精品解析：四川乐山市沫若中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

沫若中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. （    ） A. B. C. 5 D. 25 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（    ） A. 侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱 C. 过圆柱的轴的截面是一个矩形 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 5. 已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 8. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 边上的高为 D. 边上的高为 （24-25高一下·福建莆田·期中） 10. （多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有且只有一个解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 11. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A. 2 B. C. 5 D. 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若复数，则___________． 13. 已知向量，满足，，，，则实数______ 14. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 已知向量，，，且，. （1）求向量，的坐标； （2）若，. （i）求与的夹角； （ii）求向量在向量上的投影向量的坐标. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 19. 已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若在区间上的取值范围是，求m的取值范围； （3）若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沫若中学2025-2026学年高一下学期4月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. （    ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】对于任意复数（其中）， 其模的定义为：， 则. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】由，可得， . 故选：A. 4. 下列说法错误的是（    ） A. 侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱 C. 过圆柱的轴的截面是一个矩形 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据正棱锥的概念判断A，由直四棱柱概念判断B，由圆柱的性质判断C，由棱锥性质判断D. 【详解】对A，侧棱相等，底面是正多边形的棱锥是正棱锥，A错； 对B，长方体的侧棱与底面垂直，它是直四棱柱，B正确； 对C，圆柱的轴截面是矩形，C正确； 对D，棱台的侧棱延长后交于一点，从而成为一个棱锥， 这个棱锥可以看作由原来的棱台与被截去的顶端小棱锥共同组成原棱锥，D正确. 5. 已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量定理可三点共线的充要条件. 【详解】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 6. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 7. 已知的外接圆圆心为，半径为1，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得为等腰直角三角形，且，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以为的中点， 所以为的直径，可得， 又因为，所以为等腰直角三角形，且， 所以. 故选：A. 8. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图， 一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 边上的高为 D. 边上的高为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． （24-25高一下·福建莆田·期中） 10. （多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有且只有一个解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由大角对大边可判断A；由正弦定理，结合大边对大角，可判断B；解法一：利用余弦定理角化边然后分解因式可得结论，解法二：利用正弦定理边化角，二倍角公式化简，再结合三角函数的性质可判断C；利用余弦定理得到，可判断D. 【详解】对于A，由大角对大边可知，故A正确； 对于B，若，，， 由正弦定理可知，∴，∴， ∵，∴，∴角为锐角，只有一解，故B正确； 对于C，解法一：由和余弦定理，可得， 整理可得，∴或， ∴或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 解法二：由和正弦定理，得，∴， ∵，∴或， ∴或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D：∵，由余弦定理，， 又∵，则，∴为钝角三角形，故D正确. 11. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量两两的夹角相等可知有两种可能，分类讨论可求解. 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或. 当夹角为时，； 当夹角为时， ， 所以或2. 故选：AC. 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若复数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则计算，然后由共轭复数定义得结论. 【详解】，所以. 13. 已知向量，满足，，，，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的充要条件，结合向量数量积的运算，即可求得λ的值. 【详解】由题意得向量，满足，，， 则有，， 由，有， 得，解得. 14. 在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 【答案】14 【解析】 【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，即可求得最大值. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 则b+c的最大值为14. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若为实数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【小问1详解】 由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． 【小问2详解】 由复数为实数，可得， 解得或． 【小问3详解】 由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 16. 已知向量，，，且，. （1）求向量，的坐标； （2）若，. （i）求与的夹角； （ii）求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列式求解； （2）（ⅰ）首先求向量和的坐标，再代入向量夹角的坐标公式，即可求解；（ⅱ）代入投影向量的坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以.解得. 因为，所以.解得. 所以，. 【小问2详解】 （i）. . 所以. 因为，所以. （ii）设向量在向量上的投影向量为，则. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】（1） （2）选择①②，答案均为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【小问1详解】 由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． 【小问2详解】 若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 18. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 19. 已知函数． （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）若在区间上的取值范围是，求m的取值范围； （3）若锐角外接圆半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】（1）对称中心为，单调递增区间为 （2）m的取值范围为； （3）周长的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）化简得，利用整体法可求函数的对称中心和单调递增区间； （2）由已知可得，结合值域为，可求得m的取值范围； （3）利用边化角可得，，结合三角恒等变换和辅助角公式可求得周长的取值范围． 【小问1详解】 ， 由，得，所以函数的对称中心为， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 又因为在区间上的取值范围是， 所以，由，得， 所以m的取值范围为； 【小问3详解】 因为，可得，所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，解得， 又因为锐角外接圆半径为，所以， 所以， 所以 ， 又因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以， 所以周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $