第八章 第54课时 直线的方程 课件-2027届高三数学（通用版）一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线方程”专题，依据高考评价体系梳理了倾斜角与斜率、直线方程五种形式、方向向量与法向量及综合应用等核心考点，通过近五年考情分析明确倾斜角与斜率占30%、综合应用占40%的高频分布，归纳出选择填空基础题与解答题综合题等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2025年湖南模拟题为例，用待定系数法突破截距相等直线方程，培养数学思维与推理能力，通过“斜率范围数形结合法”“最值问题基本不等式法”等技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可依托考点权重与易错点分析实施精准复习，助力学生高效冲刺。

第54课时 直线的方程 第54课时　直线的方程 1 [考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)． 第54课时　直线的方程 2 以题引理·激活思维 1．已知直线l的一个方向向量为n＝(1，－)，则直线l的倾斜角为(　　) A． B． C． D． √ 第54课时　直线的方程 3 C　[由题意，直线l的斜率为－， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为．故选C．] 4 2．直线l经过点(－，0)，倾斜角是直线x＝－1的倾斜角的，则直线l的方程为(　　) A．x－＝0 B．x－y＋＝0 C．x－y＋3＝0 D．x＋＝0 √ A　[因为直线x＝－1的倾斜角为90°，所以直线l的方程为y－0＝ tan 30°[x－(－)]，即x－＝0，故选A．] 第54课时　直线的方程 5 3．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 第54课时　直线的方程 6 B　[因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，将直线方程Ax＋By＋C＝0化为y＝－，由AC<0，且BC>0，可得直线的斜率k＝－>0，在y轴上的截距为－<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B．] 7 4．设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝_____________． 1　[因为A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直线上的三个点，所以kAB＝kAC＝2，所以＝2，解得x＝4，y＝－3，则x＋y＝1．] 1 第54课时　直线的方程 8 5．(北师大版选择性必修第一册P13练习T3(2)改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_______________________． 9x－y＝0或x＋y－10＝0　[当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0．] 9x－y＝0或x＋y－10＝0 第54课时　直线的方程 9 1．直线的方向向量 (1)设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量． (2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，___________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为________________． x轴正向 向上 0°≤α<180° 第54课时　直线的方程 10 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝__________(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝_____． 正切值 tan α 第54课时　直线的方程 11 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 _______________ 不含直线x＝x0 斜截式 ____________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ______________ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 第54课时　直线的方程 12 名称 方程 适用范围 截距式 _____________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________ ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 第54课时　直线的方程 13 [二级结论] 1．特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0； (2)y轴：x＝0； (3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b； (4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a； (5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx． 第54课时　直线的方程 14 2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量v＝(－B，A)． 3．直线的方向向量v＝(m，n)(m≠0)，则直线斜率k＝． 第54课时　直线的方程 15 1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系 α 0≤α< <α<π k k≥0 不存在 k<0 第54课时　直线的方程 16 2．截距可正，可负，也可以是零，而距离是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 3．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b． 第54课时　直线的方程 17 考点一　直线的倾斜角与斜率 [典例1]　(1)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是 (　　) A．[0，π] B． C． D． 精研考点·提升素养 √ 第54课时　直线的方程 18 (2)(2025·湖南长沙模拟)设点A(4，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－ C．－4≤k≤1 D．－≤k≤1 √ 第54课时　直线的方程 19 (1)C　(2)B　[(1)当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为．当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈．综上，α∈． 20 (2)依题意，直线PA，PB的斜率分别为kPA＝，kPB＝＝1．如图所示， 若直线l过点P(1，1)且与线段AB相交， 则l的斜率k满足k≤kPA＝－或k≥kPB＝1， 即l的斜率k的取值范围是k≥1或 k≤－． 故选B．] 21 名师点评：斜率取值范围的两种求法 数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 第54课时　直线的方程 22 提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分两种情况讨论．一般要用到y＝tan x的单调性，y＝tan x在上都是单调递增的． 第54课时　直线的方程 23 [巩固迁移] 1．已知直线l的方程为y＝(－a2＋1)x＋b，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A． B． C． D． √ 第54课时　直线的方程 24 D　[直线l的斜率为k＝－a2＋1≤1，设该直线的倾斜角为θ，则k＝tan θ≤1， 又因为0≤θ<π，当k<0时，则θ∈，当k∈[0，1]时，则θ∈．即θ∈．故选D．] 25 2．(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　) A．直线l在y轴上的截距是2 B．直线l的斜率为 C．直线l不经过第三象限 D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3) √ √ √ 第54课时　直线的方程 26 ACD　[对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确； 对于B，斜率k＝－，故B错误； 对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确； 对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．故选ACD．] 27 【教用·备选题】 1．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为(　　) A． √ A　[由题意得，直线l的斜率k＝，即直线l的倾斜角为．故选A．] 第54课时　直线的方程 28 2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_____________，_____________． －3 第54课时　直线的方程 29 　－3　[如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ， 则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°， 直线OC的倾斜角为θ＋45°， 故kOA＝tan(θ－45°)＝， kOC＝tan(θ＋45°)＝＝－3．] 30 考点二　直线方程的求法 [典例2]　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． 第54课时　直线的方程 31 [解]　(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得直线BC的方程为，即x＋2y－4＝0． (2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2． BC边的中线AD所在直线过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为＝1，即2x－3y＋6＝0． (3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则边BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2．由(2)知，点D的坐标为(0，2)，则所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0． 32 名师点评：求直线方程的两种方法 第54课时　直线的方程 33 [巩固迁移] 3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为__________________． 2x＋3y－5＝0　[联立解得x＝1，y＝1， ∴直线过点(1，1)． ∵直线的方向向量v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－． 则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．] 2x＋3y－5＝0 第54课时　直线的方程 34 4．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________________________． 2x＋3y＝0或x＋y－1＝0　[当直线经过原点时，此时直线方程为2x＋3y＝0，且在x轴、y轴上的截距均为0，符合题意． 当在x轴、y轴上截距均不为0时，设直线方程为， 将＝1，解得a＝1，故直线方程为x＋y－1＝0．所以所求直线方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0．] 2x＋3y＝0或x＋y－1＝0 第54课时　直线的方程 35 考点三　直线方程的综合应用 [典例3]　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． [解]　法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)＝×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立． 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0． 第54课时　直线的方程 36 法二：设直线l：＝1，且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2，1)，所以＝1， 则1＝，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×8＝4， 当且仅当时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0． 37 【深度思考1】　在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． [解]　由本例法二知，＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋＝0． 第54课时　直线的方程 38 【深度思考2】　本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． [解]　法一：由本例法一知A，B(0，1－2k)(k<0)， 所以|MA|·|MB|＝ ＝2×≥4． 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0． 第54课时　直线的方程 39 法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，＝1．所以|MA|·|MB|＝||·|＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0． 40 名师点评：处理直线方程综合应用的两大策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”． 提醒：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式． 第54课时　直线的方程 41 [巩固迁移] 5．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞) C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪ √ 第54课时　直线的方程 42 C　[若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限； 若a≠0，将l的方程转化为y＝－， 因为l经过第四象限， 所以－<0或解得a<0或a>． 综上，a的取值范围为(－∞，0)∪．] 43 6．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为_____________． 4　[因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab， 又因为a>0，b>0，所以＝1， 所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为 b＋a＝(b＋a) ≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4．] 4 第54课时　直线的方程 44 【教用·备选题】 1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝_____________． 第54课时　直线的方程 45 　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)， 直线l1在y轴上的截距为2－a， 直线l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝． 又0<a<2，所以当a＝时，四边形的面积最小．] 46 2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 第54课时　直线的方程 47 [解]　(1)证明：法一：直线l的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令 ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)． 法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)． 48 (2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)． 49 法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k， ∴解得k≥0， ∴k的取值范围是[0，＋∞)． 50 (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k)． 依题意得解得k>0． ∵S＝·|OA|·|OB|＝·|1＋2k| ＝≥×(2×2＋4)＝4， 当且仅当k>0且4k＝，即k＝时等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 51 一、单项选择题 1．(2026·江苏苏州模拟)已知直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，则实数m的值为(　　) A．－　　　　B．　　　　C．2 　　　　D．－2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(五十四)　直线的方程 √ 16 17 C　[因为直线mx－y＋1＝0的一个方向向量为(1，2)，可得直线的斜率为2，解得m＝2．故选C．] 第54课时　直线的方程 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(2026·山西临汾模拟)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　) A．k1>k2>k3 B．k2>k3>k1 C．k2>k1>k3 D．k3>k2>k1 √ 16 17 B　[直线l2与l3的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l3的倾斜角，则k2>k3>0，又k1<0，故k2>k3>k1．故选B．] 第54课时　直线的方程 53 3．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为(　　) A． B．－ C．或0 D．－或－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 第54课时　直线的方程 54 C　[因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－， 所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)， 如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°， 则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 4．已知直线l的方程为kx－y＋2k－2＝0(k∈R)，若直线l不经过第二象限，则k的取值范围为(　　) A．k≤1 B．k≥0 C．0≤k≤1 D．k≥1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 第54课时　直线的方程 56 C　[法一：方程化为斜截式l：y＝kx＋2k－2，斜率存在，且直线l与y轴的交点为(0，2k－2)， 当k＝0时，直线l的方程为y＝－2，满足题意； 当k≠0时，直线l不经过第二象限，点(0，2k－2)需在y轴非正半轴上，且斜率k>0，即，解得0<k≤1． 综上可得，k的取值范围为0≤k≤1．故选C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 法二：方程化为点斜式l：y＋2＝k(x＋2)， 所以不论k为何值，直线l都过定点P(－2，－2)， 作直线l1经过定点P且平行于x轴，直线l2经过定点P和O，如图所示， 因为直线l不经过第二象限，所以l1和l2是符合 条件的临界位置，即0＝＝1， 所以k的取值范围为0≤k≤1．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 5．(2025·湖北武汉一模)已知直线方程为cos 300°x＋sin 300°y＝3，则直线的倾斜角为(　　) A．60° B．60°或300° C．30° D．30°或330° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 C　[设直线的倾斜角为α，α∈[0，π)． ∴tan α＝－ ＝tan 30°， ∴α＝30°．故选C．] 第54课时　直线的方程 59 6．已知点A(2，0)，B(0，4)，若过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A．k≤1 B．k≥2 C．k≥2或k≤1 D．1≤k≤2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 D　[过P(－6，－8)的直线l与线段AB相交， 如图所示，可得kAP≤k≤kPB，即 ，即k∈[1，2]．故选D．] 第54课时　直线的方程 60 7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 第54课时　直线的方程 61 A　[易知A(－1，0)，P(2，3)． ∵|PA|＝|PB|， ∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上， ∴B(5，0)．∴kPB＝－1． ∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)， 即x＋y－5＝0．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 8．直线l：x－＝0与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l'，则直线l'的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－＝0 D．x＋y－1＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 第54课时　直线的方程 63 A　[直线l：x－＝0，即y＝x＋1， 则直线l的斜率为，倾斜角为30°， 令x＝0得y＝1，即P(0，1)， 则直线l'的倾斜角为30°＋105°＝135°，斜率为tan 135°＝－1， 所以直线l'的斜截式方程为y＝－x＋1，即直线l'的方程是x＋y－1＝0．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 9．已知直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，则的最小值为(　　) A．4 B．8 C．9 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 第54课时　直线的方程 65 B　[因为直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)经过点(1，4)，所以a＋4b＝2，所以(a＋4b)＝＝8，当且仅当，即a＝1，b＝时取等号．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 二、多项选择题 10．下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C．过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 √ √ 第54课时　直线的方程 67 ABC　[对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，所以B正确；对于C，过点(2，－1)且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 11．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A　　　　　B　　　　C　　　　D √ √ 第54课时　直线的方程 69 AC　[直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．在选项A中，a＝b<0，直线l1与l2平行，直线l1在y轴上的截距－b>0，直线l2在y轴上的截距a<0，且两截距互为相反数，故A正确；在选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a>0．与直线l1的斜率a<0矛盾，故B不正确；在选项C中，直线l2的斜率b<0，直线l1在y轴上的截距－b>0．直线l2在y轴上的截距a>0，直线l1的斜率a>0，故C正确；在选项D中，两直线的斜率a>0，b<0，与直线l1在y轴上的截距－b<0，b>0相矛盾，故D不正确．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 12．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 17 √ √ 第54课时　直线的方程 71 ABC　[当直线经过原点时，斜率为k＝＝2， 所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线不过原点时， 设所求的直线方程为x±y＝a， 把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a， 求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0． 综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 三、填空题 13．若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 　[由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，解得k＝，即直线l的斜率为．] 第54课时　直线的方程 73 14．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ______________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (－1，－1)(答案不唯一)　[由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得则A(2，1)． 又B(1，0)，则＝(－1，－1)． 即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．] (－1，－1)(答案不唯一) 第54课时　直线的方程 74 　[由题意，在Rt△BCD中， ∠BCD＝，|BC|＝|CD|， ∴tan∠CBD＝， ∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan．] 15．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，则直线BC的斜率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 第54课时　直线的方程 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) 第54课时　直线的方程 76 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 √ 第54课时　直线的方程 77 D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1．因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 17．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角 形，写出满足条件的k的两个可能取值：___________________和 ____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 －2或－(任选2个即可) 第54课时　直线的方程 79 或－2或－(任选2个即可)　[令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k， 当围成的等腰三角形的底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2； 当围成的等腰三角形的底边在直线l2上时， α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2， 整理得k2＋k－1＝0，而k>0，解得k＝； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 当围成的等腰三角形的底边在直线l2上，θ∈， 可解得k＝－；当围成的等腰三角形的底边在直线l1上时， θ＝2α，可解得k＝－． 所以k的取值为或－2或－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 谢 谢 ！ $