8.3 分类变量与列联表导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦分类变量与列联表，围绕2×2列联表的构造、独立性检验的基本思想与初步应用展开，通过现实生活中关联性问题（如吸烟与肺癌风险）导入，衔接统计基础，为成对数据统计分析搭建学习支架。 资料以典型案例（如两校成绩比较、疗法效果分析）驱动探究，引导学生经历数据收集整理分析过程，通过频率分析、等高堆积条形图等方法培养数学眼光，借助独立性检验推理发展数学思维，以实际问题提升数据观念与应用意识，题型分层且贴近生活，助力学生掌握统计分析方法。

数学选择性必修第三册 导学 第八章 成对数据的统计分析 §8.3 分类变量与列联表【解析】 【导学目标】 1.通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用. 2.通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力. 【导学难点】通过对数据的收集、整理和分析进行数据分析 【导学重点】独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用. 【知识要点】 【知识点1】分类变量 为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等. 【知识点2】2×2列联表、独立性检验公式及定义 表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x, y=0,1)的频数;右下角格中的数n是样本容量。 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 独立性检验公式及定义：提出零假设(原假设)H0:分类变量X和Y独立，假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，在列联表中，如果零假设H0成立，则应满足，即ad-bc≈0.因此|ad−bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱;|ad−bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量 【知识点3】两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法： (1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.如可以通过列联表中值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大. (2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图. 等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响. 【知识点4】临界值： χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.858 【问题探究】 在现实生活中,人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题.例如,就读不同学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险,等等。 在讨论上述问题时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等.在很多时候,这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义,本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题. 【典型例题】 题型一 分类变量的两种统计表示形式 【例1-1】(多选)根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是(　　) A．吸烟患肺病的频率约为0．2 B．吸烟不患肺病的频率约为0．8 C．不吸烟患肺病的频率小于0．05 D．吸烟与患肺病无关系 【答案】ABC 【解析】从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率．A、B、C都正确． 故选：ABC. 【例1-2】假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　) A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5 【答案】D 【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱， 而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强， 通过计算知，对于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2 对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7>2． 【方法归纳】分类变量的两种统计表示形式 (1)等高堆积条形图，根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联强弱； (2)2×2列联表，直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联的强弱．　 【例1-3】为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀,试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 【解析】用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合.考虑以Ω为样本空间的古典概型.对于Ω中每一名学生,定义分类变量X和Y如下: ，,我们将所给数据整理成表（单位：人） 学 校 数学成绩 合 计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合 计 71 17 88 甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为≈0.7674和≈ 0.2326; 乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为≈ 0.8444和≈ 0.1556 我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果,如图所示 也就是说,如果从甲校和乙校各随机选取一名学生,那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率,因此,可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异,甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高。 题型二 独立性检验 【例2-1】对于分类变量X与Y的随机变量x2的值，下列说法正确的是（ ） A．x2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．x2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．x2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．x2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 【答案】B 【解析】根据独立性检验的基本思想可知，分类变量X与Y的随机变量x2的观测值越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大；x2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小，“X与Y没有关系”的可信程度越大，故ACD错误，B正确. 故选：B. 【例2-2】依据小概率值=0.1的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 【解析】零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异. 所以x0.1 根据小概率值=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异。 【例2-3】某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 【解析】零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表， 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值=0.005的独立性检验，没有充分证据推断 H0不成立， 因此可以认为 H0成立，即认为两种疗法效果没有差异. 【例2-4】2026年闽超2026年4月19日-10月下旬分别在福建省十个城市，分主客场举行，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在志愿者选拔工作中，福建省某高校承办了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值，并估计这名候选者面试成绩的中位数（中位数精确到0.1）； （2）已知抽取的名候选人中，男生和女生各人，男生希望参加厦门赛区志愿服务的人数有人，女生希望参加厦门赛区志愿服务的人数有人，补全下面列联表，问是否有的把握认为希望参加厦门赛区志愿者服务的候选人与性别有关？ 男生 女生 总计 希望去厦门赛区 不希望去厦门赛区 总计 参考数据即公式：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由题意可知：，， 解得，，所以中位数等于 （2）补全列联表： 男生 女生 总计 希望去厦门赛区 不希望去厦门赛区 总计 所以有的把握认为希望参加厦门赛区志愿者服务的候选人与性别有关. 【应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：】 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论. （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 【例2-5】某体育彩票站点为了预估2026年彩民购买彩票的情况，对2025年的购买情况进行随机调查并统计，得到如下数据： 购买金额/千元 人数 10 15 20 25 20 10 （1）估计彩民平均购买金额(每组数据取区间的中点值)； （2）根据以上数据完成下面的列联表； 不少于6千元 少于6千元 合 计 男 30 女 12 合 计 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关？ 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）彩民平均购买金额为(千元). 即彩民平均购买金额约为4.65千元. （2）由所给数据可得列联表如下： 不少于6千元 少于6千元 合计 男 18 30 48 女 12 40 52 合计 30 70 100 （3） 根据列联表中的数据可得 因此根据临界值表可知，没有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册 导学 第八章 成对数据的统计分析 §8.3 分类变量与列联表【导学】 【导学目标】 1.通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用. 2.通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力. 【导学难点】通过对数据的收集、整理和分析进行数据分析 【导学重点】独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用. 【知识要点】 【知识点1】分类变量 为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等. 【知识点2】2×2列联表、独立性检验公式及定义 表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x, y=0,1)的频数;右下角格中的数n是样本容量。 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 独立性检验公式及定义：提出零假设(原假设)H0:分类变量X和Y独立，假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，在列联表中，如果零假设H0成立，则应满足，即ad-bc≈0.因此|ad−bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱;|ad−bc|越大，说明两个分类变量之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量 【知识点3】两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法： (1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系.如可以通过列联表中值的大小粗略地判断分类变量x和Y之间有无关系.一般其值相差越大,分类变量有关系的可能性越大. (2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高堆积条形图. 等高堆积条形图可以展示列联表数据的频率特征，能够直观地反映出两个分类变量间是否相互影响. 【知识点4】临界值： χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.858 【问题探究】 在现实生活中,人们经常需要回答一定范围内的两种现象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题.例如,就读不同学校是否对学生的成绩有影响,不同班级学生用于体育锻炼的时间是否有差别,吸烟是否会增加患肺癌的风险,等等。 在讨论上述问题时,为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,例如,学生所在的班级可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示,等等.在很多时候,这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义,本节我们主要讨论取值于{0,1}的分类变量的关联性问题. 【典型例题】 题型一 分类变量的两种统计表示形式 【例1-1】(多选)根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是(　　) A．吸烟患肺病的频率约为0．2 B．吸烟不患肺病的频率约为0．8 C．不吸烟患肺病的频率小于0．05 D．吸烟与患肺病无关系 【例1-2】假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　) A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5 【方法归纳】分类变量的两种统计表示形式 (1)等高堆积条形图，根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联强弱； (2)2×2列联表，直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联的强弱．　 【例1-3】为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生.通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀,试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异. 题型二 独立性检验 【例2-1】对于分类变量X与Y的随机变量x2的值，下列说法正确的是（ ） A．x2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．x2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．x2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．x2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 【例2-2】依据小概率值=0.1的独立性检验，分析例1中的抽样数据，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ 【例2-3】某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 【例2-4】2026年闽超2026年4月19日-10月下旬分别在福建省十个城市，分主客场举行，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在志愿者选拔工作中，福建省某高校承办了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值，并估计这名候选者面试成绩的中位数（中位数精确到0.1）； （2）已知抽取的名候选人中，男生和女生各人，男生希望参加厦门赛区志愿服务的人数有人，女生希望参加厦门赛区志愿服务的人数有人，补全下面列联表，问是否有的把握认为希望参加厦门赛区志愿者服务的候选人与性别有关？ 男生 女生 总计 希望去厦门赛区 不希望去厦门赛区 总计 参考数据即公式：，. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：】 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论. （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 【例2-5】某体育彩票站点为了预估2026年彩民购买彩票的情况，对2025年的购买情况进行随机调查并统计，得到如下数据： 购买金额/千元 人数 10 15 20 25 20 10 （1）估计彩民平均购买金额(每组数据取区间的中点值)； （2）根据以上数据完成下面的列联表； 不少于6千元 少于6千元 合 计 男 30 女 12 合 计 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有90%的把握认为彩民的购买金额是否少于6千元与彩民的性别有关？ 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $