河南洛阳市强基联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

洛阳强基联盟高一6月检测·数学 参考答案、提示及评分细则侧 1.D全国居民数量庞大，全面调查难度大、成本高，适合抽样调查，A错误；调查一批袋装牛奶的细菌数具有毁损性，适合 抽样调查，B错误：测试电池使用寿命会对电池造成损坏，适合抽样调查，C错误：载人飞船零部件的质量关乎飞行安全， 必须确保每个零部件都合格，适合用普查，D正确.故选D. 2.D由于不同年级的学生身体发育情况差别较大，因此适合采用分层随机抽样的方法.故选D. 3.C设该圆挂的底面半径为，高为，则M=2,2xr=2,=元，所以该圆柱的体积V=x2h=x()广A=名.故选C 4.A因为m⊥a,若n∥a,则mLn,所以“n∥a”是“mLi”的充分条件；若m⊥，则n∥a或nCa,所以“n∥a”不是“m⊥n” 的必要条件.故“n∥a”是“m⊥n”的充分不必要条件.故选A. 5D由条形图得合阳人数为70，由饼状图得合阳人数占比35%，因此选取的总人数为裂=20，由饼状图得演讲及舞 蹈人数和占比为1一20%-10%-35%=35%，人数和为200×35%=70，由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为 40.故选D. 6.A因为a∥B∥Y,直线a与b分别交a,B,Y于点A,B,C和点D,E,F,过点A作直线c,使得c∥b,交B,y于点M,N,所 以M/CN,所以器微能-号放器-DF=1+器-号故选A DE 7.B由8个样本数据x,x2,x3,…,8的平均数为4，可得x=4,可得x十2十十…十%=32， 又2=（四一)2+（一）2+（一)2十…+（一）=+2+店十十8-2（十20十2十…十2）十8定 8 十3十8十+道-元=288-4=20.故选B. 8 8 8.C如图所示，因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABC 平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,又DMC平面PAD,所以AB⊥DM, 又PD=AD,M为PA的中点，所以DM⊥PA,因为PA∩AB=A,PA,PBC平面 D PAB,所以DM⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以DM⊥PB,当MQ⊥PB时，平 面DMQ⊥平面PBD.因为PA=AB=3,AB⊥PA,所以△PAB为等腰直角三角 形，则∠APB=45,所以PQ=PMs45-号PM-厚PA-3平.放选C 9.ABC对于A,根据面面垂直的判定定理可知A正确；对于B,已知l∥α，由线面平行的性质，可得a内存在直线m使得 m∥l,又⊥3，所以mL3,根据面面垂直的判定定理可得a⊥3，B正确；对于C,由面面平行的性质，可推出a⊥3，C正确； 对于C,若a⊥Y,βLY,则a与B可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出a⊥3，D错误.故选ABC. 10.AD该组数据的极差为一，A正确：该组数据的70%分位数为十，B错误：原数据的平均数为元= 十十十十血，新数据的平均数为7=十西十十心，无法确定元与的大小，C错误；剔除数据，后得 10 8 到的新数据的波动变小，所以方差变小，D正确.故选AD. 【高一6月检测·数学参考答案第1页（共4页）】 11.ABD因为A,A,C∈平面ACC1A1,D4平面ACCA,故直线AD与直线A,C是异面直线，故A正确：因为四边形 ACCA,是边长为2的正方形，所以AC⊥CC,又CC∥BB,所以AC⊥BB,因为AD⊥平面BCCB,BB,C平面 BCCB,所以AD⊥BB1,又AD∩AC=A,AD,ACC平面ADC,所以BB⊥平面ADC,又CDC平面ADC,所以BB, ⊥CD,又点D为棱BB1的中点，所以CB=CB,故B正确：设AD=x,则CD=√4一x,所以三棱柱ABC-A,BC的 侧面积S=2×2十2x十2√4一x2=10,该方程无解，故三棱柱ABC-AB,C的侧面积不可能为10，故C错误；由题意 得V449=3g度=3We+Ver)=Sam·BD+Sam·BD=Sr·BB,=合·V7·2 /(4-产)≤十工=2，当且仅当x=2时等号成立，故D正确，故选ABD. 2 1212女生应描取的人数为28×0”0=12人 Q 13.交如图所示，连接BE,因为AELPC,BE⊥PC,AEOBE=E,所以PC⊥平面ABE,又BQC 平面ABE,所以PCLBQ,故异面直线BQ与PC所成的角的大小为受. 14.2PA⊥AC,PB⊥BC,PC=4,△ABC是边长为3的等边三角形，所以PA=PB=√PC一AC=√7，取AB的中点 D,期PD1AB,CDLAB,.PD=VPm-AD=,CD-3号，又PpncD-=D,PD,CDC平面PCD,所以ABL平 2 面PCD,在△PCD中，由余弦定理得os∠PDC-DPppCppC--3,所以sin∠PpC-√-oS∠PDC- 2DP·DC /57 壳过点P作直线CD的重线垂足为G,则PG-PDn∠PC-2,又PGC平面PCD.,所以ABIPG..又PGLCD, AD∩CD=D,AD,CDC平面ABC,所以PG⊥平面ABC,即点P到平面ABC的距离为PG=2. 15.解：(1)甲品种产量的平均数m-47+51+49+50+53=50, 5 甲品种的方差6=47-50)2+(51-50)2+(49-50)2+(50-50)2+(53-50)2=4，…4分 5 乙品种的平均数元=41+48+57+55+49=50， 5 乙品种的方差2=41-50)2+(48=50)2+(57-50)+(55-50》2+(49-50)2-32，…8分 6 (2)甲品种水稻更适合推广. …9分 由x平=x乙可知，甲、乙两种水稻亩产量的平均数相同， 由品<s之可知，甲品种的产量比较稳定，所以甲品种水稻更适合推广.…13分 16.证明：(1)连接MO,在菱形ABCD中，O为AC,BD的中点， M为PD中点，PB∥MO,… …3分 又，PB过平面ACM,MOC平面ACM, 【高一6月检测·数学参考答案第2页（共4页）】 PB∥平面ACM.… …5分 (2)连接PO,:'PA=PC,O为AC的中点， PO⊥AC,…8分 ,四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD, .BD∩PO=O,BD,POC平面PBD,.AC⊥平面PBD,…12分 B 又.ACC平面PAC,.平面PAC⊥平面PBD.…… 15分 17.解：(1)根据题意，(0.015十0.020十a十0.025十0.010)×10=1，解得a=0.030.…3分 0.15×55+0.20×65+0.30×75+0.25×85+0.10×95=74.5, 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5.… …7分 (2)由频率分布直方图可知评分在[60,70)，[70,80)的频率比为2：3， 则样本中在[60,80)内的评分的平均数为号×64.5计号×74.5=70.51分 样本中在[60,80)内的评分的方差为号×[14+(64.5-70.5)2]+号×[9+(74.5-70.5)门=35。…15分 18.(1)证明：因为△ABD为正三角形，所以AB=AD,又BC=CD,所以AC⊥BD.…2分 又PA⊥底面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD.… …3分 AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PCC平面PAC,所以BD⊥PC.…5分 (2)解：因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD, 所以PA⊥BC,又已知AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 所以∠PBA即为二面角P-BC-A的平面角. 因二面角P-BC-A的大小为45，所以∠PBA=45°.… 由题意，可证△ABC2△ADC, 又△ABD为等边三角形， 所以∠BAC=∠DAC=30°. 在Rt△ABC中，AB=,BC t0300/3.……9分 因为PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AB.知PA=AB=√3，PB=√6，所以△PBC的面积S△Pc /6 2 11分 因为PB=3B,所以Sr=号Sr-。 39 又因为N为PC中点，所以SAaN=2Sac 1 6 …13分 设点A到平面PBC的距离为h,由V=Vx,得gX号X万X1XE=合×号X6X1Xh, 解得=，即点A到平面CMN的距离为'写， …15分 aN一所以三棱锥C-AMN的体积V%Aw=Vw=了X5yY 6 026 …17分 【高一6月检测·数学参考答案第3页（共4页）】 19.(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C中，AA1⊥平面ABC,又ACC平面ABC,所以AC⊥AA, 因为A1B=AC1=√2，B1C=2,由勾股定理得AC⊥AB1,… …2分 因为AA∩AB1=A1,所以AC⊥平面ABBA, 因为AB1C平面ABBA1,所以AC⊥AB.… …4分 设AB与AD交于点E,因为点D为BB1的中点，在矩形ABB1A,中，AB,=√2，BB1=2, 所以∠DAB=∠ABB=号，又∠DA,B,乙ABBE(O,受)，所以∠DAB=∠ABB, 因为∠DAB十∠ADB=,所以∠ABB+∠ADB=, 所以∠DBB=,ABLA,D,… …6分 因为AD∩AC=A,AD,A1CC平面ACD,所以AB1⊥平面ACD.…7分 (2)解：由(1)可得，AB⊥平面ACD,且ABC平面ABC, 所以平面AB,C⊥平面ACD,且平面AB,C∩平面A1CD=CE, 所以点A到平面AB,C的距离就是点A1到直线C1E的距离d,…8分 由)可得AG⊥AE,AG=E,A,E=号AD-2号，GE=VAG于AF √/30 3 2B×2 所以d=AEXAC_ 25 CE 10分 30 3 25 设直线AD与平面AB,C所成角为0，则sin0A正2 d 5-15 59 3 所以直线AD与平面AB,C所成角的正弦值为压 5 12分 (3)解：因为BD⊥BC,BC=2,BD=1,CD=√5， 取CD的中点O,则OB=OC=OD= 29 ……………… 13分 取BC中点F,连接AF,OF,因为AB=AC,F为BC的中点，所以AF⊥BC,在直棱柱ABC-A,BC1中，BB⊥平面 ABC,又AFC平面ABC,所以BB1⊥AF, 因为BB1∩BC=B,BB,BCC平面BCCB, 所以AF⊥平面BCCB,又OFC平面BCCB,所以AF⊥OF,且AF=1,OF=Z, 所以OA=VAFP+OF= 2 …15分 所以点A,B,C,D都在以0为球心的球0的表面上，该球的半径R=写，表面积为4R=5元…17分 2 【高一6月检测·数学参考答案第4页（共4页）】洛阳强基联盟高一6月检测 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第八章一第九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.下列调查中，适合用普查的是 A.调查全国居民的食品消费结构 B.调查一批袋装牛奶的细菌数是否超标 C.调查某款新能源汽车电池的使用寿命 D.检查某载人飞船零部件的质量情况 2.某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则 适合的抽样方法是 A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样 3.已知圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 A.2 B.2π c 4.已知m,n表示两条不同的直线，a表示平面，且m⊥a,则“n∥a”是“m⊥n”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其 中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整 的两个统计图： 人数 9 合唱 60 35% 106 40 英语协会 演讲 20 20% 绑蹈 0演讲舞蹈合唱绘画英语协会杜团 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为 A.20 B.30 C.35 D.40 【高一6月检测·数学第1页（共4页）】 6如图，a//,直线a与6分别交aB,y于点A,B,C和点D,E,F且勰=号，则 T B器的值为 A哥 B.2 c号 D是 7.已知8个样本数据x1,x2,x3,…,x8的平均数为4，其中子十x十x十…十x后=288，则这8个数据的 方差为 A.18 B.20 C.24 D.28 8.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD,PD=AD,PA=AB=3,M为 PA的中点，Q为PB上一动点，若平面DMQ⊥平面PBD,则PQ= A号 B号 C,3v2 4 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,B,Y表示不同的平面，l表示直线，下列条件中能得出a⊥β的是 A.lCB,l⊥a B.l⊥B,l∥a C.a∥y,B⊥y D.a⊥Y,B⊥Y 10.已知一组数据1，x2,x3,…,x1o(x1<x2<<x10),则下列说法正确的是 A.该组数据的极差为x1o一x1 B.该组数据的70%分位数为x7 C.剔除1，x10后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D.别除，x后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，四边形ACCA1是边长为2的正方形，点D为A 梭BB,的中点，AD⊥平面BCCB1,则下列说法正确的是 A.直线AD与直线A1C是异面直线 B.CB=CB C.三棱柱ABC-A1B,C,的侧面积可能为10 D.三棱柱ABC-A,B1C的体积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的 样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取人 13.已知三棱锥P-ABC的所有棱长均相等，E为PC的中点，点Q在AE上（不同于点E),则异面直线 BQ与PC所成角的大小为 14.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥AC,PB⊥BC,PC=4,则点P到平面 ABC的距离为 【高一6月检测·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某沙稻研究中心在沙漠试验田种植甲、乙两种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg) 如下： 甲水稻亩产量 分 49 50 3 乙水稻亩产量 41 48 必 55 49 (1)分别求出甲、乙两种水稻亩产量的平均数与方差； (2)若要大面积种植这两种水稻中的一种，根据(1)中计算结果，分析哪个品种更适合推广，并说明 理由 16.(本小题满分15分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC,O,M分别为AC,PD的中点. (1)证明：PB∥平面ACM; (2)证明：平面PAC⊥平面PBD. 17.(本小题满分15分) 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分 (满分100分)按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制成如图所示的频率分 布直方图. 频率 组距 0.025 0.020- 0.015 0.010 O 5060708090100分数 (1)求图中α的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值 作代表)； (2)已知样本中在[60,70)内的评分的平均数为64.5，方差为14，在[70,80)内的评分的平均数是 74.5,方差是9，求落在[60,80)内的评分的平均数与方差 【高一6月检测·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,△ABD为等边三角形，BC=CD=1,∠ABC=90°， M是PB上一点，且PB=3MB,N是PC的中点， (1)求证：PC⊥BD; (2)若二面角P-BC-A的大小为45°，求三棱锥C-AMN的体积. 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，侧面BB1C1C是边长为2的正方形，A1B,=AC1=√2，点D为 BB1的中点. (1)求证：AB1⊥平面ACD; (2)求直线A1D与平面AB1C1所成角的正弦值； (3)若点A,B,C,D都在同一个球的表面上，求该球的表面积. 【高一6月检测·数学第4页（共4页）】