＞”连接） 题型13 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（　　） A．2a B．0 C．﹣2a D．a 【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【变式4】已知ab＞0，则++＝（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 题型14 绝对值的非负性 【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　． 【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　﹣ 　． 【变式5】当a＝　1　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　． 题型15 根据绝对值的意义求字母的取值范围 【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【变式3】若|a|＞a，则a是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 题型16 绝对值与相反数 【典例1】若|x|＝3，则x＝　 ． 【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝　 　；若|x﹣7|＝2，则x＝ 　． 【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为　 　，b的值为　 　． 【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝﹣b C．相等或互为相反数 D．a、b均为0 【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（　　） A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1 题型17 绝对值与数轴 【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a＞﹣1 B．b＜1 C．|a|＜|b| D．﹣a＜﹣b 题型18 有理数的大小比较 【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，2.5． 【变式1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b从大到小的顺序为 　 　． 强化训练 1. 指出下列各数中的整数和分数： -12，+5，-0.6, 0，﹣ 2.在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.不能确定 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 6．﹣3的相反数是（ ） A． B． C． D． 7．﹣3的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 8．已知，是2的相反数，则的值为(　　) A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3 9. 在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接. 10．在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　） A． 2.5 B．﹣2.5 C． 0 D．3 11.完成下列填空 （1）既是分数又是负数的数是_______； （2）非负数包括________和_______； （3）非正数包括________和_______； （4）非负整数包括________和_______；又称为________； （5）非负分数包括________和_______； （6）非正分数包括________和_______. 12. 若-（-a）=3，则-a= 。 13．|﹣6.18|=　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2有理数及其大小比较知识归纳与题型突破2026-2027 学年人教版七年级上册（十八题型） 知识归纳 知识点1. 有理数的概念 1.自然数：0和正整数统称为自然数。 2.整数：正整数、零和负整数统称整数。 3.分数：正分数和负分数统称分数。 4.有理数：整数和分数统称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 （1）是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 （2）有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 知识点2. 有理数的分类 注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 1.有理数按符号（正、负）分类如下： 2.有理数按定义分类如下： 【注意】 1.整数中除了正整数和负整数，还有0. 2.两个整数的比，如 2/3,-1/2 等、有限小数(如0.2，－3.14等)、无限循环小数等都是分数； 3.小数除有限小数、无限循环小数外，还有一类无限不循环小数(无理数)，不在有理数的学习范围.所以，我们不能说小数都是有理数. 4.能约分成整数的数不能算做分数，如15/3。 知识点3. 数轴的概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 2.数轴的画法. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0是正负数的分界限. 【方法总结】 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度． 知识点4. 相反数的概念 1.相反数的概念 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. （2）一般地，a和-a互为相反数. （3）特别地，0的相反数是0. 2.相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称. 【方法总结】1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有2个，它们分别在原点的左右，表示-a和 a，我们说这两点关于原点对称. 2.a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数. 3.求一个数的相反数方法：在这个数前加一个“－”号． 4.化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负. 知识点5. 绝对值的概念 概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记做|a| 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a=0，那么|a| =0 （3）如果a＜0，那么|a| =-a 【知识总结】 1.任何一个有理数的绝对值都是非负数，|a|≥0 2.相反数、绝对值的联系是什么？ （1）互为相反数的两个数的绝对值相等. （2）绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 3.几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 4.注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值. 知识点5. 有理数大小比较的法则 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 【方法总结】比较有理数大小的方法. 方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大． 方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 题型突破 题型01 有理数的认识 【典例1】下列各数中，是有理数的是（　　） A． B．π C． D． 【答案】C． 【变式1】在1.5，﹣2，，﹣0.7，6，15%中，负分数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．自然数就是非负整数 B．正数和负数统称为有理数 C．零是最小的有理数 D．有最小的正整数，没有最大的负整数 【答案】A． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【答案】B． 【变式4】下列说法中正确的是（　　） A．一个有理数不是正数就是负数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正分数、0、负分数统称为分数 D．正整数与正分数统称为正有理数 【答案】D． 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①0是最小的整数； ②一个有理数，不是正数就是负数； ③若a是正数，则﹣a是负数； ④自然数一定是正数； ⑤一个整数不是正的就是负的； ⑥一个有理数不是整数就是分数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 题型02 对有理数进行分类 【典例1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ﹣11，，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%． （1）整数集合：{　 　…}； （2）分数集合：{　 　…}； （3）非负整数集合：{　 　…}； （4）负有理数集合：{　 　…}。 【答案】（1）﹣11，﹣9，0，+12； （2），﹣6.4，﹣4%； （3）0，+12； （4）﹣11，，﹣9，﹣6.4，﹣4%． 【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内： ﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12% 整数集合{　 　…}； 正分数集合{　 　…}； 非正整数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}． 【答案】解：整数集合{﹣7，0，10，﹣ …}； 正分数集合{3.5，，0.03，12% …}； 非正整数集合{﹣7，3.5，0，，0.03，﹣3，﹣，12% …}； 有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣，12%...}． 【变式2】把下列各数填在相应的集合中： 15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，． 正数集合{　 　…}； 负分数集合{　 　…}； 非负整数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}． 【答案】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，π，…}； 负分数集合{﹣，﹣3.1…}； 非负整数集合{15，171，0…}； 有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，…}． 故答案为：15，0.81，，171，3.14，π，；﹣，﹣3.1；15，171，0；15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，． 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合{　 　…}；； 整数集合{　 　…}；； 正分数集合{　 　…}；； 非正数集合{　 　…}；； 有理数集合{　 　…}；． 【答案】解：自然数集合：{0，10…}； 整数集合：{﹣7，0，10，﹣…}； 正分数集合：{3.5，，0.03…}； 非正数集合：{﹣7，﹣3.1415，0，﹣3，﹣0.，﹣…}； 有理数集合：{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣…}． 【变式4】把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{　 　…}； （2）负数集合：{　 　…}； （3）整数集合：{　 　…}； （4）分数集合：{　 　…}； （5）非负整数集合：{　 　…} 【答案】解：（1）正数集合：{+27，，3.14……}； （2）负数集合：{﹣13.5，﹣，﹣10……}； （3）整数集合：{0，+27，﹣10……}； （4）分数集合：{﹣13.5，﹣，，3.14……}； （5）非负整数集合：{0，+27……}， 故答案为：（1）+27，，3.14；（2）﹣13.5，﹣，﹣10；（3）0，+27，﹣10；（4）﹣13.5，﹣，，3.14；（5）0，+27 题型03 对“非”字的有理数的理解 【典例1】在数﹣5.2，0，，2011，﹣71，3.14中，非负整数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【变式1】在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　3　个． 【答案】3． 【变式2】在有理数﹣3，0，，，3.7，﹣2.5中，非负数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【变式3】在﹣5，2.3，0，π，五个数中，非负有理数共有（　　） 【答案】B． 【变式4】有理数﹣3，0.618，中，非正数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 题型04 数轴的画法 【典例1】下列表示数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【变式1】图中所画的数轴，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【变式2】下列各图中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 题型05 数轴与有理数的关系 【典例1】如图，数轴上点P表示的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A． 【变式1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【答案】B． 【变式2】如图，数轴上表示数﹣1.5的点所在的线段是（　　） A．AB B．BO C．OC D．CD 【答案】A． 【变式3】分别写出数轴上A、B、C表示的数． 【答案】解：数轴上A、B、C表示的数分别是：﹣2.5，0，3.5． 【变式4】把下列各数：2.5，﹣3，0，，﹣1.6 （1）分别在数轴上表示出来： （2）将上述的有理数填入图中相应的圈内． 【答案】解：（1）在数轴上表示如下： （2） 题型06 数轴上点与点之间的距离 【典例1】在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】C． 【变式1】数轴上到原点的距离等于3的点表示的数是 　 ． 【答案】±3． 【变式2】数轴上点A表示﹣4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．7 D．1 【答案】C． 【变式3】在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　） A． B． C．5 D．﹣5 【答案】D． 【变式4】在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于6的点表示的数是（　　） A．5 B．﹣7 C．5或﹣7 D．8 【答案】C． 【变式5】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（　　） A．6 B．6或﹣6 C．11或﹣6 D．11或﹣1 【答案】D． 题型07 数轴上的动点问题 【典例1】在数轴上，点A表示数﹣5，将点A在数轴上移动7个单位长度到达点B，则点B所表示的数为（　　） A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12 【答案】D． 【变式1】数轴上的点M距原点5个单位长度，将点M向右移动3个单位长度至点N，则点N表示的数是（　　） A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2 【答案】D． 【变式2】如图，一个点在数轴上从原点开始先向右移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣3，则a的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【答案】B． 【变式3】如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（　　） A．π B．﹣1+π C．2π﹣1 D．﹣π 【答案】D． 【变式4】如图，直径为1的圆上有一点A，且点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点A再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（　　） A．3与4之间 B．6与7之间 C．﹣7与﹣6之间 D．﹣5与﹣4之间 【答案】D． 题型08 数轴的折叠问题 【典例1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【答案】C． 【变式1】在数轴上，与表示﹣2和4的点距离相等的点所表示的数为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C． 【变式2】在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣1的点与表示3的点重合，表示数7的点与点A重合，则点A表示的数是（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣7 D．﹣5 【答案】D． 【变式3】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数﹣2对应的点与数4对应的点重合．则： （1）数轴上数8对应的点与数 　 　对应的点重合； （2）若数轴上两点A，B（点A在B的左侧），折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5，则点A表示的数为 　 　． 【答案】解：（1）记折叠处为点C， ∵数轴上数﹣2对应的点与数4对应的点重合， ∴点C表示的数为， 由折叠的性质可知，8到C的距离和其对应点到C的距离相等， 又∵8﹣1＝7，1﹣7＝﹣6， ∴数轴上数8对应的点与数﹣6对应的点重合； 故答案为：﹣6． （2）∵折叠前A、B两点间的距离为50，折叠后A，B两点间的距离为5， ①当AC﹣BC＝5时， 由题知，AC+BC＝50， ∴由上面两式整理可得，2AC＝55，解得AC＝27.5， ∵点C表示的数为1，点A在B的左侧， ∴点A表示的数为1﹣27.5＝﹣26.5， ②当BC﹣AC＝5时， 由题知，AC+BC＝50， ∴由上面两式整理可得，2AC＝45，解得AC＝22.5， ∵点C表示的数为1，点A在B的左侧， ∴点A表示的数为1﹣22.5＝﹣21.5， 综上所述，点A表示的数为﹣21.5或﹣26.5． 故答案为：﹣21.5或﹣26.5． 【变式4】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： 2 2表示的点与数 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为：　 ． 【答案】解：折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合， 所以折叠点对应的数为； ①设2表示的点所对应的点表示的数为x， 则， 解得x＝﹣4， 即2表示的点与数﹣4表示的点重合； 故答案为：﹣4； ②数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合， 则A点表示的数为﹣1﹣＝﹣5.5， 故答案为：﹣5.5． 题型09 判断两个数是否为相反数 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．2与﹣2 B．2与 C．与﹣2 D．﹣2与 【答案】A． 【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1 【答案】B． 【变式2】下列两个数中，互为相反数的是（　　） A．+3和﹣（﹣3） B．3和 C．﹣2和 D．+（﹣4）和﹣（﹣4） 【答案】D． 【变式3】下列各对数中，互为相反数的（　　） A．和﹣（+0.5） B．和0.3333 C．和﹣1.25 D．﹣（﹣2）和+（+2） 【答案】C． 【变式4】下列不是互为相反数的是（　　） A．﹣|﹣3|与+3 B．+（﹣3）与3 C．﹣（﹣3）与3 D．﹣（﹣3）与﹣3 【答案】C． 题型10 求数或式子的相反数 【典例1】实数﹣的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D． 【答案】D． 【变式1】已知﹣3的相反数是a，则a的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣3 【答案】A． 【变式2】﹣（﹣6）的相反数是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】C． 【变式3】a﹣b的相反数是（　　） A．﹣a+b B．﹣a﹣b C．a+b D．a﹣b 【答案】A． 【变式4】a+b﹣c的相反数是（　　） A．﹣a﹣b+c B．a﹣b+c C．﹣a+b+c D．﹣a﹣b﹣c 【答案】A． 【变式5】（1）π﹣3的相反数是 　﹣π+3　，π+1的相反数是 　﹣π﹣1　； （2）a﹣b的相反数是 　﹣a+b　，a+b的相反数是 　﹣a﹣b　； （3）﹣a﹣b+c的相反数是 　C　． A．a﹣b+c B．﹣a+b﹣c C．a+b﹣c D．﹣a﹣b﹣c 【答案】C． 题型11 相反数的性质 【典例1】若a与1互为相反数，则a+1＝（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【答案】B． 【变式1】若代数式3x和2x﹣5互为相反数，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【答案】A． 【变式2】设a与b互为相反数，则＝　 　． 【答案】0． 【变式3】若a和b互为相反数，则（a+b）2024结果是 　 　． 【答案】0． 【变式4】已知p与q互为相反数，且p≠0，那么下列关系式正确的是（　　） A．p•q＝1 B． C．p+q＝0 D．p﹣q＝0 【答案】C． 题型12 相反数与数轴 【典例1】如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是　 　． 【答案】﹣2． 【变式1】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示﹣2的相反数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D． 【变式2】已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是（　　） A．﹣4，4 B．4，﹣4 C．8，﹣8 D．﹣8，8 【答案】A． 【变式3】已知：数轴上A点表示+8，B、C两点表示的数为互为相反数，且C到A的距离为3，求点B和点C各对应什么数？ 【答案】解：∵当点C在A的左边时，+8﹣3＝5， 当点C在A点的右边时，+8+3＝11， ∴C点表示的数是5或11， ∴当C表示的数是5，B点表示的数是﹣5 或 当C表示的数是11，B点表示的数是﹣11． 【变式4】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是　 　．（用“＞”连接） 【答案】解：根据图形可知：|a|＞|b|，a＜0，b＞0， ∴﹣a＞b＞﹣b＞a． 题型13 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】A． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【答案】D． 【变式2】若a＜0，则a+|a|的值等于（　　） A．2a B．0 C．﹣2a D．a 【答案】B． 【变式3】若ab≠0，那么+的取值不可能是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】C． 【变式4】已知ab＞0，则++＝（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3 【答案】C． 【变式5】若|3x﹣5|＝x+2，则x的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B． 题型14 绝对值的非负性 【典例1】已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【答案】C． 【变式1】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A． 【变式2】若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A． 【变式3】已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　． 【答案】4． 【变式4】若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　﹣ 　． 【答案】﹣4． 【变式5】当a＝　1　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　． 【答案】1，5． 题型15 根据绝对值的意义求字母的取值范围 【典例1】当|x|＝﹣x时，则x一定是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或0 D．0 【答案】C． 【变式1】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【答案】B． 【变式2】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（　　） A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5 【答案】C． 【变式3】若|a|＞a，则a是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B． 题型16 绝对值与相反数 【典例1】若|x|＝3，则x＝　 ． 【答案】±3． 【变式1】若|x|＝|﹣7|，则x＝　 　；若|x﹣7|＝2，则x＝ 　． 【答案】±7、9或5； 【变式2】如果|a|＝3，|b|＝1，且a＞b，那么a的值为　 　，b的值为　 　． 【答案】3，±1． 【变式3】如果|a|＝|b|，那么a、b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝﹣b C．相等或互为相反数 D．a、b均为0 【答案】C． 【变式4】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（　　） A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1 【答案】C． 题型17 绝对值与数轴 【典例1】a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【变式1】已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（　　） A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b 【答案】D． 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A．a＞﹣1 B．b＜1 C．|a|＜|b| D．﹣a＜﹣b 【答案】B． 题型18 有理数的大小比较 【典例1】在数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把下列各数连接起来．，3，﹣4，1，2.5． 【答案】解：∵＝﹣＝﹣3.5， |﹣3.5|＝3.5，|﹣4|＝4， 3.5＜4， 在数轴上表示为： ∴． 故答案为：． 【变式1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b从大到小的顺序为 　 　． 【答案】b＞﹣a＞a＞﹣b． 强化训练 1. 指出下列各数中的整数和分数： -12，+5，-0.6, 0，﹣ 【答案】-12，+5， 0为整数；﹣为分数。 2.在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 3.在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 4．在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　　） A.﹣2 B.2 C.±2 D.不能确定 【答案】C 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．4 【答案】C 6．﹣3的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 7．﹣3的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 【答案】B 8．已知，是2的相反数，则的值为(　　) A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3 【答案】C 9. 在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接. 【答案】－5<－3<0<4 【解析】将-3,-5,4,0在数轴上表示如图： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ● ● ● ● 将它们按从小到大的顺序排列为：－5<－3<0<4 10．在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（　　） A． 2.5 B．﹣2.5 C． 0 D．3 【答案】B． 11.完成下列填空 （1）既是分数又是负数的数是_______； （2）非负数包括________和_______； （3）非正数包括________和_______； （4）非负整数包括________和_______；又称为________； （5）非负分数包括________和_______； （6）非正分数包括________和_______. 【答案】（1）负分数 （2）正数 0 （3）负数 0 （4）正整数 0 自然数 （5）整数 正分数 （6）整数 负分数。 12. 若-（-a）=3，则-a= 。 【答案】-3 13．|﹣6.18|=　 　． 【答案】6.18． 学科网（北京）股份有限公司 $