第1.5节 弹性碰撞和非弹性碰撞（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦弹性碰撞和非弹性碰撞核心知识点，系统梳理动量守恒与机械能变化规律，区分弹性、非弹性及完全非弹性碰撞特点，构建动碰静、板块/子弹打木块等模型，形成从概念到应用的学习支架。 资料通过对比分析深化物理观念，理论推导与实例解析培养科学思维，避坑指南与分层练习助力课中教学，知识导图直观呈现知识网络，课后可帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

第1.5节 弹性碰撞和非弹性碰撞 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 弹性碰撞和非弹性碰撞 考点02 弹性碰撞的实例分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 弹性碰撞：动碰静 角度02 弹性碰撞：动碰静 角度03 完全非弹性碰撞 角度04 板块/子弹打木块模型 角度05 滑块斜（曲）面模型 角度06 滑块弹簧模型 角度07 单次碰撞的多过程问题 角度08 多物体多次碰撞问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的概念与特点。 2.理解碰撞过程中动量守恒、动能变化的规律，掌握弹性碰撞的规律。 3.能用碰撞模型解决一维碰撞等相关问题，了解其在生活中的应用。 1.通过对比分析，区分不同碰撞类型的动量与能量变化特点。 2.通过理论推导，掌握弹性碰撞的速度公式及适用条件。 3.通过典型例题练习，学会用碰撞模型解决实际问题，总结解题步骤。 知识导图 考点01 弹性碰撞和非弹性碰撞 1、弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒的碰撞叫弹性碰撞；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能守恒： 2、非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞叫非弹性碰撞；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能不守恒：或 3、完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能不守恒： 4、碰撞的原则 （1）动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′。 （2）动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 （3）速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 5、“动碰动”弹性碰撞 v1 v2 v1’ˊ v2’ˊ m1 m2 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有： （1） （2） 联立（1）、（2）解得：v1’=，v2’=. 特殊情况： 若m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 . （1）若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向同向。(若m1≫m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去) （2）若m1<m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，m1被弹回。(若m1≪m2，v1′＝－v1，v2′＝0，表示m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止) （3）若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换。 6、“动碰静”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有： m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2） 解得：v1′＝，v2′＝ 结论：（1）当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1（质量相等，速度交换） （2）当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′（大碰小，一起跑） （3）当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0（小碰大，要反弹） （4）当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1（极大碰极小，大不变，小加倍） （5）当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0（极小碰极大，小等速率反弹，大不变） 7、完全非弹性碰撞 v1 v2 v共 m1 m2 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1） 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2 （2） 联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk= 【深化点拨】 1．碰撞的特点 （1）碰前两物体同向运动时，后面的物体速度应大于前面物体的速度。 （2）碰后两物体同向运动时，前面物体的速度大于等于后面物体的速度。 （3）碰前两物体同向运动时，碰后前面物体的速度一定增大。 （4）碰前两物体相向运动时，碰后两物体的速度方向不可能都没有发生变化等。 （5）无论哪一种碰撞，总是满足动量守恒定律。 2．处理碰撞问题的三点提醒 （1）选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统。 （2）弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。 （3）弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、速度关系等。 1．在光滑水平面上，质量为4m的小球A以的速度水平向右运动，质量为m的小球B以2的速度水平向左运动，两小球发生正碰。则（　　） A．若发生完全非弹性碰撞，碰后小球A的速度大小为，方向向右 B．若发生完全非弹性碰撞，碰撞过程中两小球损失的机械能为 C．若发生弹性碰撞，碰撞后小球A的速度大小为，方向向左 D．若发生弹性碰撞，碰撞后小球B的速度大小为，方向向右 【答案】C 【详解】在光滑水平面上，两小球发生碰撞，动量守恒。设向右为正方向。 AB．若发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒可得 解得 方向向右；损失的机械能为，故AB错误； CD．若发生弹性碰撞，设碰撞后小球A的速度为，碰撞后小球B的速度为，根据动量守恒和动能守恒可得， 解得， 所以，碰撞后小球A的速度大小为，方向向左；碰撞后小球B的速度大小为，方向向右，故C正确，D错误。 故选C。 2．（多选）质量为的小球A以的速度在光滑水平面上向右运动，与静止的质量为的小球B发生正碰，下列说法正确的是（　　） A．若为完全非弹性碰撞，碰撞后两球的共同速度为2m/s B．若为完全非弹性碰撞，碰撞过程中损失的机械能为12J C．若为弹性碰撞，碰撞后A球的速度大小为3m/s D．若为弹性碰撞，碰撞后B球的速度大小为4m/s 【答案】ABD 【详解】AB．若为完全非弹性碰撞，设碰后共同速度为，根据动量守恒定律有 代入数据解得 碰撞过程中损失的机械能 代入数据解得，故AB正确； C．若为弹性碰撞，设碰后A、B速度分别为、，根据动量守恒定律 机械能守恒定律 联立解得 即A球速度大小为，故C错误； D．由C选项分析可知 即B球速度大小为，故D正确； 故选ABD。 3．如图所示，质量为的球和质量为的球，原来均静止在光滑水平面上。现给球一个向右的初速度，之后与球发生对心碰撞。 (1)若碰后两球粘在一起，求碰后速度的大小； (2)在满足（1）条件下，求碰撞时损失的机械能大小； (3)若是弹性碰撞，求碰后A球的速度。 【详解】（1）若碰后两球一起运动，则 解得 （2）碰撞时损失的机械能大小为 解得 （3）两球发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，有， 联立解得，负号表示碰后A的速度方向向左。 【弹性碰撞和非弹性碰撞的比较】 弹性碰撞 非弹性碰撞 能量变化 机械能完全守恒，动能无损失 机械能有损失，部分动能转化为内能、形变能等 公式 动量守恒： 动能守恒： 动量依然守恒 动能：Ek前>Ek后 形变特点 碰撞后形变完全恢复 碰撞后形变不能完全恢复 特殊情况 完全非弹性碰撞：碰后两物体共速，动能损失最大 常见实例 小球间理想碰撞、分子碰撞 木块相撞、球类落地、物体粘连 联系 两类碰撞动量均守恒（内力远大于外力）。 都满足：碰撞过程时间极短、位移可忽略。 考点02 弹性碰撞的实例分析 1、动量守恒定律在子弹打物块模型中的应用 （1）子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒。 （2）在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化。 （3）若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多。 2、动量守恒定律在板块模型中的应用 （1）对于板块类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒。 （2）整个过程涉及动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 （3）滑块与木板共速时，系统损失的机械能最大。 3、动量守恒定律在含有斜面或曲面的模型中的应用 物体冲上放置在光滑地面上的斜面或曲面后，由于水平方向上没有外力作用，所以水平方向上系统的动量守恒。可以根据情况分成以下两种类型： （1）物体能飞离斜面（或曲面）：在物体与斜面（或曲面）分开之前，因为两者始终一起运动，所以分离瞬间两者在水平方向上速度相等，物体飞到最高点时，两者的速度相同。 （2）物体不能飞离斜面（或曲面）：物体到达斜面上最高处时，两者的速度相同。 可以根据系统的机械能守恒和水平方向上的动量守恒求出物体到达“最高点”时，两者的速度及物体上升的高度。 4、动量守恒定律在含有弹簧的碰撞问题中的应用 （1）对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒。 （2）整个过程涉及弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 （3）弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧具有最大弹性势能。 5、动量守恒定律在绳连接体问题中的应用（绳绷紧瞬间的动量变化） 绳子绷紧瞬间的作用力是非常巨大的，故这一瞬间系统的内力远大于其他外力，所以在绳子绷紧瞬间可以认为系统的动量是守恒的（或在某一方向上是守恒的）。但绳子绷紧瞬间系统的能量要损失一部分。 【深化点拨】 1．子弹打物块模型解题思路点拨 （1）子弹打木块的过程很短暂，认为木块瞬间得到速度且位置不变。 （2）子弹打入木块过程损失的机械能并没有用于克服地面摩擦力做功，克服地面摩擦力做功的是子弹和木块的共同运动的动能。 2．板块模型解题思路点拨：板块模型一般不考虑地面的摩擦力，板块之间的相互作用为内力，因此遵寻动量守恒定律。当达到共速时，系统瞬时的机械能最大，同时也要注意临界条件，如滑块恰好不滑下木板等。 3．含有斜面或曲面的模型解题思路点拨：因为水平方向是没有外力的，所以系统水平方向上动量守恒，当物体达到最高处时，两个物体的速度完全一致。 4．含有弹簧的碰撞问题解题思路点拨：当弹簧压缩到最短时，该弹簧具有最大弹性势能，而弹簧压缩到最短，弹簧连着的两物体不能再靠近，此时两物体具有相同的速度。因此，该类问题临界状态相对应的临界条件是弹簧连着的两物体速度相等。 5．绳连接体问题解题思路点拨：绳子绷紧瞬间，内力远大于外力，系统的动量是守恒的。 1．如图所示，光滑水平面上有一静止的木块，一颗子弹以水平速度v0射穿木块，并沿原来速度方向远离木块。则在子弹射入木块的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．子弹和木块组成的系统机械能守恒，动量守恒 B．子弹对木块的冲量大小等于木块对子弹的冲量大小 C．子弹对木块做的功等于木块对子弹做的功 D．子弹动能变化量的大小等于木块动能变化量的大小 【答案】B 【详解】A．子弹穿过木块时，因水平面光滑，系统水平方向合外力为零，动量守恒。但子弹与木块间摩擦力做功转化为内能，系统机械能不守恒，故A错误； B．由牛顿第三定律，子弹与木块间相互作用力f大小相等、方向相反，作用时间t相同。根据冲量I＝Ft，二者冲量大小相等，故B正确； C．设摩擦力大小为f，木块位移为x1，子弹位移为x2。因子弹速度始终大于木块速度，故x2＞x1。子弹对木块做功W1＝fx1，木块对子弹做功W2＝﹣fx2。由于x1≠x2，得|W1|≠|W2|，故C错误； D．由动能定理，子弹动能变化量|ΔEk2|＝fx2，木块动能变化量|ΔEk1|＝fx1。因x2＞x1，故|ΔEk2|＞|ΔEk1|，即子弹动能减少量大于木块动能增加量，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，左端连接着轻质弹簧、质量为3m的小球B静止在光滑的水平面上，质量为m的小球A以大小为v0的初速度向右做匀速直线运动，接着逐渐压缩弹簧并使小球B运动，一段时间后，小球A与弹簧分离，若小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，则在上述过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球B的最大速度为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．两小球的速度大小可能同时都为 D．从小球A接触弹簧到弹簧再次恢复原长，弹簧对小球A、B的冲量相同 【答案】BC 【详解】AC．A与弹簧接触，压缩弹簧，弹簧向右推动B，B的速度增加，故B速度达到最大时，A恰好与弹簧分离，以向右为正，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得，， 可知，此时两小球的速度大小同时都为，故A错误C正确； B．当弹簧被压缩到最短时，弹性势能最大，此时A、B共速，由动量守恒定律有 由能量守恒定律 解得，，故B正确； D．从小球A接触弹簧到弹簧再次恢复原长，以向右为正，由动量定理对A有 对B有，故D错误。 故选BC。 3．如图所示，质量为m的子弹以速度v0射向静止在光滑水平桌面上的木块，木块的质量为M，子弹进入木块后并未穿出，忽略木块质量的损失。求： (1)子弹击中木块后共同运动的速度v； (2)在此过程中系统损失的机械能∆E为多大？ 【详解】（1）子弹进入木块的过程中动量守恒，可得 解得 （2）此过程中，子弹和木块的势能没有变化，机械能的减小量等于动能的减小量，即 弹性碰撞和非弹性碰撞的综合应用及解题步骤 1. 碰撞类型的“判定”陷阱 （1）弹性碰撞（动碰静模型） 特征：无机械能损失，动能守恒。 核心结论：若 m1撞击静止的 m2，碰后速度公式为：v1′＝，v2′＝ 避坑点：不要每次都列方程组解二元二次方程，直接套用上述结论可节省大量时间。注意 m1=m2时发生“速度交换”。 （2）完全非弹性碰撞 特征：碰后粘在一起，共速运动，机械能损失最大。 通法：直接列动量守恒 m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 ，再结合能量守恒求损失热量 Q=ΔEk 。 2.“板块/子弹打木块”模型解题四步法：这是本节最经典的模型，涉及动量与能量的综合应用。 （1）全过程分析： 第一阶段（相对滑动）：系统动量守恒（水平方向），但机械能不守恒（有摩擦生热）。 第二阶段（共速后）：若地面光滑，一起匀速；若地面粗糙，一起做匀减速。 （2）两大方程联立： 动量方程： mv0=(M+m)v共（求共同速度） 避坑点：能量方程中，摩擦力做功对应的位移必须是相对位移（即板长或划痕长度），而不是对地位移。 3. 多过程与多次碰撞的处理技巧 （1）找规律（数列法） 对于“两物体多次碰撞”问题，通常每次碰撞后的速度会按一定比例衰减。 通法：算出前两次碰撞后的速度，寻找公比或递推公式，利用数学归纳法求解第n次碰撞后的状态。 （2）临界状态分析 滑块斜面/曲面模型：当滑块滑到最高点时，两者具有相同的水平速度（竖直方向速度为0）。此时系统水平方向动量守恒，且机械能守恒（若光滑）。 易错点：不要把“共速”当成“停止”，此时系统仍有动能。 4. 弹簧模型的“双向性” （1）压缩最短/拉伸最长时：两物体速度相等（共速），此时弹性势能最大。 （2）恢复原长时：相当于发生了一次“弹性碰撞”，动量和机械能均守恒。 通法：将弹簧作用过程拆解为“共速点”和“原长点”两个特殊状态列方程。 角度01 弹性碰撞：动碰静 1．质量为m、速度为v的A球跟质量为4m的静止B球在光滑的水平面上发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，下列说法正确的是（     ） A．碰撞过程中，两个小球组成的系统动量不一定守恒 B．碰撞后瞬间，B球的速度可能为0.3v C．碰撞后瞬间，A球的速度可能为 D．碰撞过程中，A球受到的冲量方向与其初速度方向相同 【答案】B 【详解】A．两个小球在光滑水平面运动，碰撞过程中两个小球组成的系统所受合外力为零，动量一定守恒，故A错误； BC．A、B两个小球发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律 解得 发生弹性碰撞时，由动量守恒定律 由机械能守恒定律 解得， 碰撞后瞬间，A球的最大速度为，不可能为；B球速度满足，0.3v在该范围内，B球的速度可能为0.3v，故B正确，C错误； D．碰撞过程中A球受到B的弹力与初速度方向相反，冲量方向与力的方向一致，故A球受到的冲量方向与初速度方向相反，故D错误。 故选B。 2．（多选）如图所示，在光滑的水平面上放有两个大小相等小球A和B，其质量、，B球上固定一水平轻质弹簧。若A球以速率v=4m/s向右运动去碰撞静止的B球，下列说法正确的是（　　） A．A、B两球在碰撞过程中的加速度都是先增大后减小 B．弹簧最大的弹性势能为6.4J C．碰撞结束时，小球A将向左运动 D．碰撞结束时，B球速度大小为3.2m/s 【答案】ABC 【详解】A．A、B两球在碰撞过程中弹簧先被压缩，当两球速度相等时弹簧被压到最短，然后再次回到原长，故弹簧的形变量先增大后变小，则弹簧的弹力先增大后变小，两球所受的合外力都为弹力，故两球的加速度都是先增大后减小，故A正确； B．当A、B速度相等时弹簧的弹性势能达到最大，设此时共同速度为，由动量守恒可得 能量守恒可得 联立解得，故B正确； CD．当弹簧恢复原长时，碰撞结束，设此时A、B的速度分别为、，由动量守恒可得 能量守恒可得 联立解得，，故C正确，D错误。 故选ABC。 3．如图所示，质量为的小车放在台阶左侧的光滑水平面上，小车由光滑圆弧轨道和粗糙水平轨道构成，圆弧轨道的半径为，圆心为，与水平轨道相切于点，水平轨道的长度为，上表面与台阶平齐。小车最右端放置一质量为的滑块，滑块与小车水平轨道间的动摩擦因数为。一质量为的小球从台阶上以大小为的水平速度与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块能从圆弧轨道最高点冲出。滑块和小球均可视为质点，重力加速度为，求： (1)碰后瞬间滑块的速度大小； (2)滑块脱离圆弧轨道后还能上升的最大高度。 【详解】（1）小球和滑块发生弹性碰撞，动量和机械能均守恒，有，     解得 （2）设滑块上升到最高点时水平速度为，有， 滑块离开轨道后沿竖直方向上升的最大高度 角度02 弹性碰撞：动碰静 4．如图所示，A、B两小球在光滑水平面上分别以动量p1＝4 kg·m/s和p2＝6 kg·m/s(向右为参考正方向)做匀速直线运动，则在A球追上B球并与之碰撞的过程中，两小球的动量变化量Δp1和Δp2可能分别为（     ） A．－2 kg·m/s, 3 kg·m/s B．－8 kg·m/s, 8 kg·m/s C．1 kg·m/s, －1 kg·m/s D．－2 kg·m/s, 2 kg·m/s 【答案】D 【详解】A．碰撞过程动量守恒，两物体动量的变化量应等大反向，故A错误； B．因为碰撞的过程中动能不增加，若和分别为－8 kg·m/s, 8 kg·m/s，则， 根据 碰前的总动能为 碰后的总动能为 可得 可知碰撞的过程中动能增加，故B错误； C．根据动量定理知，两球碰撞的过程中，B球的动量增加，A球的动量减小，若动量变化量为1 kg·m/s, －1 kg·m/s，与事实不相符合，故C错误； D．动量变化量为-2kg·m/s，2kg·m/s，符合动量守恒，根据 碰前的总动能为 碰后的总动能为 又因为A球能追上B球，所以有 联立可得 可见动能不增加量，符合实际规律，故D正确。 故选D。 5．（多选）在未来的智能物流运输系统中，有一个在光滑轨道上可自由滑动的大型运输平板，其长度为，初始时处于静止状态。工作人员将包裹和包裹放置在运输平板上，包裹位于平板的左端，包裹则在平板的正中间。为了使包裹移动起来，智能推送装置瞬间给包裹一个向右的初速度，之后与包裹发生了弹性正碰，碰撞时间极短，最终包裹刚好到达运输平板的右端，已知包裹、的质量均为，运输平板的质量为，且包裹、与运输平板c表面之间动摩擦因数均为，重力加速度为。下列关于包裹和运输平板运动情况的说法，正确的是（　　） A．与碰撞前，与保持相对静止 B．与碰撞后，与都相对滑动 C．的初速度 D．若物块初始位置离木板右端近一些，重复上述过程，将滑离木板 【答案】AC 【详解】A．包裹滑上后相对滑动过程中，假设相对静止，由牛顿第二定律，对、整体有 对有 解得 即与间的静摩擦力小于最大静摩擦力，则相对保持静止，、一起加速运动，故A正确； B．设、碰撞前瞬间的速度分别为、，、发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得， 即碰撞后、两者交换速度，相对滑动，由A可知，、相对静止一起运动，故B错误； C．刚好滑到的右端与相对静止，、、共速，设共同速度为 、、组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 其中 解得，故C正确； D．若包裹初始位置离平板右端近一些，重复上述过程，全程动量守恒的表达式和能量守恒的表达式不变，故仍刚好到的右端，故D错误。 故选AC。 6．如图所示，水平传送带AB长度，以恒定的速率顺时针方向匀速转动，传送带右侧有一光滑的平台与传送带等高（不计与传送带的间隙）。质量为的物块Q放在光滑平台的左端，将一个质量的物块P轻放到传送带的左端A点，物块P与传送带的动摩擦因数，物块P与物块Q之间发生的碰撞为弹性正碰，取重力加速度，求： (1)第一次碰撞后瞬间物块P和物块Q的速度； (2)最终物块Q的速度大小。 【详解】（1）物块P在传送带上运动的加速度大小 物块P与传送带共速需要经过的位移 所以物块P与物块Q碰前的速度为 物块P与物块Q碰撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 所以第一次碰撞后瞬间，物块P的速度大小为，方向向左；物块Q的速度大小为，方向向右。 （2）物块P碰后反弹，向左匀减速运动的最大位移 物块P向右匀加速运动到B点的速度为 物块P第二次与物块Q弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 因 所以最终物块Q的速度大小为 角度03 完全非弹性碰撞 7．如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力和作用下，由静止开始沿同一直线相向运动在时刻发生正碰后各自反向运动。已知和始终大小相等，方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据牛顿第二定律两物体受外力F大小相等，由图像的斜率等于加速度可知M、N的加速度大小之比为4:6=2:3，可知M、N的质量之比为6:4=3:2；设分别为3m和2m；由图像可设MN碰前的速度分别为4v和6v，则因MN系统受合外力为零，向右为正方向，则系统动量守恒，则由动量守恒定律 若系统为弹性碰撞在，则能量关系可知 解得、 因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，即两物体一起停止，则BD是错误的； 若不是弹性碰撞，则 可知碰后速度大小之比为 若假设v1=2v，则v2=3v，此时满足 则假设成立，因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，对M来说碰撞前后的速度之比为4v:2v=2:1 可知碰撞前后运动时间之比为2:1，可知A正确，C错误。 故选A。 8．（多选）如图，光滑水平面上有、两个弹性小球和、两个滑块，质量分别为、、、。小球靠墙通过一根轻弹簧与小球相连，此时弹簧处于原长。现给滑块一个向左的初速度，与滑块发生碰撞，碰后立即结合在一起，之后系统没有机械能损失，弹簧始终处于弹性限度之内。以下说法正确的是（　　） A．离开墙之前、、、组成的系统动量守恒 B．离开墙之后、、、组成的系统动量守恒 C．小球速度的最大值为 D．弹簧弹性势能最大值为 【答案】BC 【详解】A．离开墙之前，由于墙壁对a球有弹力作用，、、、组成的系统动量不守恒，故A错误； B．离开墙之后、、、组成的系统合外力为零，系统动量守恒，故B正确； C．现给滑块一个向左的初速度，与滑块发生碰撞，碰后立即结合在一起，有 之后系统没有机械能损失，与发生弹性碰撞，有 解得， 此后发生类弹性碰撞，有 解得小球速度的最大值为，故C正确； D．cd整体与b碰撞过程有 联立解得 b球的动能全部转化为弹簧弹性势能，最大值为，故D错误。 故选BC。 9．如图所示，一个质量m=90g的物块A和一个质量M=200g的物块B静止在光滑水平面的同一条直线上。现有一质量m0=10g的子弹以v0=300m/s的速度射入A物体并嵌在其中，在运动了一段时间后与B物体发生弹性正碰，在这段过程中： (1)子弹射入物块A后的共同速度； (2)子弹射入过程中损失的机械能E； (3)发生弹性正碰后，物块A的速度与物块B的速度。 【详解】（1）因地面光滑，子弹射入物块A的过程中，根据动量守恒                            解得 （2）子弹射入过程中损失的机械能 解得 （3）发生弹性正碰，根据动量守恒 机械能守恒 联立可得，方向水平向左；，方向水平向右 角度04 板块/子弹打木块模型 10．如图所示，质量为的子弹，以初速度射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。木块质量为，长度为，子弹射入木块的深度为，在子弹射入木块的过程中木块移动距离为。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（　　） A．可能大于，也可能小于 B．一定小于，一定小于 C．子弹动能减少量小于木块动能增加量 D．子弹动量变化量等于木块动量变化量 【答案】B 【详解】AB．子弹射入木块并留在其中，系统动量守恒，最终二者共速。设阻力大小为 由动量守恒，木块位移，子弹位移，子弹陷入深度 联立解得，由于，故恒成立。又因为子弹未穿出木块，有， 所以 因此，一定小于，一定小于，故A错误，B正确； C．子弹减少的动能一部分转化为木块的动能，一部分因摩擦生热转化为内能。所以子弹动能减少量大于木块动能增加量，故C错误； D．系统动量守恒，子弹动量的减少量等于木块动量的增加量。但子弹的动量变化量，木块的动量变化量，，两者互为相反数，矢量不相等，故D错误。 故选B。 11．（多选）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落可从小车右端进入小车的圆弧轨道 【答案】AC 【详解】A．设小车A、滑块B、子弹C的质量分别为、、，子弹击中滑块B的过程，子弹与滑块B组成的系统动量守恒 解得，故A正确； B．从圆弧轨道的最高点离开小车，滑块B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m，则滑块B离开小车时竖直方向的分速度 滑块B离开小车瞬间，以小车为参照物，滑块B相对于小车沿水平方向的分速度 从滑块B开始滑动到离开小车，以水平向右的方向为正方向，系统水平方向动量守恒，得 其中 解得， 所以滑块B离开小车瞬间的速度大小，故B错误； C．滑块B开始滑动到离开小车瞬间，由能量守恒定律得 解得小车粗糙水平面的长度，故C正确； D．滑块B离开小车时水平方向速度不相等，则再下落至小车右端等高位置时，滑块B和小车水平位移不等，故不能从小车右端进入小车的圆弧轨道，故D错误。 故选AC。 12．如图所示，有一质量为的木板B静止在光滑水平面上，其上表面粗糙且右端到竖直墙壁的距离为，一质量为的滑块A静止在木板B的左端，现有一颗质量为的子弹以速度水平射入滑块A且未穿出（射入时间极短），之后当A相对于B滑行时B与墙壁发生碰撞，最终A恰不从B上滑落，不计B与墙壁碰撞能量损失，求： (1)子弹射入滑块A后，二者的共同速度大小； (2)A相对B滑行时木板B的速度大小； (3)木板B的长度。 【详解】（1）子弹射入滑块动量守恒： 解得 （2）此后子弹和滑块A一起做匀减速直线运动，B做匀加速直线运动。设子弹和A相对B滑行5l时间为t，子弹和A速度v1，B速度为v2，则： 系统动量守恒： 对B： 对子弹和A： 联立得： （3）碰后继续相对滑动，根据动量守恒： 子弹和A、B减速至速度为零后静止，设B的长度为L，AB间动摩擦因数为μ则： 碰前对B由动能定理有： 解得 角度05 滑块斜（曲）面模型 13．如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 【答案】B 【详解】根据小球和小滑块水平方向动量守恒可得 可得在t时间内求和可得 可得 且 可得。 当小球运动到最高点时可得， 得， ，则 最终小滑块的位移是 故选B。 14．（多选）如题图所示，质量为的小车A置于光滑水平地面上，其右端固定一半径的四分之一圆弧轨道。质量为的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量、速度的子弹C击中，且子弹立即留在滑块B中，之后B与C共同在小车上滑动，且从圆弧轨道的最高点离开小车。不计A与B之间的摩擦和空气阻力，重力加速度，则（     ） A．子弹C击中滑块B后瞬间，滑块B的速度大小为6 m/s B．滑块B第一次离开小车瞬间，滑块B的速度大小为 C．滑块B第二次离开小车瞬间，小车A的速度大小为8 m/s D．滑块B从第一次离开小车到再次返回小车的过程中，滑块B的位移大小为2 m 【答案】BD 【详解】A．子弹击中滑块B的过程，子弹与滑块B组成的系统动量守恒，子弹与B作用过程时间极短，A没有参与，速度仍为零，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律可得 解得，故A错误； B．滑块B第一次离开小车时，水平方向动量守恒，设系统水平方向的共同速度为，滑块B在竖直方向的速度为，由动量守恒定律可得 解得 由能量守恒定律可得 解得 则物块B第一次离开小车的瞬间，其速度大小为，故B正确； C．从子弹击中后到B第二次离开小车的过程中，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 解得，故C错误； D．滑块B离开小车后，以小车为参照物，滑块B做竖直上抛运动，则再次返回小车所需要的时间为 结合上述分析可知 解得 此过程小车的位移大小为 其中 解得小车的位移大小为，故D正确。 故选BD。 15．如图所示，光滑水平面上有固定弹性挡板P，光滑四分之一圆弧体B和可视为质点物体C静止在水平面上，B的质量为、半径为，最低点刚好与水平面相切，B的左侧面与物体C的距离也为，物体C的质量为。将质量为可视为质点的小球A从圆弧面最高点的位置由静止释放，当小球A第一次与挡板P发生弹性碰撞时，圆弧体B也刚好第一次与C碰撞并粘连；重力加速度为。求： (1)小球A第一次运动到水平面上时的速度大小； (2)挡板P与物体C间初始时的距离； (3)小球A与P碰撞后第一次滑上圆弧体能达到的最大高度。 【详解】（1）设小球第一次运动到水平面上时圆弧体B的速度大小为，A、B水平方向动量守恒   A、B机械能守恒：   得 （2）设小球从圆弧面最高点运动到挡板P的过程中，小球沿水平方向运动的距离为，圆弧体沿水平方向运动的距离为，则   A、B水平方向动量守恒，则 则   即    得 （3）B与C相碰时动量守恒   A向左滑上圆弧体B到达最大高度过程水平方向动量守恒，   A、B、C能量守恒   角度06 滑块弹簧模型 16．如图甲所示，物块A与物块B之间通过一根轻质弹簧栓接，静置在光滑的水平地面上，物块B与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，时解除锁定。规定向右为正方向，物块A在一段时间内运动的图像如图乙所示，已知物块A的质量为，则（     ） A．物块B的质量为 B．时刻弹簧处于原长 C．时间内，弹簧弹性势能的最大值为 D．时间内，物块A运动的位移大小为 【答案】C 【分析】对物块A运动状态分析： 时间段弹簧处于压缩状态，接触锁定后弹簧逐渐恢复原长，物块B与墙面接触保持静止，物块A随着弹簧恢复原长，弹力减小，做加速度减小的加速运动，时刻弹簧恢复原长，物块A速度达到最大 时间段，物块A要继续向右运动，弹簧逐渐被拉长弹力增大，物块A将做加速度增大的减速运动，物块B将从静止开始做加速度增大的加速运动，时刻物块AB共速时，弹簧长度达到最大。 时间段，方向均向右，弹簧逐渐恢复原长，物块A将做加速度减小的减速运动，物块B将做加速度减小的加速运动，时刻物块A速度减到最小，弹簧恢复原长，此后由于，弹簧将再次被压缩， 物块A加速，物块B减速。 【详解】A．由分析知时刻物块AB共速，由动量守恒得，解得，故A错误； B．时刻弹簧长度达到最大，故B错误； C．时刻物块AB共速，弹簧长度达到最大，由机械能守恒得 弹性势能，故C正确； D．内物块A运动的位移是图像与时间轴围成的面积，由图象知，故D错误。 故选 C。 17．（多选）如图所示，足够长的曲面与水平桌面平滑连接，将两物体甲、乙之间的轻弹簧压缩后用细线连接，置于水平桌面上，弹簧与两物体不连接。现将细线烧断，弹簧将两物体弹开，乙离开弹簧后从右边飞出，甲离开弹簧后冲上曲面。已知桌面高为，乙平抛的水平射程为，甲的质量为2 kg，乙的质量为1 kg，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为，则（     ） A．弹簧的弹性势能为12 J B．甲冲上曲面高度H为1 m C．乙离开弹簧时的速度大小为2 m/s D．甲离开弹簧时的速度大小为2 m/s 【答案】AD 【详解】C．对乙平抛过程分析，有， 解得，故C错误； D．弹簧将两物体弹开的过程，甲、乙组成的系统动量守恒，取向左为正方向，由动量守恒定律有 解得甲离开弹簧时的速度大小为，故D正确； A．弹簧的弹性势能为 代入数据可得，故A正确； B．甲离开弹簧后，根据机械能守恒定律有 可得，故B错误。 故选AD。 18．如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 【详解】（1）根据机械能守恒定律可得 解得 （2）当A、B共速时，有 解得 弹簧的最大弹性势能为 解得 （3）以水平向左为正方向，根据动量守恒定律可得 根据机械能守恒定律可得 联立解得 所以弹簧对A的冲量为 则A的冲量大小为，方向水平向右。 角度07 单次碰撞的多过程问题 19．如图所示，a、b、c是三辆完全相同的平板小车，车c上有一小孩，三者成一直线静止排列在光滑水平面上。车c上的小孩跳到车b上，稳定后，再从车b跳到车a上。小孩跳离车c和车b时相对于地面的水平速度相同，跳到车a上后相对车a保持静止。下列说法中正确的是（　　） A．两车a、b最终运动方向相同 B．两车b、c最终运动方向相反 C．运动过程两车a、c动量变化量大小关系为 D．三辆车最终速率的关系 【答案】C 【详解】ABD．若小孩跳离b、c车时相对地面的水平速度为，以水平向右为正方向，由动量守恒定律知：水平方向，对小孩和c车组成的系统 对人和b车 对人和a车 所以，， 即三辆车的速率关系为，并且与方向相反，故ABD错误； C．c动量变化量为 a动量变化量为 所以动量变化量的大小的关系为，故C正确。 故选C。 20．（多选）在马戏团表演中，两辆质量均为的小车、静止于水平地面的一条直线上，有一只质量为的小狗蹲在小车上，听到起跳命令后，小狗以相对于车的水平速度跳到车上，稳定后，小狗又以相对于车的水平速度跳到车上。不计地面对小车的阻力，下列说法正确的是（　　） A．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 B．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 C．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 D．小狗跳回车后，小狗与车共速时，相对于地面的速度大小为 【答案】BCD 【详解】AB．小狗跳离车时，小狗和车组成的系统在水平方向上动量守恒，设小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为，方向水平向左；小狗相对于地面的速度大小为，方向水平向右；两车的质量均为，小狗的质量为。根据动量守恒可得 其中，由题意可知 解得，，故A错误，B正确； C．小狗跳到车后，设共速时的速度大小为，方向水平向右，根据动量守恒可得 解得 由题意可知，小狗此后又跳回到B车，则设小狗跳离车时，小狗相对于地面的速度大小为，方向水平向左；车相对于地面的速度大小为，方向水平向右。取水平向右为正方向，根据动量守恒可得 其中，由题意可知 解得，，故C正确； D．设小狗跳回车后，小狗与车共速时，相对于地面的速度大小为，取水平向左为正方向，根据动量守恒可得 解得，故D正确。 故选BCD。 21．如图，在光滑水平面上放置着两个半径为R的四分之一光滑圆弧轨道D和C，其中轨道D固定在地面上，轨道C质量为M，两轨道均在最低点与地面相切，它们之间放有一质量为m的滑块B，一质量为m的小球A从轨道D的顶端由静止滑下。已知质量关系为M=4m，重力加速度为g，小球A与滑块B均视为质点。 (1)求小球A第一次滑到轨道D最低点时的速度大小； (2)小球A与滑块B发生第一次碰撞后粘在一起，求小球A与滑块B能冲上轨道C的最大高度h； (3)小球A与滑块B第一次滑离轨道C后，求轨道C的速度大小。 【详解】（1）小球A第一次滑到轨道D最低点的过程，根据动能定理有 解得 （2）小球A与滑块B发生第一次碰撞后粘在一起，设碰撞后的速度为v1，根据动量守恒定律有 解得 小球A与滑块B冲上轨道C的最高点时，设其速度为v2，对小球A、滑块B与轨道C组成的系统，水平方向上动量守恒，则 根据能量守恒定律有 解得 （3）小球A与滑块B从最高点第一次滑离轨道C过程，系统水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律有 解得 角度08 多物体多次碰撞问题 22．如图所示，标号为1、2、3、…、10的10个大小相同的小球依次排列在光滑水平面上，标号为奇数的质量均为m，标号为偶数的质量均为2m，现使标号为1的小球获得水平向右的初速度，以后发生的碰撞均为弹性碰撞，且相邻两小球之间仅碰撞一次，则标号为9、10的小球碰撞后，标号为10的小球运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球1和小球2碰撞过程动量守恒和动能守恒，则有， 解得 接下来，小球2和小球3碰撞过程动量守恒和动能守恒，则有， 解得 则小球3和小球4碰撞过程动量守恒和动能守恒，则有， 解得 则小球4和小球5碰撞过程动量守恒和动能守恒，则有， 解得 根据以上推导可得标号为10的小球运动的速度大小为。 故选D。 23．（多选）如图，一长为的不可伸长的轻绳两端各连接一质量为的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两小球间的距离等于绳长，且绳长远大于小球半径。一大小为的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两小球连线垂直。两小球在运动过程中会发生多次碰撞，当两小球沿恒力方向运动距离时两小球停止碰撞，靠在一起相对静止稳定运动。以下说法中正确的是（    ） A．两小球在碰撞过程中损失的机械能为 B．两小球在碰撞过程中损失的机械能为 C．两小球稳定运动时速度大小为 D．两小球稳定运动时速度大小为 【答案】AC 【详解】设两小球系统质心的加速度为，有 稳定运动时两小球的速度均为，方向沿水平方向，此时两小球的速度即为系统质心的速度，有 设两小球在碰撞过程中损失的机械能为，对系统由能量守恒有 解得， 故选AC。 24．如图所示，质量M=1kg的足够长的木板静止在粗糙水平地面上，将一质量m=3kg的可视为质点的物块静置于长木板最左端，木板右端有一竖直墙壁，已知物块与木板间的动摩擦因数=0.2，木板与水平面间的动摩擦因数=0.1，物块与木板间、木板与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，从t=0时刻起，给小物块施加一水平向右、大小为F=15N的力，作用2s后撤去力F，木板在3s时与墙壁发生碰撞，g=10m/s2，求： (1)0~2s内物块和木板的加速度； (2)木板初始位置的右端到墙壁的距离； (3)若木板与墙壁碰撞后立即以原速率反向弹回，碰撞瞬间物块的运动状态不改变，求木板和墙壁发生第二次碰撞时物块距木板左端的距离。 【详解】（1）当物块与木板之间的摩擦力达到最大时，此时有两者不发生相对滑动的最大拉力，以木板为对象，根据牛顿第二定律 以物块为对象，由牛顿第二定律 解得 因为F=15N>，所以物块与木板各自加速，设物块加速度为a1，根据牛顿第二定律，有 代入数据解得a1=3m/s2，水平向右。 设木板的加速度为a2，根据牛顿第二定律，有 解得a2=2m/s2，水平向右。 （2）作用t1=2s后，撤去F时物块的速度为v1，木板的速度为v2，则物块的速度为v1=a1t1=6m/s 木板的速度为v2=a2t1=4m/s 撤去F后，物块减速，设物块加速度为a3，根据牛顿第二定律，有 解得a3=2m/s2 撤去F后，木板加速，长木板加速度a4=a2=2m/s2 当两者至第一次共速时 解得v共=5m/s，t2=0.5s 共速后二者一起减速，其加速度为a共，根据牛顿第二定律有 解得a共=1m/s2 再次减速时间与墙壁发生碰撞。 由匀变速直线运动规律知 共同运动的距离为 木板右端到墙壁的距离 （3）第一次共速前，物块的位移 木板的位移x2=d1=6.25m 第一次共速前两者的相对位移 设碰撞墙壁前物块和木板共同速度为，有 由受力分析知，碰撞后物块由于惯性继续向前做匀减速直线运动，木板碰后反向做匀减速直线运动，设物块做匀减速直线运动加速度为a5，木板做匀减速直线运动加速度为a6，对物块，有a5=a3=2m/s2 对木板，根据牛顿第二定律有 代入数据解得a6=10m/s2 当木板速度减到零时，设时间为t4，由，解得t4=0.45s 在t4时间内，物块向右的位移 木板向左的位移 相对位移 此时物块的速度 之后物块继续减速，长木板反向加速，对物块 对木板，由牛顿第二定律知 解得 两者再次共速，设时间为t5，有 解得t5=0.9s 物块向右位移为 木板向右的位移 相对位移 由x4>x6可知，物块和木板先共速，再一起以初速度减速，长木板能第二次碰上墙壁，此过程两者间无相对位移。 故物块与木板再次共速时物块距木板左端的距离 【例1】（2026·浙江）如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 (1)求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； (2)从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； (3)求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； (4)若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 【答案】(1)，，方向竖直向上 (2) (3)， (4)见解析 【详解】（1）对a物块下滑过程中根据动能定理有 可得； 在B点根据牛顿第二定律有 可得，方向竖直向上； （2）如图 由于h<<r，滑块a所受回复力F，则 可知滑块受到的回复力F与x成正比，方向与x相反，因此滑块a从释放到第一次到达最低点的运动是简谐运动。 （3）滑块b在圆弧形斜面上垂直槽轴线方向的运动性质与a相同，平行槽轴线方向做匀速度直线运动。设滑块b的速度沿槽轴线和垂直槽轴线分速度为vbx、vby，如图 当vbx=0时，滑块b第一次滑到最高点，由题意可知滑块b到达的最高点高度与滑块a的开始下滑的高度相等。此时速度为vby，经历的时间t1为； 又因与滑块a最高点相同，由题意可知 即 因为滑块a、b在最高点发生碰撞，设碰后滑块b的速度为v'by。由动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， （4）碰后滑块a在平行于槽轴线方向的速度始终为va，从MN边界射出的最基本的几种临界情况如图1、2、3、4所示。考虑周期性，则L有多种情况 由题给数据可得，， 滑块a每一次在圆弧型斜面上滑或下滑的时间为 滑块a每一次滑过水平面的时间为 又由于滑块a从任一点出发回到该点同高度位置时的时间相等，设时间为T，则T=4t1+2t2=(2π+1) s 滑块a由碰后到从MN之间飞出的时间t满足，L=0.4t 所以由图1、2可知或，…… 由图3、4可知即或者，…… 综上分析可知t应满足 则滑块a能从MN之间飞出时L的范围为，（n=0，1，2，3，4……） 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）机械能守恒与圆周运动：物块沿光滑圆弧下滑，只有重力做功，考查机械能守恒定律的应用；在圆弧最低点，重力与支持力的合力提供向心力，考查圆周运动向心力公式的理解与计算。 （2）运动的合成与分解：物块斜向滑入圆弧面，需要将速度分解为不同方向的分量，考查运动的正交分解思想，以及分运动的独立性与等时性。 （3）弹性碰撞规律：两物块在最高点发生弹性碰撞，考查动量守恒定律与动能守恒定律的联立应用，以及弹性碰撞的速度关系。 （4）周期性运动与临界分析：结合简谐运动的周期性与平板上的往复运动，分析物块滑离的临界情况，考查对运动过程的分段拆解能力，以及几何条件与运动规律的综合应用。 （5）力学综合应用能力：整道题串联多个力学模型，考查多阶段过程分析、模型转化、临界条件判断的综合能力，对知识的系统性和解题逻辑有较高要求。 【变式1-1】如图所示，在光滑的水平地面上静置一质量为的四分之一光滑圆弧滑块，圆弧半径为，一质量也为的小球，以水平速度自滑块的左端处（切线水平）滑上滑块，当二者共速时，小球刚好到达圆弧上端点，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．大小为 B．若将小球的初速度增大为，则小球能上升的最大高度为 C．小球返回圆弧轨道底端分离后将做平抛运动 D．若增大圆弧滑块的质量，小球上升的最大高度将增大 【答案】D 【详解】A．当小球上升到圆弧的上端时，小球与滑块速度相同，设为，以小球的初速度方向为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 代入数据解得 故A错误； B．若小球以冲上滑块，当小球上升到圆弧的上端时，小球与滑块水平速度相同，设为，以小球的初速度方向为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 小球离开圆弧后做斜抛运动，竖直方向做减速运动，则由动能定理有 解得 故距B点的最大高度为，故B错误； C．设小球质量为，初速度为，小球返回圆弧轨道底端分离时速度为，滑块质量为，分离时速度为 由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 由于 由以上各式解得， 小球返回圆弧轨道底端分离后，水平方向速度和竖直方向速度均为0，小球不会做平抛运动，故C错误； D．设滑块质量为，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律得 可得 则有当增大时，小球上升的最大高度将增大，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（多选）如图所示，两个弹性球A和B放在光滑的水平面上处于静止状态，质量分别为和其中。现给A球一个水平向右的瞬时冲量，使A、B球发生碰撞，以此时刻为计时起点，两球的速度随时间变化的规律如右图所示，从图示信息可知（　　） A．B球的质量 B．球A和B碰撞过程最大弹性势能为7.5J C．球A和B发生的是非弹性碰撞 D．碰撞过程A对B的冲量为6N∙s 【答案】BD 【详解】A．两球碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由图示图线可知，两球共速的速度为2m/s，根据动量守恒定律可得 代入数据解得，故A错误； B．当两球速度相等时弹性势能最大，由能量守恒定律得，故B正确； C．由图可知，两球分离时A的速度为-1m/s，B的速度为4m/s，由于 即两球碰撞过程中没有机械能损失，所以发生弹性碰撞，故C错误； D．根据动量定理可得，碰撞过程A对B的冲量为，故D正确。 故选BD。 【变式1-3】如图所示，一足够长的固定轻杆与水平方向夹角为，质量为3m的B环套在轻杆上恰好不下滑，距离B环的位置有一质量为m的光滑环A从静止释放。下滑过程中，A环与B环的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)求A环与B环第一次碰后瞬间的速度； (2)求第一次碰撞后到第二次碰撞前的时间内B环位移的大小； (3)求B环从初始位置到第10次碰撞时的距离。 【详解】（1）取沿杆向下为正，设A与B碰前速度为，根据能量守恒有 由于A与B的碰撞为弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， （2）B环开始恰好不下滑静止于轻杆上，有 则碰后B环匀速下滑，A环沿杆向上做匀减速直线运动，以B为参考系，A相对B的初速度为 A相对B的加速度为 由题意有 解得时间为 则B环的位移为 （3）设A与B第二次碰前速度为，则有 A与B第二次碰后速度分别为、，由动量守恒定律与机械能守恒定律得， 解得， 第二次碰撞后，A相对B的初速度为 则经历时间两环发生第三次碰撞，第二、三次碰撞之间B环位移 同理可得此后每经过0.8s发生一次碰撞，第三、四次碰撞之间B环位移 所以第次碰后B环位移 则B环从初始位置到第10次碰撞时位移的大小 【例2】（2026·云南）某同学设计的弹球游戏装置示意图如图所示，装置由一段倾斜直管道和N个相同的不对称“倒V”形管道平滑连接而成，管道透明且光滑，固定在竖直平面内。入口端与第一个“倒V”形管道左端高度差为，每个“倒V”形管道最高点与其左、右两端的高度差分别为和，每个“倒V”形管道的左端均静置1个质量为m的弹球，自上而下依次编号为1，2，3，…，N。开始游戏时，在入口端由静止释放一质量为的弹球P。所有弹球的直径均略小于管道内径，不计管道内径、弹球大小及滚动、弹球与管道相互作用的能量损失和空气阻力，所有弹球之间的碰撞均视为对心弹性碰撞，重力加速度为g。 (1)求弹球P与1号弹球第一次碰撞后瞬间，弹球P和1号弹球各自的速度大小； (2)已知：每个弹球在被上方弹球碰撞后，与下方弹球碰撞前不会被上方弹球再次碰撞，且所有弹球（包括P）都能到达出口。 （i）求1号弹球与2号弹球第一次碰撞后瞬间，1、2号弹球各自的速度大小； （ii）求弹球P与1号弹球第次碰撞后瞬间的速度大小； （iii）若N足够大，且，求与之间应满足的关系。 【详解】（1）P球到达第1个平台时，由机械能守恒定律有 解得 P球与1球碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， （2）（i）1球到达第2个平台时，由动能定理有 解得 1球与2球碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， 可知两球速度交换； （ii）设P球到达第k个平台时的速度为，与第k个平台处的1球碰撞后的速度为，则P球从第个平台发生第次碰撞后到第k个平台碰撞前，由动能定理① P球在第k个平台与1球碰撞，由动量守恒、机械能守恒，由之前计算结果的规律，可知② 联立①②可得 由数学知识，可知是等比数列，公比为 所以有 解得 （iii）经分析，只需考虑P球，每次都要越过最高点，则对于任意k（），由能量关系有 即 变形为 由可知 则是的减函数，故时，趋近于零，化简为 解得 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）机械能守恒定律：弹球在光滑管道内运动，只有重力做功，考查机械能守恒的应用，用于计算弹球碰撞前后的速度，判断弹球能否到达指定高度。 （2）弹性碰撞规律：弹球间的碰撞均为对心弹性碰撞，考查动量守恒与动能守恒的联立应用，以及不同质量物体弹性碰撞的速度传递、反向规律。 （3）周期性与多次碰撞分析：弹球在 “倒 V” 形管道中往复运动，会发生多次碰撞，考查对运动周期性的理解，以及多次碰撞过程的规律总结，分析碰撞次数与速度变化的关系。 （4）临界条件与不等式推导：题目给出 “所有弹球都能到达出口” 等条件，考查临界状态的判断，以及利用能量条件推导物理量之间的约束关系。 （5）多阶段过程拆解能力：整道题包含下滑、碰撞、往复运动、多次碰撞等多个阶段，考查将复杂过程拆解为独立阶段、逐个分析的能力。 （6）力学模型的综合应用：将弹性碰撞、机械能守恒与往复运动结合，考查对力学模型的综合迁移能力，要求将基础规律应用到复杂的多阶段问题中。 【变式2-1】如图所示，固定光滑曲面左侧与光滑水平面平滑连接，水平面依次放有2024个质量均为2m的弹性物块（所有物块在同一竖直平面内，且间距足够小），质量为m的0号物块从曲面上高h处静止释放后，沿曲面滑到水平面上与1号物块发生弹性正碰，0号物块反弹后滑上曲面再原路返回，如此反复。所有物块均可视为质点、两两间碰撞时均无机械能损耗，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．最终物块间的距离保持不变 B．1号物块共受到4048次碰撞 C．0号物块最终动量大小为 D．2022号物块最终速度 【答案】C 【详解】AD．对0号物块，从曲面最高点到最低点过程中，根据机械能守恒定律有 解得 由题可知，2024个弹性物块两两之间碰撞时交换速度，所以2024号物块最终速度是0号物块与1号物块发生弹性正碰后1号物块的速度，由机械能守恒和动量守恒有， 解得， 可知2024号物块最终速度为，同理2023号物块最终速度是0号物块与1号物块第2次发生弹性正碰后1号物块的速度为，2022号物块最终速度为 故后面物块的速度不断减小，间距不断增大，故AD错误； B．2024个弹性物块两两之间碰撞时交换速度，0号物块与1号物块碰撞2024次，2号物块在开始匀速运动之前与1号物块碰撞2023次，故1号物块共受到4047次碰撞，故B错误； C．根据A项分析知，0号物块与1号物块碰撞1次后，0号物块的速度为 0号与1号发生碰撞后，1号将与2号发生正碰，因两者质量相同，将发生速度交换，1号将静止。之后0号将继续与1号发生第二次碰撞，同理可得，0号第二次碰撞后的速度为 最终0号物块要与1号物块碰撞2024次，所以0号物块最终动量大小为，故C正确。 故选C。 【变式2-2】（多选）如图所示，在水平面上相距足够远处静置着两个质量均为的物块、，在、之间有一质量为的光滑物块。现给水平向右的初速度。已知、与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，所有碰撞均为弹性正碰。下列说法正确的是（     ） A．与第一次碰撞后瞬间，二者速度大小相等 B．与第二次碰撞前，的位移大小为 C．的总位移大小为 D．的总位移大小为 【答案】AD 【详解】A．设向右为正方向，所有碰撞均为弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得， 可知与第一次碰撞后瞬间，二者速度大小相等，故A正确； B．物块、的质量相同，又相距足够远处，可知每次与物块碰撞前，、的速度均已减为零。根据前述弹性碰撞可知每次与、碰后，的速度变为碰前的一半，、的速度也为碰前的一半。与第一次碰撞前，的速度大小为，碰撞后的速度大小为 的速度大小为，可知与第二次碰撞前，的位移大小为，故B错误； C．物块与碰后，的速度大小分别为、、…，根据可知每次的位移为前一段位移的，的总位移大小，故C错误； D．物块与碰后，的速度大小分别为、、…，可知的总位移大小，故D正确。 故选AD。 【变式2-3】如图所示，质量为m、长为L的绝缘木板B静置在水平光滑地面上，质量为m、电荷量为q的木块A放置在木板B左端，木块A与木板B之间的动摩擦因数为，虚线左侧的空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度为，虚线到木板左侧的距离为，在虚线右侧的水平地面上依次放有质量均为m的木块1、2、…n、，初始时，相邻两个木块间的距离记为、、…，某时刻，将木块A和木板B由静止释放，已知木块A刚离开电场区域时木板B尚未与木块1发生碰撞，并且木板B每次与木块1碰撞时都恰好刚刚与木块A达到相对静止，重力加速度为g，所有碰撞均为完全弹性碰撞，求： (1)木块A在电场区域时，木板B的加速度大小a； (2)木板B第二次与木块1相撞前的瞬时速度大小v； (3)初始时木块n与木块间的距离。 【详解】（1）假设木块A与木板B能保持相对静止，根据牛顿第二定律可得 解得 此时木块A与木板B间的摩擦力 假设成立，故木板B的加速度大小。 （2）木块A刚离开电场时，A、B的速度大小记为v，可得 解得 木板B与木块1第一次相撞，根据动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， 即木板B的速度变为0 之后木块A与木板B发生相对滑动，加速度大小均为 设A、B经过t时间再次相对静止，可得 解得 则木板B第二次与木块1相撞前的瞬时速度。 （3）设第次碰撞前，A、B共同的瞬时速度为，第次碰撞后，木块A速度不变，木板B速度为零，设经过t时间A、B再次共速，可得 解得 再次共速时A、B的速度即为第次碰撞前A、B的共同速度 因此第次碰撞前A、B的共同速度 第n次与第次碰撞之间木板B的位移即为。 ⚡基础速刷 1．如图所示，木块静止在光滑的水平面上，一颗子弹以初速度v0水平向右打击木块，子弹留在木块内未穿出；若木块固定，子弹对木块的冲量大小为I1，若木块不固定，子弹对木块的冲量大小为I2，不计子弹的重力，则下列说法正确的是（　　） A．I1=0 B．I1=I2 C．I1 <I2 D．I1>I2 【答案】D 【详解】子弹打木块过程中子弹对木块的冲量与木块对子弹的冲量等大反向，根据动量定理，木块对子弹的冲量等于子弹动量的变化量，木块固定时子弹动量的变化量大，因此有I1>I2。 故选D。 2．如图所示，A、B两物体质量之比mA:mB=3:2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则（　　） A．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、 C组成系统的动量守恒 B．若A、B所受的摩擦力大小不相等，A、B、C组成系统的动量不守恒 C．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成系统的动量守恒 D．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数不同，A、B、C组成系统的动量不守恒 【答案】A 【详解】AB．无论A、B所受的摩擦力大小是否相等，A、B、C组成系统所受合外力都为零，A、B、C组成系统的动量守恒，故A正确，B错误； C．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，由于A的质量大于B的质量，A物体受到的摩擦力大于B物体受到的摩擦力，A、B系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故C错误； D．无论A、B与平板车上表面间的动摩擦因数是否相同，A、B、C组成系统的合外力都为零，A、B、C组成系统的动量守恒，故D错误。 故选A。 3．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一质量为2m的光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量为m的小物块从槽上高h处开始下滑，小物块的初始位置与弧形槽底端的水平距离为s，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒 B．小物块下滑过程中，槽对物块的支持力不做功 C．在下滑到弧形槽底端的过程中，槽对地的水平位移为 D．物块第一次被弹簧反弹后能追上槽，能回到槽上高h处 【答案】C 【详解】A．系统动量守恒的条件是合外力为零，在下滑的过程中，系统竖直方向上合外力不为零，系统的动量不守恒，A错误； B．物块与槽在水平方向上动量守恒，故两者分离时，槽的速度不为零，根据能量守恒可知，物块机械能减小，槽对物块的支持力做负功，故B错误； C．物块与槽在水平方向上动量守恒 两边乘上时间 根据几何关系 解得槽对地的水平位移为，故C正确； D．物块与槽在水平方向上动量守恒，故两者分离时，槽的速度不为零，物块被弹簧反弹后，做匀速直线运动，根据能量守恒可知，不会再回到槽上高h处，故D错误。 故选C。 4．（多选）如图所示，质量为M=3m的木板在光滑的水平面上以v0向右匀速运动，一个质量为m的小球从距离木板上表面高度为h处自由下落，与木板碰撞后，反弹上升的最大高度为，且发生碰撞时，球与木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则小球弹起后的水平速度大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．在水平方向，若m和M最终共速，则由动量守恒定律 解得，故B正确，A错误； CD．若m和M最终没有共速，竖直方向，支持力的冲量 所以摩擦力对m的冲量 水平方向根据动量定理 解得，故D正确，C错误。 故选BD。 5．（多选）利用高能粒子轰击其他原子核，是原子物理研究的有效实验方法：一种未知的高速运动粒子跟静止的氢原子核正碰，测出碰后氢原子核的速度为。若用该未知粒子以相同的速度跟静止的氮原子核正碰时，测出碰后氮原子核的速度为。已知氢原子核的，氮原子核的质量是，上述碰撞都是弹性碰撞，由此实验数据可以估算出（　　） A．该未知粒子的质量 B．该未知粒子的质量 C．该未知粒子的速度 D．该未知粒子跟静止的氢原子核正碰后的速度 【答案】AC 【详解】设未知粒子的质量为m，初速度为，取碰撞前未知粒子速度方向为正方向 该粒子与静止的氢原子核正碰，根据动量守恒和能量守恒可得， 联立解得 该粒子与静止的氮原子核正碰，根据动量守恒和能量守恒可得， 联立解得 已知，代入可得， ， 故选AC。 6．如图所示，足够大的光滑水平地面上静置着一小车，小车左端安装有四分之一圆弧光滑轨道，半径，右端段是动摩擦因数的水平粗糙轨道，两段轨道相切于点，轨道与小车总质量。一质量为的小滑块（可视为质点）从轨道上点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入轨道，未滑离小车，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小。 (1)求小滑块运动过程中的最大速度大小； (2)求轨道的最小长度； 【详解】（1）小滑块在小车上运动的过程中，小车先加速后减速，最后静止。小滑块刚滑到B点时速度最大，取水平向右为正方向。由动量守恒定律得 小滑块从滑到的过程中，由机械能守恒定律得 联立解得 （2）对整个运动过程，由水平方向动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律得 解得轨道间的最小长度 7．如图所示，物块、的质量，用水平轻弹簧拴接，静止放在光滑的水平地面上，质量的物块以速度向右运动与物块相碰（时间极短）后与物块粘在一起不再分开。求： (1)物块C与物块A碰后瞬间的速度； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)物块B的最大速度大小。 【详解】（1）由物块C、A组成系统动量守恒得 代入数据得 （2）当C、A、B共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得 由能量守恒得 代入数据得 （3）当弹簧恢复原长时，物块B的速度最大，由系统动量守恒和能量守恒， 解得 🚀能力跃升 8．质量相等的、两球在光滑水平面上，沿同一直线，同一方向运动，球的动量，球的动量．当追上时发生正碰，则碰后两球的动量可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】碰撞过程需满足三个判定条件：①系统动量守恒；②系统总动能不增加；③同方向运动时，碰后后方物体A的速度不大于前方物体B的速度。 设两球质量均为，碰撞前总动量，总动能 A．碰后总动量，动量不守恒，故A错误； B．碰后总动量，动量不守恒，故B错误； C．碰后总动量，动量守恒，但总动能，动能增加，不符合碰撞规律，故C错误； D．碰后总动量，动量守恒；总动能，动能不增加；碰后速度，符合运动逻辑，故D正确。 故选D。 9．、两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，。当追上并发生碰撞后，、两球速度的可能值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】碰撞问题需满足三个判断条件：①系统动量守恒；②系统总动能不增加；③碰撞后运动状态合理（同向运动时后方物体速度不大于前方物体速度，避免二次碰撞）。 总动量 总动能 A．碰后，同向运动时A速度大于B，会发生二次碰撞，不符合运动实际，故A错误； B．碰后总动量，动量不守恒，故B错误； C．碰后总动量，满足动量守恒； 碰后总动能，动能不增加； 且，运动状态合理，故C正确； D．碰后总动量，满足动量守恒； 碰后总动能，动能增加，不符合碰撞规律，故D错误。 故选C。 10．如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 【答案】D 【详解】A．小球与小车组成的系统在水平方向所受的合外力为零，水平方向系统动量守恒。由于小球有竖直分加速度，所以系统所受的合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误； B．系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，在水平方向，根据动量守恒定律有 变形得 又， 整理得 即 又 联立解得，故B错误； C．小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，小球由A点离开小车时系统水平方向动量为零，小球与小车水平方向速度为零，小球离开小车后做竖直上抛运动，故C错误； D．小球第一次在小车中运动，根据动能定理有 解得小球克服摩擦力做功大小为 即小球第一次在车中运动损失的机械能为，由于小球第二次在车中运动时，对应位置处速度变小，因此小车给小球的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于，则机械能损失小于，因此小球再次离开小车时，能上升的高度 且，综上分析可得小球第二次能上升的最大高度，故D正确。 故选D。 11．（多选）如图所示，在光滑水平面上放一个质量为M的斜面体，质量为m的物体沿斜面（斜面光滑）由静止开始自由下滑，下列说法中正确的是（     ） A．M和m组成的系统动量守恒 B．M和m组成的系统动量不守恒 C．M和m组成的系统水平方向动量守恒 D．M和m组成的系统水平方向动量不守恒 【答案】BC 【详解】AB．m下滑过程系统所受合外力竖直向下，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误，B正确； CD．M和m组成的系统在水平方向所受合外力为零，水平方向系统动量守恒，故C正确，D错误。 故选BC。 12．（多选）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上。现使瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示遵循正弦变化关系，已知，下列说法正确的是（     ） A．物块B的质量为 B．物块B的质量为 C．从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块的冲量大小为 D．从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块的冲量大小为 【答案】BD 【详解】AB．已知A物块的初速度，由图可知在时刻两物块达到共速v=1m/s，根据动量守恒有 解得，故A错误，B正确； CD．由图可知，当B速度最大时，弹簧第一次恢复原长，即在时刻，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得 故从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量为 即冲量大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 13．如图所示，虚线左侧的水平地面粗糙，右侧的水平地面光滑，在虚线左侧处静止放置质量为的物块，在虚线右侧静止放置质量为的木板，的右端静止放置质量为的小物块，现给方向水平向右、大小为的初速度，一段时间后以速度与发生弹性碰撞，始终未滑离。已知与左侧地面间的动摩擦因数为，与间的动摩擦因数为，重力加速度，均可视为质点。 (1)求的大小； (2)求和长木板因相对运动而产生的热量； (3)若其它条件不变，与地面间的摩擦因数，求最终停止时距右端的距离。 【详解】（1）选A为研究对象，在左侧运动阶段，由牛顿第二定律有 根据运动学公式，有 联立解得 （2）A与B发生弹性碰撞的瞬间，C的速度未发生变化，则碰撞过程中A和B组成的系统动量守恒，有 根据机械能守恒，有 解得B的速度大小为 对B与C，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律，有 联立解得 （3）A、B碰撞后，对C，牛顿第二定律有 解得 对B，牛顿第二定律有 解得 共速时，有 解得 最终C停在距离B右端的距离为 解得 🌟思维挑战 14．如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，滑块不固定，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小球到达最高点的速度大小为 B．小球到达最高点的速度大小为 C．小球到达最高点时，滑块的速度为0 D．小球到达最高点时，滑块的速度为 【答案】B 【详解】小球和滑块组成的系统在水平方向不受外力，水平动量守恒；系统内只有重力做功，机械能守恒。初始时，轻杆水平，小球有竖直向上的速度，滑块静止。小球到达最高点时，竖直速度为，设滑块的水平速度为，小球的水平速度为 水平动量守恒，初动量为，有，解得，即小球速度方向与滑块相反。 机械能守恒，初始动能，最高点小球上升，重力势能增加 末动能 代入解得， 因此小球到达最高点的速度大小为，滑块速度为 故选B。 16．如图1所示，物块c静置于光滑水平面上，物块b置于水平木板a的左端，a、b一起以速度v0在光滑水平面上向右运动，时刻，木板a与物块c碰撞后立即粘合在一起。已知物块c质量为m，木板a与物块c粘合后速度为，随后b与ac运动的v-t关系如图2所示，不计空气阻力，重力加速度为g，物块b可视为质点，且物块b始终未滑出木板a。则下列说法正确的是（     ） A．物块b质量为2m B．物块b质量为m C．木板a长度至少为 D．物块b与木板a间的动摩擦因数为 【答案】B 【详解】AB．木板a与物块c碰撞前后，由动量守恒定律可得 解得木板a的质量为 由图2知，物块b、c和木板a系统最终一起做匀速直线运动，速度大小为，由动量守恒定律可得 解得，故A错误，B正确； C．v-t图像中的图线与坐标轴所围成的面积表示位移，图2中三角形部分的面积表示物块b与木板a的相对位移，由图可知，此相对位移为 故木板a的长度至少为，故C错误； D．木板a与物块c粘合后至物块b、c和木板a系统一起匀速所经历的时间为t0，此过程，对木板a与物块c整体，由动量定理可得 解得，故D错误。 故选B。 17．（多选）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为2M B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．小球在与圆弧滑块分离后相对地面向右做平抛运动 【答案】ABD 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 整理可得 则图线的斜率为 解得，故A正确； B．图线的纵截距为 解得小球的初速度大小为 小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 解得，故B正确； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得 解得，故C错误； D．对小球和圆弧滑块组成的系统，分离时有， 解得小球在与圆弧滑块分离时的速度为 即小球的速度方向向右，所以小球在与圆弧滑块分离后相对地面向右做平抛运动，故D正确。 故选ABD。 18．如图所示，水平台面上O、P两点间的距离，P与台面端点Q的距离，Q点到水平地面的距离。质量的光滑物块A静止在O点，质量的物块B静止在P点，B与台面、地面间的动摩擦因数分别为、。现对A施加一水平向右的恒力，之后A与B发生两次弹性正碰（碰撞时间极短），碰后立即将A移走。取，不计空气阻力，求： (1)第一次碰后瞬间A、B的速度大小； (2)物块A、B两次碰撞的时间间隔； (3)若物块B与地面的撞击时间极短（支持力远大于重力），反弹前、后的竖直分速度大小之比为，水平速度同时发生变化。物块B与Q点间水平距离的最大值。 【详解】（1）设碰撞前物块A的速度为,根据动能定理得 解得 A、B碰撞过程,由动量守恒定律和机械能守恒定律， 解得， 即A、B碰撞后的速度大小分别为、。 （2）规定向右为正方向，第一次碰撞后，B向右做匀减速运动，经时间停止，前进的位移为，由牛顿第二定律 根据运动学可知， 解得 第一次碰撞后，设A经历时间与B第二次碰撞，由牛顿第二定律 又 解得 第二次相遇时，B的速度恰好减到0，即A、B两次碰撞的时间间隔为1s。 （3）第一次碰撞后，设A经历时间与B第二次碰撞时速度 因此，A、B第二次碰撞和第一次碰撞的速度相同，则第二次碰后B的速度为 设物块运动至Q点的速度为，由动能定理 设B飞出至第一次落地的时间为，由平抛运动规律，， 解得， 第一次反弹后有 第一次反弹过程根据动量定理 竖直方向 水平方向 解得 第一次反弹后至第二次落地滑块做斜抛运动，则有 解得 第二次反弹过程根据动量定理有 竖直方向 水平方向 解得 可知物块B不再向右移动，则B与Q点间水平距离的最大值为 19．一游戏装置的竖直截面如图所示。水平匀速运动且足够长传送带、半径为的竖直圆轨道、水平轨道和、倾角为的倾斜直轨道平滑连接成一个抛体装置，与略微错开。该装置除传送带和段轨道粗糙外，其余各段均光滑，点与水平高台等高。游戏开始，一质量为的滑块1在传送带上端无初速度释放，向右运动至与静止在点、质量也为的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上轨道。若滑块3落在段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在点右侧，立即停止运动。已知段长度间距间距间距，传送带和段的动摩擦因数。滑块均视为质点，不计空气阻力，。（计算结果可用根号表示） (1)若传送带速度大小，求因为传送滑块1，电动机对传送带多做的功； (2)若滑块3恰好能通过圆轨道，求传送带速度的大小； (3)若滑块3能通过圆轨道最高点后最终落入点的洞中，则游戏成功。求游戏成功时传送带速度的大小。 【详解】（1）滑块1在传送带上加速时，根据牛顿第二定律 可得加速度，传送带速度，滑块最终与传送带共速。 加速时间 滑块位移 传送带位移 相对位移 摩擦生热 滑块动能增量 电动机多做的功 （2）滑块3恰好过最高点，根据牛顿第二定律 可得 从到过程中，机械能守恒 碰撞过程动量守恒 解得v1=25gR=25×10×7013=72455 m/s≈6.1 m/s （3）设滑块3到达点速度为，速度分解 从飞出到第一次落到台面，竖直位移为0，得运动时间 第一次水平位移 要落入点，分两种情况： 情况1：第一次落在段，反弹后落入 第一次落在满足 反弹后竖直速度大小 运动时间 第二次水平位移 总位移 代入得 验证，符合 情况2：直接落入点 从碰撞后到，根据动能定理 化简得 又 可得 代入两种情况： 反弹落入 解得 直接落入 解得 两个结果均满足能通过圆轨道的条件（均大于恰好过圆轨道的速度），均正确。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.5节 弹性碰撞和非弹性碰撞 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 弹性碰撞和非弹性碰撞 考点02 弹性碰撞的实例分析 03 避坑指南·解题通法 角度01 弹性碰撞：动碰静 角度02 弹性碰撞：动碰静 角度03 完全非弹性碰撞 角度04 板块/子弹打木块模型 角度05 滑块斜（曲）面模型 角度06 滑块弹簧模型 角度07 单次碰撞的多过程问题 角度08 多物体多次碰撞问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞的概念与特点。 2.理解碰撞过程中动量守恒、动能变化的规律，掌握弹性碰撞的规律。 3.能用碰撞模型解决一维碰撞等相关问题，了解其在生活中的应用。 1.通过对比分析，区分不同碰撞类型的动量与能量变化特点。 2.通过理论推导，掌握弹性碰撞的速度公式及适用条件。 3.通过典型例题练习，学会用碰撞模型解决实际问题，总结解题步骤。 知识导图 考点01 弹性碰撞和非弹性碰撞 1、弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒的碰撞叫弹性碰撞；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能守恒： 2、非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞叫非弹性碰撞；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能不守恒：或 3、完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大；规律是： （1）动量守恒： （2）机械能不守恒： 4、碰撞的原则 （1）动量守恒：即p1＋p2＝p1′＋p2′。 （2）动能不增加：即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 （3）速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 5、“动碰动”弹性碰撞 v1 v2 v1’ˊ v2’ˊ m1 m2 发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为m1和m2，碰前速度为v1，v2，碰后速度分别为v1ˊ，v2ˊ，则有： （1） （2） 联立（1）、（2）解得：v1’=，v2’=. 特殊情况： 若m1=m2 ，v1ˊ= v2 ，v2ˊ= v1 . （1）若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向同向。(若m1≫m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去) （2）若m1<m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，m1被弹回。(若m1≪m2，v1′＝－v1，v2′＝0，表示m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止) （3）若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换。 6、“动碰静”弹性碰撞的结论 两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有： m1v1＝m1v1′＋m2v2′ （1） m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 （2） 解得：v1′＝，v2′＝ 结论：（1）当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1（质量相等，速度交换） （2）当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，且v2′＞v1′（大碰小，一起跑） （3）当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0（小碰大，要反弹） （4）当m1≫m2时，v1′＝v0，v2′＝2v1（极大碰极小，大不变，小加倍） （5）当m1≪m2时，v1′＝－v1，v2′＝0（极小碰极大，小等速率反弹，大不变） 7、完全非弹性碰撞 v1 v2 v共 m1 m2 碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 （1） 完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能： ΔEk= ½m1v12+ ½ m2v22- ½(m1+m2)v共2 （2） 联立（1）、（2）解得：v共 =；ΔEk= 【深化点拨】 1．碰撞的特点 （1）碰前两物体同向运动时，后面的物体速度应大于前面物体的速度。 （2）碰后两物体同向运动时，前面物体的速度大于等于后面物体的速度。 （3）碰前两物体同向运动时，碰后前面物体的速度一定增大。 （4）碰前两物体相向运动时，碰后两物体的速度方向不可能都没有发生变化等。 （5）无论哪一种碰撞，总是满足动量守恒定律。 2．处理碰撞问题的三点提醒 （1）选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统。 （2）弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。 （3）弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、速度关系等。 1．在光滑水平面上，质量为4m的小球A以的速度水平向右运动，质量为m的小球B以2的速度水平向左运动，两小球发生正碰。则（　　） A．若发生完全非弹性碰撞，碰后小球A的速度大小为，方向向右 B．若发生完全非弹性碰撞，碰撞过程中两小球损失的机械能为 C．若发生弹性碰撞，碰撞后小球A的速度大小为，方向向左 D．若发生弹性碰撞，碰撞后小球B的速度大小为，方向向右 2．（多选）质量为的小球A以的速度在光滑水平面上向右运动，与静止的质量为的小球B发生正碰，下列说法正确的是（　　） A．若为完全非弹性碰撞，碰撞后两球的共同速度为2m/s B．若为完全非弹性碰撞，碰撞过程中损失的机械能为12J C．若为弹性碰撞，碰撞后A球的速度大小为3m/s D．若为弹性碰撞，碰撞后B球的速度大小为4m/s 3．如图所示，质量为的球和质量为的球，原来均静止在光滑水平面上。现给球一个向右的初速度，之后与球发生对心碰撞。 (1)若碰后两球粘在一起，求碰后速度的大小； (2)在满足（1）条件下，求碰撞时损失的机械能大小； (3)若是弹性碰撞，求碰后A球的速度。 【弹性碰撞和非弹性碰撞的比较】 弹性碰撞 非弹性碰撞 能量变化 机械能完全守恒，动能无损失 机械能有损失，部分动能转化为内能、形变能等 公式 动量守恒： 动能守恒： 动量依然守恒 动能：Ek前>Ek后 形变特点 碰撞后形变完全恢复 碰撞后形变不能完全恢复 特殊情况 完全非弹性碰撞：碰后两物体共速，动能损失最大 常见实例 小球间理想碰撞、分子碰撞 木块相撞、球类落地、物体粘连 联系 两类碰撞动量均守恒（内力远大于外力）。 都满足：碰撞过程时间极短、位移可忽略。 考点02 弹性碰撞的实例分析 1、动量守恒定律在子弹打物块模型中的应用 （1）子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒。 （2）在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化。 （3）若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多。 2、动量守恒定律在板块模型中的应用 （1）对于板块类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒。 （2）整个过程涉及动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 （3）滑块与木板共速时，系统损失的机械能最大。 3、动量守恒定律在含有斜面或曲面的模型中的应用 物体冲上放置在光滑地面上的斜面或曲面后，由于水平方向上没有外力作用，所以水平方向上系统的动量守恒。可以根据情况分成以下两种类型： （1）物体能飞离斜面（或曲面）：在物体与斜面（或曲面）分开之前，因为两者始终一起运动，所以分离瞬间两者在水平方向上速度相等，物体飞到最高点时，两者的速度相同。 （2）物体不能飞离斜面（或曲面）：物体到达斜面上最高处时，两者的速度相同。 可以根据系统的机械能守恒和水平方向上的动量守恒求出物体到达“最高点”时，两者的速度及物体上升的高度。 4、动量守恒定律在含有弹簧的碰撞问题中的应用 （1）对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒。 （2）整个过程涉及弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 （3）弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧具有最大弹性势能。 5、动量守恒定律在绳连接体问题中的应用（绳绷紧瞬间的动量变化） 绳子绷紧瞬间的作用力是非常巨大的，故这一瞬间系统的内力远大于其他外力，所以在绳子绷紧瞬间可以认为系统的动量是守恒的（或在某一方向上是守恒的）。但绳子绷紧瞬间系统的能量要损失一部分。 【深化点拨】 1．子弹打物块模型解题思路点拨 （1）子弹打木块的过程很短暂，认为木块瞬间得到速度且位置不变。 （2）子弹打入木块过程损失的机械能并没有用于克服地面摩擦力做功，克服地面摩擦力做功的是子弹和木块的共同运动的动能。 2．板块模型解题思路点拨：板块模型一般不考虑地面的摩擦力，板块之间的相互作用为内力，因此遵寻动量守恒定律。当达到共速时，系统瞬时的机械能最大，同时也要注意临界条件，如滑块恰好不滑下木板等。 3．含有斜面或曲面的模型解题思路点拨：因为水平方向是没有外力的，所以系统水平方向上动量守恒，当物体达到最高处时，两个物体的速度完全一致。 4．含有弹簧的碰撞问题解题思路点拨：当弹簧压缩到最短时，该弹簧具有最大弹性势能，而弹簧压缩到最短，弹簧连着的两物体不能再靠近，此时两物体具有相同的速度。因此，该类问题临界状态相对应的临界条件是弹簧连着的两物体速度相等。 5．绳连接体问题解题思路点拨：绳子绷紧瞬间，内力远大于外力，系统的动量是守恒的。 1．如图所示，光滑水平面上有一静止的木块，一颗子弹以水平速度v0射穿木块，并沿原来速度方向远离木块。则在子弹射入木块的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．子弹和木块组成的系统机械能守恒，动量守恒 B．子弹对木块的冲量大小等于木块对子弹的冲量大小 C．子弹对木块做的功等于木块对子弹做的功 D．子弹动能变化量的大小等于木块动能变化量的大小 2．（多选）如图所示，左端连接着轻质弹簧、质量为3m的小球B静止在光滑的水平面上，质量为m的小球A以大小为v0的初速度向右做匀速直线运动，接着逐渐压缩弹簧并使小球B运动，一段时间后，小球A与弹簧分离，若小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，则在上述过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球B的最大速度为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．两小球的速度大小可能同时都为 D．从小球A接触弹簧到弹簧再次恢复原长，弹簧对小球A、B的冲量相同 3．如图所示，质量为m的子弹以速度v0射向静止在光滑水平桌面上的木块，木块的质量为M，子弹进入木块后并未穿出，忽略木块质量的损失。求： (1)子弹击中木块后共同运动的速度v； (2)在此过程中系统损失的机械能∆E为多大？ 弹性碰撞和非弹性碰撞的综合应用及解题步骤 1. 碰撞类型的“判定”陷阱 （1）弹性碰撞（动碰静模型） 特征：无机械能损失，动能守恒。 核心结论：若 m1撞击静止的 m2，碰后速度公式为：v1′＝，v2′＝ 避坑点：不要每次都列方程组解二元二次方程，直接套用上述结论可节省大量时间。注意 m1=m2时发生“速度交换”。 （2）完全非弹性碰撞 特征：碰后粘在一起，共速运动，机械能损失最大。 通法：直接列动量守恒 m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 ，再结合能量守恒求损失热量 Q=ΔEk 。 2.“板块/子弹打木块”模型解题四步法：这是本节最经典的模型，涉及动量与能量的综合应用。 （1）全过程分析： 第一阶段（相对滑动）：系统动量守恒（水平方向），但机械能不守恒（有摩擦生热）。 第二阶段（共速后）：若地面光滑，一起匀速；若地面粗糙，一起做匀减速。 （2）两大方程联立： 动量方程： mv0=(M+m)v共（求共同速度） 避坑点：能量方程中，摩擦力做功对应的位移必须是相对位移（即板长或划痕长度），而不是对地位移。 3. 多过程与多次碰撞的处理技巧 （1）找规律（数列法） 对于“两物体多次碰撞”问题，通常每次碰撞后的速度会按一定比例衰减。 通法：算出前两次碰撞后的速度，寻找公比或递推公式，利用数学归纳法求解第n次碰撞后的状态。 （2）临界状态分析 滑块斜面/曲面模型：当滑块滑到最高点时，两者具有相同的水平速度（竖直方向速度为0）。此时系统水平方向动量守恒，且机械能守恒（若光滑）。 易错点：不要把“共速”当成“停止”，此时系统仍有动能。 4. 弹簧模型的“双向性” （1）压缩最短/拉伸最长时：两物体速度相等（共速），此时弹性势能最大。 （2）恢复原长时：相当于发生了一次“弹性碰撞”，动量和机械能均守恒。 通法：将弹簧作用过程拆解为“共速点”和“原长点”两个特殊状态列方程。 角度01 弹性碰撞：动碰静 1．质量为m、速度为v的A球跟质量为4m的静止B球在光滑的水平面上发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，下列说法正确的是（     ） A．碰撞过程中，两个小球组成的系统动量不一定守恒 B．碰撞后瞬间，B球的速度可能为0.3v C．碰撞后瞬间，A球的速度可能为 D．碰撞过程中，A球受到的冲量方向与其初速度方向相同 2．（多选）如图所示，在光滑的水平面上放有两个大小相等小球A和B，其质量、，B球上固定一水平轻质弹簧。若A球以速率v=4m/s向右运动去碰撞静止的B球，下列说法正确的是（　　） A．A、B两球在碰撞过程中的加速度都是先增大后减小 B．弹簧最大的弹性势能为6.4J C．碰撞结束时，小球A将向左运动 D．碰撞结束时，B球速度大小为3.2m/s 3．如图所示，质量为的小车放在台阶左侧的光滑水平面上，小车由光滑圆弧轨道和粗糙水平轨道构成，圆弧轨道的半径为，圆心为，与水平轨道相切于点，水平轨道的长度为，上表面与台阶平齐。小车最右端放置一质量为的滑块，滑块与小车水平轨道间的动摩擦因数为。一质量为的小球从台阶上以大小为的水平速度与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块能从圆弧轨道最高点冲出。滑块和小球均可视为质点，重力加速度为，求： (1)碰后瞬间滑块的速度大小； (2)滑块脱离圆弧轨道后还能上升的最大高度。 角度02 弹性碰撞：动碰静 4．如图所示，A、B两小球在光滑水平面上分别以动量p1＝4 kg·m/s和p2＝6 kg·m/s(向右为参考正方向)做匀速直线运动，则在A球追上B球并与之碰撞的过程中，两小球的动量变化量Δp1和Δp2可能分别为（     ） A．－2 kg·m/s, 3 kg·m/s B．－8 kg·m/s, 8 kg·m/s C．1 kg·m/s, －1 kg·m/s D．－2 kg·m/s, 2 kg·m/s 5．（多选）在未来的智能物流运输系统中，有一个在光滑轨道上可自由滑动的大型运输平板，其长度为，初始时处于静止状态。工作人员将包裹和包裹放置在运输平板上，包裹位于平板的左端，包裹则在平板的正中间。为了使包裹移动起来，智能推送装置瞬间给包裹一个向右的初速度，之后与包裹发生了弹性正碰，碰撞时间极短，最终包裹刚好到达运输平板的右端，已知包裹、的质量均为，运输平板的质量为，且包裹、与运输平板c表面之间动摩擦因数均为，重力加速度为。下列关于包裹和运输平板运动情况的说法，正确的是（　　） A．与碰撞前，与保持相对静止 B．与碰撞后，与都相对滑动 C．的初速度 D．若物块初始位置离木板右端近一些，重复上述过程，将滑离木板 6．如图所示，水平传送带AB长度，以恒定的速率顺时针方向匀速转动，传送带右侧有一光滑的平台与传送带等高（不计与传送带的间隙）。质量为的物块Q放在光滑平台的左端，将一个质量的物块P轻放到传送带的左端A点，物块P与传送带的动摩擦因数，物块P与物块Q之间发生的碰撞为弹性正碰，取重力加速度，求： (1)第一次碰撞后瞬间物块P和物块Q的速度； (2)最终物块Q的速度大小。 角度03 完全非弹性碰撞 7．如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力和作用下，由静止开始沿同一直线相向运动在时刻发生正碰后各自反向运动。已知和始终大小相等，方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，光滑水平面上有、两个弹性小球和、两个滑块，质量分别为、、、。小球靠墙通过一根轻弹簧与小球相连，此时弹簧处于原长。现给滑块一个向左的初速度，与滑块发生碰撞，碰后立即结合在一起，之后系统没有机械能损失，弹簧始终处于弹性限度之内。以下说法正确的是（　　） A．离开墙之前、、、组成的系统动量守恒 B．离开墙之后、、、组成的系统动量守恒 C．小球速度的最大值为 D．弹簧弹性势能最大值为 9．如图所示，一个质量m=90g的物块A和一个质量M=200g的物块B静止在光滑水平面的同一条直线上。现有一质量m0=10g的子弹以v0=300m/s的速度射入A物体并嵌在其中，在运动了一段时间后与B物体发生弹性正碰，在这段过程中： (1)子弹射入物块A后的共同速度； (2)子弹射入过程中损失的机械能E； (3)发生弹性正碰后，物块A的速度与物块B的速度。 角度04 板块/子弹打木块模型 10．如图所示，质量为的子弹，以初速度射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。木块质量为，长度为，子弹射入木块的深度为，在子弹射入木块的过程中木块移动距离为。假设木块对子弹的阻力始终保持不变，下列说法正确的是（　　） A．可能大于，也可能小于 B．一定小于，一定小于 C．子弹动能减少量小于木块动能增加量 D．子弹动量变化量等于木块动量变化量 11．（多选）如图所示，质量为2kg的小车A置于光滑水平地面上，其右侧是一半径为1m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平部分粗糙。质量为0.99kg的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度为700m/s的子弹C击中，子弹立即停留在滑块B中，之后B在小车上滑动，与粗糙部分动摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B上升的最高点距小车顶端的高度为0.15m。滑块B可视为质点，不计空气阻力，g取，则下列说法正确的是（　　） A．子弹C刚停留在滑块B中时，滑块B的速度大小为7m/s B．滑块B离开小车瞬间的速度大小为 C．小车粗糙水平面的长度为1.9m D．滑块B离开小车后再下落可从小车右端进入小车的圆弧轨道 12．如图所示，有一质量为的木板B静止在光滑水平面上，其上表面粗糙且右端到竖直墙壁的距离为，一质量为的滑块A静止在木板B的左端，现有一颗质量为的子弹以速度水平射入滑块A且未穿出（射入时间极短），之后当A相对于B滑行时B与墙壁发生碰撞，最终A恰不从B上滑落，不计B与墙壁碰撞能量损失，求： (1)子弹射入滑块A后，二者的共同速度大小； (2)A相对B滑行时木板B的速度大小； (3)木板B的长度。 角度05 滑块斜（曲）面模型 13．如图，一质量为的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为小球以水平向右的初速度从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过小球从圆弧最高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g取。则小球从最低点冲上滑块到刚落回滑块的过程中，滑块的位移是（　　） A．1.63 m B．1.73 m C．1.83 m D．1.93 m 14．（多选）如题图所示，质量为的小车A置于光滑水平地面上，其右端固定一半径的四分之一圆弧轨道。质量为的滑块B静止于小车的左端，现被水平飞来的质量、速度的子弹C击中，且子弹立即留在滑块B中，之后B与C共同在小车上滑动，且从圆弧轨道的最高点离开小车。不计A与B之间的摩擦和空气阻力，重力加速度，则（     ） A．子弹C击中滑块B后瞬间，滑块B的速度大小为6 m/s B．滑块B第一次离开小车瞬间，滑块B的速度大小为 C．滑块B第二次离开小车瞬间，小车A的速度大小为8 m/s D．滑块B从第一次离开小车到再次返回小车的过程中，滑块B的位移大小为2 m 15．如图所示，光滑水平面上有固定弹性挡板P，光滑四分之一圆弧体B和可视为质点物体C静止在水平面上，B的质量为、半径为，最低点刚好与水平面相切，B的左侧面与物体C的距离也为，物体C的质量为。将质量为可视为质点的小球A从圆弧面最高点的位置由静止释放，当小球A第一次与挡板P发生弹性碰撞时，圆弧体B也刚好第一次与C碰撞并粘连；重力加速度为。求： (1)小球A第一次运动到水平面上时的速度大小； (2)挡板P与物体C间初始时的距离； (3)小球A与P碰撞后第一次滑上圆弧体能达到的最大高度。 角度06 滑块弹簧模型 16．如图甲所示，物块A与物块B之间通过一根轻质弹簧栓接，静置在光滑的水平地面上，物块B与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，时解除锁定。规定向右为正方向，物块A在一段时间内运动的图像如图乙所示，已知物块A的质量为，则（     ） A．物块B的质量为 B．时刻弹簧处于原长 C．时间内，弹簧弹性势能的最大值为 D．时间内，物块A运动的位移大小为 17．（多选）如图所示，足够长的曲面与水平桌面平滑连接，将两物体甲、乙之间的轻弹簧压缩后用细线连接，置于水平桌面上，弹簧与两物体不连接。现将细线烧断，弹簧将两物体弹开，乙离开弹簧后从右边飞出，甲离开弹簧后冲上曲面。已知桌面高为，乙平抛的水平射程为，甲的质量为2 kg，乙的质量为1 kg，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为，则（     ） A．弹簧的弹性势能为12 J B．甲冲上曲面高度H为1 m C．乙离开弹簧时的速度大小为2 m/s D．甲离开弹簧时的速度大小为2 m/s 18．如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 角度07 单次碰撞的多过程问题 19．如图所示，a、b、c是三辆完全相同的平板小车，车c上有一小孩，三者成一直线静止排列在光滑水平面上。车c上的小孩跳到车b上，稳定后，再从车b跳到车a上。小孩跳离车c和车b时相对于地面的水平速度相同，跳到车a上后相对车a保持静止。下列说法中正确的是（　　） A．两车a、b最终运动方向相同 B．两车b、c最终运动方向相反 C．运动过程两车a、c动量变化量大小关系为 D．三辆车最终速率的关系 20．（多选）在马戏团表演中，两辆质量均为的小车、静止于水平地面的一条直线上，有一只质量为的小狗蹲在小车上，听到起跳命令后，小狗以相对于车的水平速度跳到车上，稳定后，小狗又以相对于车的水平速度跳到车上。不计地面对小车的阻力，下列说法正确的是（　　） A．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 B．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 C．小狗跳离车时，车相对于地面的速度大小为 D．小狗跳回车后，小狗与车共速时，相对于地面的速度大小为 21．如图，在光滑水平面上放置着两个半径为R的四分之一光滑圆弧轨道D和C，其中轨道D固定在地面上，轨道C质量为M，两轨道均在最低点与地面相切，它们之间放有一质量为m的滑块B，一质量为m的小球A从轨道D的顶端由静止滑下。已知质量关系为M=4m，重力加速度为g，小球A与滑块B均视为质点。 (1)求小球A第一次滑到轨道D最低点时的速度大小； (2)小球A与滑块B发生第一次碰撞后粘在一起，求小球A与滑块B能冲上轨道C的最大高度h； (3)小球A与滑块B第一次滑离轨道C后，求轨道C的速度大小。 角度08 多物体多次碰撞问题 22．如图所示，标号为1、2、3、…、10的10个大小相同的小球依次排列在光滑水平面上，标号为奇数的质量均为m，标号为偶数的质量均为2m，现使标号为1的小球获得水平向右的初速度，以后发生的碰撞均为弹性碰撞，且相邻两小球之间仅碰撞一次，则标号为9、10的小球碰撞后，标号为10的小球运动的速度大小为（　　） A． B． C． D． 23．（多选）如图，一长为的不可伸长的轻绳两端各连接一质量为的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两小球间的距离等于绳长，且绳长远大于小球半径。一大小为的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两小球连线垂直。两小球在运动过程中会发生多次碰撞，当两小球沿恒力方向运动距离时两小球停止碰撞，靠在一起相对静止稳定运动。以下说法中正确的是（    ） A．两小球在碰撞过程中损失的机械能为 B．两小球在碰撞过程中损失的机械能为 C．两小球稳定运动时速度大小为 D．两小球稳定运动时速度大小为 24．如图所示，质量M=1kg的足够长的木板静止在粗糙水平地面上，将一质量m=3kg的可视为质点的物块静置于长木板最左端，木板右端有一竖直墙壁，已知物块与木板间的动摩擦因数=0.2，木板与水平面间的动摩擦因数=0.1，物块与木板间、木板与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，从t=0时刻起，给小物块施加一水平向右、大小为F=15N的力，作用2s后撤去力F，木板在3s时与墙壁发生碰撞，g=10m/s2，求： (1)0~2s内物块和木板的加速度； (2)木板初始位置的右端到墙壁的距离； (3)若木板与墙壁碰撞后立即以原速率反向弹回，碰撞瞬间物块的运动状态不改变，求木板和墙壁发生第二次碰撞时物块距木板左端的距离。 【例1】（2026·浙江）如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 (1)求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； (2)从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； (3)求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； (4)若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）机械能守恒与圆周运动：物块沿光滑圆弧下滑，只有重力做功，考查机械能守恒定律的应用；在圆弧最低点，重力与支持力的合力提供向心力，考查圆周运动向心力公式的理解与计算。 （2）运动的合成与分解：物块斜向滑入圆弧面，需要将速度分解为不同方向的分量，考查运动的正交分解思想，以及分运动的独立性与等时性。 （3）弹性碰撞规律：两物块在最高点发生弹性碰撞，考查动量守恒定律与动能守恒定律的联立应用，以及弹性碰撞的速度关系。 （4）周期性运动与临界分析：结合简谐运动的周期性与平板上的往复运动，分析物块滑离的临界情况，考查对运动过程的分段拆解能力，以及几何条件与运动规律的综合应用。 （5）力学综合应用能力：整道题串联多个力学模型，考查多阶段过程分析、模型转化、临界条件判断的综合能力，对知识的系统性和解题逻辑有较高要求。 【变式1-1】如图所示，在光滑的水平地面上静置一质量为的四分之一光滑圆弧滑块，圆弧半径为，一质量也为的小球，以水平速度自滑块的左端处（切线水平）滑上滑块，当二者共速时，小球刚好到达圆弧上端点，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．大小为 B．若将小球的初速度增大为，则小球能上升的最大高度为 C．小球返回圆弧轨道底端分离后将做平抛运动 D．若增大圆弧滑块的质量，小球上升的最大高度将增大 【变式1-2】（多选）如图所示，两个弹性球A和B放在光滑的水平面上处于静止状态，质量分别为和其中。现给A球一个水平向右的瞬时冲量，使A、B球发生碰撞，以此时刻为计时起点，两球的速度随时间变化的规律如右图所示，从图示信息可知（　　） A．B球的质量 B．球A和B碰撞过程最大弹性势能为7.5J C．球A和B发生的是非弹性碰撞 D．碰撞过程A对B的冲量为6N∙s 【变式1-3】如图所示，一足够长的固定轻杆与水平方向夹角为，质量为3m的B环套在轻杆上恰好不下滑，距离B环的位置有一质量为m的光滑环A从静止释放。下滑过程中，A环与B环的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)求A环与B环第一次碰后瞬间的速度； (2)求第一次碰撞后到第二次碰撞前的时间内B环位移的大小； (3)求B环从初始位置到第10次碰撞时的距离。 【例2】（2026·云南）某同学设计的弹球游戏装置示意图如图所示，装置由一段倾斜直管道和N个相同的不对称“倒V”形管道平滑连接而成，管道透明且光滑，固定在竖直平面内。入口端与第一个“倒V”形管道左端高度差为，每个“倒V”形管道最高点与其左、右两端的高度差分别为和，每个“倒V”形管道的左端均静置1个质量为m的弹球，自上而下依次编号为1，2，3，…，N。开始游戏时，在入口端由静止释放一质量为的弹球P。所有弹球的直径均略小于管道内径，不计管道内径、弹球大小及滚动、弹球与管道相互作用的能量损失和空气阻力，所有弹球之间的碰撞均视为对心弹性碰撞，重力加速度为g。 (1)求弹球P与1号弹球第一次碰撞后瞬间，弹球P和1号弹球各自的速度大小； (2)已知：每个弹球在被上方弹球碰撞后，与下方弹球碰撞前不会被上方弹球再次碰撞，且所有弹球（包括P）都能到达出口。 （i）求1号弹球与2号弹球第一次碰撞后瞬间，1、2号弹球各自的速度大小； （ii）求弹球P与1号弹球第次碰撞后瞬间的速度大小； （iii）若N足够大，且，求与之间应满足的关系。 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）机械能守恒定律：弹球在光滑管道内运动，只有重力做功，考查机械能守恒的应用，用于计算弹球碰撞前后的速度，判断弹球能否到达指定高度。 （2）弹性碰撞规律：弹球间的碰撞均为对心弹性碰撞，考查动量守恒与动能守恒的联立应用，以及不同质量物体弹性碰撞的速度传递、反向规律。 （3）周期性与多次碰撞分析：弹球在 “倒 V” 形管道中往复运动，会发生多次碰撞，考查对运动周期性的理解，以及多次碰撞过程的规律总结，分析碰撞次数与速度变化的关系。 （4）临界条件与不等式推导：题目给出 “所有弹球都能到达出口” 等条件，考查临界状态的判断，以及利用能量条件推导物理量之间的约束关系。 （5）多阶段过程拆解能力：整道题包含下滑、碰撞、往复运动、多次碰撞等多个阶段，考查将复杂过程拆解为独立阶段、逐个分析的能力。 （6）力学模型的综合应用：将弹性碰撞、机械能守恒与往复运动结合，考查对力学模型的综合迁移能力，要求将基础规律应用到复杂的多阶段问题中。 【变式2-1】如图所示，固定光滑曲面左侧与光滑水平面平滑连接，水平面依次放有2024个质量均为2m的弹性物块（所有物块在同一竖直平面内，且间距足够小），质量为m的0号物块从曲面上高h处静止释放后，沿曲面滑到水平面上与1号物块发生弹性正碰，0号物块反弹后滑上曲面再原路返回，如此反复。所有物块均可视为质点、两两间碰撞时均无机械能损耗，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ） A．最终物块间的距离保持不变 B．1号物块共受到4048次碰撞 C．0号物块最终动量大小为 D．2022号物块最终速度 【变式2-2】（多选）如图所示，在水平面上相距足够远处静置着两个质量均为的物块、，在、之间有一质量为的光滑物块。现给水平向右的初速度。已知、与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度大小为，所有碰撞均为弹性正碰。下列说法正确的是（     ） A．与第一次碰撞后瞬间，二者速度大小相等 B．与第二次碰撞前，的位移大小为 C．的总位移大小为 D．的总位移大小为 【变式2-3】如图所示，质量为m、长为L的绝缘木板B静置在水平光滑地面上，质量为m、电荷量为q的木块A放置在木板B左端，木块A与木板B之间的动摩擦因数为，虚线左侧的空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度为，虚线到木板左侧的距离为，在虚线右侧的水平地面上依次放有质量均为m的木块1、2、…n、，初始时，相邻两个木块间的距离记为、、…，某时刻，将木块A和木板B由静止释放，已知木块A刚离开电场区域时木板B尚未与木块1发生碰撞，并且木板B每次与木块1碰撞时都恰好刚刚与木块A达到相对静止，重力加速度为g，所有碰撞均为完全弹性碰撞，求： (1)木块A在电场区域时，木板B的加速度大小a； (2)木板B第二次与木块1相撞前的瞬时速度大小v； (3)初始时木块n与木块间的距离。 ⚡基础速刷 1．如图所示，木块静止在光滑的水平面上，一颗子弹以初速度v0水平向右打击木块，子弹留在木块内未穿出；若木块固定，子弹对木块的冲量大小为I1，若木块不固定，子弹对木块的冲量大小为I2，不计子弹的重力，则下列说法正确的是（　　） A．I1=0 B．I1=I2 C．I1 <I2 D．I1>I2 2．如图所示，A、B两物体质量之比mA:mB=3:2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则（　　） A．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、 C组成系统的动量守恒 B．若A、B所受的摩擦力大小不相等，A、B、C组成系统的动量不守恒 C．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成系统的动量守恒 D．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数不同，A、B、C组成系统的动量不守恒 3．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直墙上，一质量为2m的光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量为m的小物块从槽上高h处开始下滑，小物块的初始位置与弧形槽底端的水平距离为s，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小物块下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒 B．小物块下滑过程中，槽对物块的支持力不做功 C．在下滑到弧形槽底端的过程中，槽对地的水平位移为 D．物块第一次被弹簧反弹后能追上槽，能回到槽上高h处 4．（多选）如图所示，质量为M=3m的木板在光滑的水平面上以v0向右匀速运动，一个质量为m的小球从距离木板上表面高度为h处自由下落，与木板碰撞后，反弹上升的最大高度为，且发生碰撞时，球与木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则小球弹起后的水平速度大小可能是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）利用高能粒子轰击其他原子核，是原子物理研究的有效实验方法：一种未知的高速运动粒子跟静止的氢原子核正碰，测出碰后氢原子核的速度为。若用该未知粒子以相同的速度跟静止的氮原子核正碰时，测出碰后氮原子核的速度为。已知氢原子核的，氮原子核的质量是，上述碰撞都是弹性碰撞，由此实验数据可以估算出（　　） A．该未知粒子的质量 B．该未知粒子的质量 C．该未知粒子的速度 D．该未知粒子跟静止的氢原子核正碰后的速度 6．如图所示，足够大的光滑水平地面上静置着一小车，小车左端安装有四分之一圆弧光滑轨道，半径，右端段是动摩擦因数的水平粗糙轨道，两段轨道相切于点，轨道与小车总质量。一质量为的小滑块（可视为质点）从轨道上点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入轨道，未滑离小车，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小。 (1)求小滑块运动过程中的最大速度大小； (2)求轨道的最小长度； 7．如图所示，物块、的质量，用水平轻弹簧拴接，静止放在光滑的水平地面上，质量的物块以速度向右运动与物块相碰（时间极短）后与物块粘在一起不再分开。求： (1)物块C与物块A碰后瞬间的速度； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)物块B的最大速度大小。 🚀能力跃升 8．质量相等的、两球在光滑水平面上，沿同一直线，同一方向运动，球的动量，球的动量．当追上时发生正碰，则碰后两球的动量可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．、两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，。当追上并发生碰撞后，、两球速度的可能值是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则（ 　） A．小球和小车组成的系统动量守恒 B．小车向左运动的最大距离为 C．小球离开小车后做斜上抛运动 D．小球第二次能上升的最大高度 11．（多选）如图所示，在光滑水平面上放一个质量为M的斜面体，质量为m的物体沿斜面（斜面光滑）由静止开始自由下滑，下列说法中正确的是（     ） A．M和m组成的系统动量守恒 B．M和m组成的系统动量不守恒 C．M和m组成的系统水平方向动量守恒 D．M和m组成的系统水平方向动量不守恒 12．（多选）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上。现使瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示遵循正弦变化关系，已知，下列说法正确的是（     ） A．物块B的质量为 B．物块B的质量为 C．从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块的冲量大小为 D．从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块的冲量大小为 13．如图所示，虚线左侧的水平地面粗糙，右侧的水平地面光滑，在虚线左侧处静止放置质量为的物块，在虚线右侧静止放置质量为的木板，的右端静止放置质量为的小物块，现给方向水平向右、大小为的初速度，一段时间后以速度与发生弹性碰撞，始终未滑离。已知与左侧地面间的动摩擦因数为，与间的动摩擦因数为，重力加速度，均可视为质点。 (1)求的大小； (2)求和长木板因相对运动而产生的热量； (3)若其它条件不变，与地面间的摩擦因数，求最终停止时距右端的距离。 🌟思维挑战 14．如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，滑块不固定，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小球到达最高点的速度大小为 B．小球到达最高点的速度大小为 C．小球到达最高点时，滑块的速度为0 D．小球到达最高点时，滑块的速度为 16．如图1所示，物块c静置于光滑水平面上，物块b置于水平木板a的左端，a、b一起以速度v0在光滑水平面上向右运动，时刻，木板a与物块c碰撞后立即粘合在一起。已知物块c质量为m，木板a与物块c粘合后速度为，随后b与ac运动的v-t关系如图2所示，不计空气阻力，重力加速度为g，物块b可视为质点，且物块b始终未滑出木板a。则下列说法正确的是（     ） A．物块b质量为2m B．物块b质量为m C．木板a长度至少为 D．物块b与木板a间的动摩擦因数为 17．（多选）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为M的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为2M B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．小球在与圆弧滑块分离后相对地面向右做平抛运动 18．如图所示，水平台面上O、P两点间的距离，P与台面端点Q的距离，Q点到水平地面的距离。质量的光滑物块A静止在O点，质量的物块B静止在P点，B与台面、地面间的动摩擦因数分别为、。现对A施加一水平向右的恒力，之后A与B发生两次弹性正碰（碰撞时间极短），碰后立即将A移走。取，不计空气阻力，求： (1)第一次碰后瞬间A、B的速度大小； (2)物块A、B两次碰撞的时间间隔； (3)若物块B与地面的撞击时间极短（支持力远大于重力），反弹前、后的竖直分速度大小之比为，水平速度同时发生变化。物块B与Q点间水平距离的最大值。 19．一游戏装置的竖直截面如图所示。水平匀速运动且足够长传送带、半径为的竖直圆轨道、水平轨道和、倾角为的倾斜直轨道平滑连接成一个抛体装置，与略微错开。该装置除传送带和段轨道粗糙外，其余各段均光滑，点与水平高台等高。游戏开始，一质量为的滑块1在传送带上端无初速度释放，向右运动至与静止在点、质量也为的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上轨道。若滑块3落在段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在点右侧，立即停止运动。已知段长度间距间距间距，传送带和段的动摩擦因数。滑块均视为质点，不计空气阻力，。（计算结果可用根号表示） (1)若传送带速度大小，求因为传送滑块1，电动机对传送带多做的功； (2)若滑块3恰好能通过圆轨道，求传送带速度的大小； (3)若滑块3能通过圆轨道最高点后最终落入点的洞中，则游戏成功。求游戏成功时传送带速度的大小。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $