第八章 第61课时 抛物线 课件-2027届高三数学（通用版）一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“抛物线”专题，依据高考评价体系覆盖定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系等核心考点，明确“掌握定义与方程”“应用几何性质”“解决焦点弦问题”三大考查要求。通过深研教材典题、梳理二级结论，结合近五年高考真题分析，归纳出定义转化、焦点弦计算、最值求解等常考题型，体现备考的针对性和系统性。 课件亮点在于“真题引领+结论应用+思维建模”的备考策略，如以2021新高考Ⅰ卷抛物线题为例，运用定义转化和几何直观素养，剖析焦点与准线距离关系的推理过程。特设“焦点弦八大结论”速记表和“最值问题数形结合法”，培养学生运算能力与模型观念，帮助学生高效突破高频考点。教师可依托分层训练和易错点分析，精准指导学生掌握答题技巧，提升高考得分率。

第61课时　抛物线 第八章　解析几何 [考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 第61课时　抛物线 2 以题引理·激活思维 1．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　) A． C． √ D　[抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y， 所以焦点在y轴上，由2p＝．] 第61课时　抛物线 3 2．(北师大版选择性必修第一册P75练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A． D．0 √ B　[点M到准线的距离等于M到焦点的距离， 又准线方程为y＝－＝1， ∴y0＝．] 第61课时　抛物线 4 3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 √ B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．] 第61课时　抛物线 5 4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________________． y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝ －y．] y2＝－8x或x2＝－y 第61课时　抛物线 6 5．(人教B版选择性必修第一册P167习题2-7AT2改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是_____________． y2＝16x　[∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1， ∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝16x．] y2＝16x 第61课时　抛物线 7 1．抛物线的概念 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______． 相等 焦点 准线 第61课时　抛物线 8 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 第61课时　抛物线 9 顶点 ____________ 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 坐标 F __________ __________ F 离心率 e＝1 准线 方程 ________ x＝ y＝－ ____________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R O(0，0) 第61课时　抛物线 10 [二级结论]　与焦点弦有关的常用结论 如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)焦点弦长： |AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； 第61课时　抛物线 11 (3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p； (4)焦半径：|AF|＝ ； (5)以弦AB为直径的圆与准线相切； (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： S△AOB＝|OF|·|y1－y2|． 第61课时　抛物线 12 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)． 2．抛物线性质的应用要树立两个意识 (1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线． (2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算． 第61课时　抛物线 13 考点一　抛物线的定义及标准方程 考向1　求抛物线的标准方程 [典例1]　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 精研考点·提升素养 √ 第61课时　抛物线 14 (2)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为_____________． x2＝12y 第61课时　抛物线 15 (1)C　(2)x2＝12y　[(1)如图，连接DF，设准线与x轴交点为M， 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F， 由抛物线的定义可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三角形， 所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°， 所以在Rt△DFM中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2， 则p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选C． 16 (2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4， 设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．] 17 【拓展变式】　本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为______________________________． y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)　[动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x<0时，直线y＝0上的点满足条件． 综上所述，动点M的轨迹方程为：当x≥0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0．] y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0) 第61课时　抛物线 18 【教用·备选题】 动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 √ 第61课时　抛物线 19 D　[设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1．又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1．根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D．] 20 考向2　抛物线上的点到定点的距离及最值 [典例2]　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 第61课时　抛物线 21 (2)(2026·福建名校联考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 √ 第61课时　抛物线 22 (1)C　(2)C　[(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)， 所以|AF|＝|AB|＝5． (2)如图，由已知，抛物线的准线方程为y＝－2，△FAB周长为|AB|＋|BF|＋|AF|， 设BD垂直于抛物线的准线于D，则由抛物线的定义，|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|，因为F(0，2)，A(4，5)， 所以|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋5， 要使周长最小，即|AB|＋|BD|最小， 当且仅当A，B，D三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12．] 23 名师点评：抛物线定义的应用规律 第61课时　抛物线 24 [巩固迁移] 1．已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为(　　) A．x2＝－4y B．x2＝4y C．x2＝－2y D．x2＝2y √ 第61课时　抛物线 25 B　[法一(轨迹方程法)： 设点P(x，y)，则点M(x，－1)．连接PF，由题意知 |PF|＝|PM|，即＝|y＋1|，整理得x2＝4y，则曲线C的方程为x2＝4y． 26 法二(几何定义法)： 由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离， 则点P的轨迹为以F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线， 则曲线C的方程为x2＝4y．故选B．] 27 2．已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为 (　　) A．6 B．10 C．4 D．8 √ 第61课时　抛物线 28 D　[如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交☉M于点Q． 由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|． 因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2， 所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2， 当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值， 最小值为8＋2＝10， 所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．故选D．] 29 【教用·备选题】 1．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为(　　) A．4 B．2 D．2 √ 第61课时　抛物线 30 D　[由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2， 根据抛物线的定义知|FM|＝yM＋＝yM＋1＝2， 解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2， 所以△FMN的面积为×2×2＝2． 故选D．] 31 2．已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_____________． 42或22　[当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|， |PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|． 当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42． 42或22 第61课时　抛物线 32 当M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得＝41， 解得p＝22或p＝58． 当p＝58时，y2＝116x， 点M(20，40)在抛物线内，故舍去． 综上，p＝42或p＝22．] 33 3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为_____________． y2＝8x　[如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1， 由抛物线的定义可知，|AA1|＝|FA|，|BB1|＝|FB|， ∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|， y2＝8x 第61课时　抛物线 34 则易知B为AD的中点．连接OB， 则OB为△DFA的中位线， ∴2|OB|＝|FA|，∴|OB|＝|FB|， ∴点B在线段OF的垂直平分线上， ∴点B的横坐标为， ∴|FB|＝＝3，∴p＝4， ∴抛物线C的标准方程为y2＝8x．] 35 考点二　抛物线的几何性质 [典例3]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为_____________． (2)(2026·四川锦江区校级模拟)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且||＝12，则p的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ x＝－ 第61课时　抛物线 36 (1)x＝－　(2)B　[(1)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝． 法二(射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝ ． 37 (2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F， 不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，此时|， 因为F为△ABC 的重心，所以， 则||＝3p＝12，解得p＝4．故选B．] 38 名师点评：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 第61课时　抛物线 39 [巩固迁移] 3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则|AF|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 第61课时　抛物线 40 C　[抛物线及其准线如图所示，过点A作AB垂直准线于点B， 过焦点F作FC垂直于AB于点C，由题意可知p＝2，∠AFx＝∠FAC＝， 根据抛物线的定义知，|AF|＝|AB|＝|AC|＋|CB|． 在Rt△AFC中，|AC|＝|AF|·cos|AF|， 又|BC|＝p＝2，所以|AF|＝|AB|＝|AF|＋2， 解得|AF|＝4．故选C．] 41 4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为_____________． ． 第61课时　抛物线 42 法二(巧用结论)：设点P在第一象限，∠PFx＝θ，则|PF|＝，即θ＝60°． 设P(x，y)，则|y|＝|PF|sin θ＝4×， ∴S△POF＝．] 43 考点三　直线与抛物线的位置关系 [典例4]　(1) (多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18 (2)(2026·江西上饶模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若＝0，则△OMN的面积为_____________． √ √ √ 第61课时　抛物线 44 (1)ACD　(2)　[(1)直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；当AB⊥x轴时，令A， 则E，此时|AE|≠|AB|，故B错误； 易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋ 得y2－6my－9＝0，Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确； 45 由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－|AE|·|BE|sin∠AEB＝(6＋6m2)·>9，所以|AE|·|BE|>>18． 综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD． 46 (2)由抛物线C：x2＝8y，则p＝4，其焦点F(0，2)， 由题意易知直线l的斜率k存在，可设为y＝kx＋2， 设N(x1，y1)，M(x2，y2)，x1<0，x2>0， 联立消去y可得x2－8kx－16＝0，Δ＝64k2＋64>0， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝8k，x1x2＝－16， 47 由＝0，则x2＝－3x1， 由x1x2＝－16，则－3， 所以S△OMN＝．] 48 名师点评：解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法． (3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用． 提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 第61课时　抛物线 49 [巩固迁移] 5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 √ 第61课时　抛物线 50 B　[由题知C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0， 即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4>0⇒k2<1， ∴x1x2＝＝1． 又∵|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1， ∴4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝2×2＋5＝9， 当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B．] 51 6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(　　) A．抛物线在点x＝1处的切线方程为2x－2y－1＝0 B．若点M坐标为＝0 C．|OA|＋|OB|> D．若BN垂直抛物线准线于点N，则A，O，N三点在一条直线上 √ √ 第61课时　抛物线 52 AD　[对于A，由抛物线x2＝2y，得y＝x2，得y'＝x，抛物线在点x＝1处切线的斜率为k＝1， 则切线方程为y－＝x－1，即2x－2y－1＝0，A正确； 对于B，抛物线的焦点为 ， 联立 53 可得x2－2kx－1＝0，Δ>0，所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1， y1y2＝， 则(y1＋y2)＋y1y2＝k2，即B错误； 54 对于C，当直线AB与x轴平行时，A，故C错误； 对于D，BN垂直抛物线准线于点N，即直线x＝x2与准线y＝－ ， 因为，即N与N'重合， 所以A，O，N三点在一条直线上，故D正确．故选AD．] 55 【教用·备选题】 1．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 √ √ 第61课时　抛物线 56 AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)． 因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，A正确； 不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程 ，B错误； 57 l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为 ＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确； 由两点间距离公式可得|OM|＝，D错误．故选AC．] 58 2．抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是_____________． (－)　[当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝ ，且k≠0． 综上，k的取值范围为(－)．] (－) 第61课时　抛物线 59 一、单项选择题 1．(2025·北京朝阳二模)若抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，则抛物线C的准线方程为(　　) A．x＝2 B．x＝1 C．y＝2 D．y＝1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(六十一)　抛物线 √ 第61课时　抛物线 60 D　[因为抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，所以抛物线方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(2026·湖北武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，4)在抛物线上，点M到点F的距离与到直线y＝－的距离相等，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 第61课时　抛物线 62 B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，又点M(x0，4)在抛物线上， 根据抛物线的定义可知，点M到点F的距离与到直线x＝－，解得x0＝4， 即M(4，4)，所以42＝2p×4，解得p＝2．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 63 3．(2026·河北山海关区模拟)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝ (　　) A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第61课时　抛物线 64 C　[由抛物线的性质可得，|PF|＝|PQ|，又∠PQF＝30°，则易知PF的倾斜角为120°， 则， 所以|PQ|＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 65 4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第61课时　抛物线 66 B　[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4， ∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8， 从而得a＝ ，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 5．(2026·云南昆明模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值为(　　) A． C．3 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第61课时　抛物线 68 C　[由题意可得，F(1，0)，设B(x1，y1)，由延长FB交准线于点C，且|BC|＝2|BF|， 则． 所以直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝(x－1)， 联立消去y可得3x2－10x＋3＝0，Δ>0， 则xA＋x1＝＝3．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第61课时　抛物线 70 A　[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－ (x－1)． 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝， 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 同理得|DE|＝4＋4k2， 所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋＝16， 当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号． 故|AB|＋|DE|的最小值为16．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 72 二、多项选择题 7．抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是 (　　) A．抛物线的方程为x2＝8y B．抛物线的准线方程为y＝－1 C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切 D．|AF|＋|BF|≥4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 第61课时　抛物线 73 BC　[对于A，当P运动到(t，1)时，|PF|＝1＋＝2，故p＝2，即抛物线为x2＝4y，故A错误； 对于B，由x2＝4y，故抛物线的准线方程为y＝－1，故B正确； 对于C，当直线l过焦点F时，设A为(x0，y0)，则|AF|＝y0＋＝y0＋1， 故以AF为直径的圆的半径为 ， 圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 74 对于D，由题意直线l斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m， 联立 整理得x2－4kx－4m＝0，Δ＝(－4k)2＋16m>0， 即k2＋m>0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4m， 所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2m＝4k2＋2m， yAyB＝＝m2， 所以|AF|＋|BF|＝yA＋1＋yB＋1＝yA＋yB＋2＝4k2＋2m＋2， 不能确定什么时候最小，则D错误．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过C的焦点F作直线l：x＝ty＋1，若C与l交于A，B两点，，则下列结论正确的有(　　) A．p＝2 B．|AF|＝3 C．t＝2 D．线段AB中点的横坐标为 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 第61课时　抛物线 76 ABD　[抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F在x轴上，过F作直线l：x＝ty＋1，可知F(1，0)，则＝1，得p＝2，A选项正确； 抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，，得y1＝－2y2， 解得y1＝－2， t＝，C选项错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 则x1＝2，x2＝，D选项正确； |AB|＝x1＋x2＋p＝＝3，B选项正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 78 三、填空题 9．(人教A版选择性必修第一册P139习题3.3T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为_____________m． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 4 第61课时　抛物线 79 4　[如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝my， 将A(6，－3)代入x2＝my(m<0)，解得m＝－12，所以x2＝－12y，将B(x0，－2)代入，解得x0＝2 m．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 80 10．(人教B选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝ －5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ．] 第61课时　抛物线 81 四、解答题 11．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若，求|AB|． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第61课时　抛物线 82 [解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F． 由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， Δ＝144(t－1)2－4×9×4t2>0，即t<，则x1＋x2＝－， 从而－．所以l的方程为y＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 83 (2)由得y1＝－3y2． 由， 所以y1＋y2＝2． 从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3． 代入C的方程得x1＝3，x2＝． 故|AB|＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 84 12．已知点A(m，4)(m>0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C． (1)求证：直线BC的斜率为定值； (2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第61课时　抛物线 85 [解]　(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上， ∴16＝m2，∴m＝±4，又m>0，∴m＝4． 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则kAB＋kAC＝＝0，∴x1＋x2＝－8， ∴kBC＝＝－2， ∴直线BC的斜率为定值－2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 86 (2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，， ∴x0＝1． ∴M(1，－2＋b)． 又点M在抛物线内部， ∴－2＋b>． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 87 由得x2＋8x－4b＝0，Δ＝64＋16b>0， ∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b． ∴|BC|＝|x1－x2|＝ ＝． 又b>． ∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 88 13．(2025·浙江台州二模)已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，直线l与抛物线Γ交于A，B两点，且M为线段AB的中点． (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点Q(m，1)(m<0)作抛物线Γ的两条切线， 分别交l于C，D两点，求△QCD面积的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第61课时　抛物线 89 [解]　(1)因为抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)， 所以＝1⇒p＝2，所以抛物线Γ：y2＝4x． (2)由题易知直线AB的斜率存在． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则． 因为线段AB的中点为M， 所以y1＋y2＝2，x1＋x2＝5，所以＝2， 则AB的方程为y－1＝2，即2x－y－4＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 90 (3)设抛物线的切线方程为x－m＝t(y－1)， 联立 消去x得y2－4ty＋4t－4m＝0， 由Δ＝0，可得t2－t＋m＝0， 设QC的方程为x－m＝t1(y－1)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 91 联立． 所以|CD|＝ ＝， Q点到直线l的距离d＝，所以S△QCD＝， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 92 令h(m)＝，h'(m)＝， 因为1－4m>0，则m<， 当m<－时，h'(m)<0，h(m)单调递减， 当－时，h'(m)>0，h(m)单调递增， 所以h(m)min＝h． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 93 谢 谢 ！ $