浙江台州市书生中学2025-2026学年高二下学期第八次周练数学试题

**基本信息** 融合5G技术（香农公式）等科技情境与高考真题导向，覆盖函数、概率统计、三角等核心知识，梯度设计适配高二周测能力训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角公式（第1题）、条件概率（第2题）、函数性质（第3题）|香农公式（第5题）体现科技前沿，函数图像交点（第8题）考查直观想象| |多选题|3/18|统计方差（第9题）、贝叶斯公式（第10题）|结合全概率公式（第10题）考查逻辑推理，三角形面积（第11题）融合多解法| |填空题|3/15|二项式系数（第12题）、函数零点（第13题）|三角函数不等式（第14题）考查数学抽象| |解答题|5/47|排列组合模型（第16题）、回归分析（第18题）、函数综合（第19题）|空盒放球模型（第16题）分层设问，回归与分布列（第18题）体现数据分析|

书生中学高二下学期周练8 一、单选题:本题共8小题，每题5分 1．（   ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若满足不等式，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则方程解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 6．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．3 7．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题每小题6分，共18分 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题:每题5分，共15分 12．的展开式中的系数为__________. 13．已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是__________. 14．已知，若存在实数，使得对任意的正整数，都有，则的最小值是___________． 四、解答题 15．（1）求值：； （2）已知，求的值． 16．（1）把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？ （2）把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？ （3）把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？ （4）把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？ 17．已知函数． (1)若函数为奇函数，求的最小值； (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围． 18．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 19．已知函数. （1）若，且在上存在零点，求实数的取值范围； （2）若对任意，存在使，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《书生中学高二下学期周练8》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D D C A C BD ACD 题号 11 答案 ABC 1．A 【来源】课时23 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【详解】,所以 ． 2．C 【来源】山东省泰安市2026届高三一轮检测数学试题 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 3．A 【来源】江苏宿迁市2025-2026学年高一上学期质量监测数学试卷 【分析】利用函数的奇偶性和单调性来解不等式即可. 【详解】由可得， 又因为的定义域为，所以是偶函数， 当时，由指数函数和二次函数可知是在上的增函数， 又因为，所以不等式， 则， 故选：A 4．D 【来源】黑龙江省哈尔滨市第十四中学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】将方程解的个数转化为函数与函数的图象的交点的个数，数形结合即可判断 【详解】根据题意，令，分别作出函数与函数的图象.    在区间内，函数单调递减，与函数有1个交点； 在区间内，函数的值域为，函数单调递增且值域为， 又当时，，结合图象，在区间内，函数与函数有3个交点， 故方程解的个数为4. 故选：D. 5．D 【来源】山东省青岛市青岛西海岸新区第一高级中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题 【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果. 【详解】当时，； 当时，信道宽度变为原来倍，. 因为. 故选：D. 6．C 【来源】陕西省榆林市2021届高三下学期三模理科数学试题 【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案. 【详解】解：根据题意，函数， 则， 则有， 故， 若，则， 故选：C. 7．A 【来源】湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末数学试题 【解析】先建立方程求出，再计算即可. 【详解】解：因为随机变量，， 所以，则， 因为，即，解得 随机变量中， ， 故选：A 【点睛】本题考查二项分布概率公式，是基础题. 8．C 【来源】浙南名校联盟2025-2026学年高三上学期十月联考数学试题 【分析】问题转化为函数，，和的图象的交点问题，结合图象判断即可. 【详解】依题意，令，则，，， 则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图，    当直线为时，； 当直线为或时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为移动到左端的直线时，始终有. 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：C. 9．BD 【来源】湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题 【分析】利用两组线性关系的数据间的方差转换公式可判断A；利用全概率公式可判断B；利用线性相关系数的定义可判断C；利用非线性回归方程的求法可判断D. 【详解】原数据方差，设， 则，故A错误； ， 故 B 正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故D正确. 10．ACD 【来源】贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷 【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品， 故有，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．ABC 【来源】2025年高考全国一卷数学真题 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 12．3 【来源】陕西榆林市横山中学2026届高三命题趋势预测数学试题 【详解】易知， 展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为3. 13．3 【来源】重庆市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题 【分析】设，，根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即可. 【详解】设， 显然，集合A非空. 当时，显然， 以下设， 此时，. 易知，当且仅当对任意的，有， 即，故整数的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可. 14．/ 【来源】上海市育才中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【分析】由题意可知，，即，根据的范围即可求出答案. 【详解】作出单位圆，如图所示，    由题意知，的终边需落在图中阴影部分区域， 所以， 由题意可知，即， 又因为，可得， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 15．（1）；（2） 【来源】江苏省无锡市惠山区锡山高级中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试题 【分析】（1）利用诱导公式再将分子的“1”转化为，然后再进行化简； （2）两等式平方相加即可得到答案. 【详解】（1）原式 ． （2） ， 则. 16．（1）4；（2）；（3）14；（4）15 【来源】第三篇 数列、排列与组合 专题8 二项式定理的推广——多项式定理 微点3 空盒放球模型及其应用 【详解】（1）由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有型、型．型，型，故只有4种放法． （2）（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法． （3）（先分组后分配）先将不同小球分为3组，有型（种放法）、型（种放法）、型（种放法）、型（种放法），共14种分组方法，再将3组小球分配到3个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14种放法． （4）解法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有型，型，型，型．由于小球相同，故各只有1种分组方法，再将三组小球分配到3个盒子，由于盒子不同，故有种放法． 解法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有种放法． 17．(1) (2) 【来源】重庆市南开中学2025-2026学年高三上学期7月月考数学试题 【分析】（1）根据函数为奇函数，可求出的关系式，结合配方法即可求得答案； （2）根据函数为偶函数，可求出的关系式，分离参数，将不等式恒成立转化为最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为R， 由于函数为奇函数，则， 即，解得， 因为，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由于函数为偶函数，则在上恒成立， 即，解得， 因为不恒等于0，所以，即， 因为在上恒成立，所以恒成立， 令，则有，当且仅当时取等号， 则恒成立，等价于恒成立，所以， 而在上单调递增，故， 所以，所以. 18．(1)，，； (2) 0 1 2 3 【来源】山西运城市康杰中学2026届高三下学期冲刺模拟（六）数学试题 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【详解】（1）令，则， 因为，所以， 因为，所以，    ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 19．（1）；（2）；（3）5. 【来源】上海市上海中学2017-2018学年高三下学期5月适应性考试数学试题 【分析】（1）由时，，令，当时，分离参数，再令，得出的单调性，从而得出的值域，可得实数a的取值范围； （2）由得，即令，则的对称轴为，由得对称轴的范围，从而得当的最小值为，再由，得，可得的范围； （3）分离a，根据恒成立和有解确定b满足的不等式，即可得解. 【详解】（1）由时，，令，当时，， 令，则的定义域为，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，因为是定义域为的奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，或，所以或，所以要使在上存在零点，则需或. 故：实数a的取值范围是或. （2）由得，即令，则的对称轴为，当时，对称轴， 所以当时，的最小值为，而，所以， 所以要使对任意，存在使，则需； （3）由题意，，， 也即有解， 因为，当且仅当时成立； 且单调递减，所以， 所以，解得， 所以b的最大值为5. 【点睛】本题考查二次函数的零点和其值域等问题，以及恒成立，存在等较综合的问题，属于难度题. 对于不等式的存在性的问题时，常有以下情形： （1），使不等式成立，则； （2），使不等式成立，则； （3）,使不等式成立,则； （4）,使不等式成立,则； （5）,,均有恒成立，则； （6）,,均有恒成立，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $