奥数培优专题——归一归总问题（讲义）-2025-2026学年人教版六年级下册数学

该小学数学小升初复习讲义聚焦归一归总问题，针对小升初应用题25%高频考点，通过核心基础量梳理、四类归一与两类归总题型细分、典型例题解析及三阶巩固练习，帮助学生掌握先求单一量（归一）和先求总数量（归总）的核心解题逻辑。 亮点在于分层突破与实战导向，如双归一问题通过“2台抽水机3小时抽水48吨”实例训练两次除法运算能力，归总问题强调总量不变培养模型意识，配套基础、拔高、压轴25道练习题。五大易错陷阱解析助力学生规避失分点，教师可据此精准教学，提升学生应用题解题效率与正确率。

小升初奥数培优专题讲义：归一归总问题 学习目标 归一归总是小升初应用题第一高频考点，占应用题分值25%，同时是工程、行程、浓度问题的底层思维。核心解题逻辑只有两个：先求单一量，再推其他量（归一）；先求总数量，再拆分分配（归总）。本讲义区分校内基础与奥数培优拓展，重点攻克校内不讲解的双归一、变量归总、隐含不变量三类压轴题型。 知识讲解 一、三大核心基础量（所有题型通用） 1. 单一量（单位量）：1份对应的数量，是归一问题的求解核心，常见表述：1人1天工作量、1台机器1小时产量、1千克商品单价、1辆车1小时路程。 2. 份数：统计单一量的统计次数，常见表述：人数、天数、台数、数量、时间。 3. 总量：所有份数对应的总数量，满足基础公式： 二、归一问题细分（分为4类，培优必考） 1. 一次正归一（简单归一） 题干特征：已知多份总量，求更多份数对应的总量。关键词：照这样计算、同样速度、同等效率。 解题顺序：多份总量→单一量→更多份数总量 数量公式： 2. 一次反归一（包含归一） 题干特征：已知多份总量，求达到新总量需要的份数。 解题顺序：多份总量→单一量→新总量对应份数 数量公式： 3. 双归一（两次归一，奥数重难点） 题干特征：存在两个变量（人数+天数、台数+小时），无法一步求出单一量，需要两次除法。例：3人4天加工120个零件，求1人1天加工量。 细分两类：①同步变化型：人数、天数同时改变；②单一变化型：仅人数或天数改变。 数量公式： 4. 正反混合归一 题干特征：先反归一求份数，再正归一求总量，小升初填空高频陷阱题。 三、归总问题细分 核心本质：归一问题的逆运算，总量全程保持不变，所有条件变化都不改变总数量。 1. 基础归总 已知单一量、份数求总量，再更换单一量求新份数，或更换份数求新单一量。 公式： 2. 损耗型归总（培优拓展） 总量存在损耗、增加，不再是固定原值，需要先修正总量再分配，属于择校真题压轴。 四、归一、归总快速区分技巧 1.归一：已知“多份求1份，再求多份”，变量是份数，总量随份数变化 2.归总：已知“多份求总量，再拆分总量”，变量是单一量，总量固定不变 五、通用四步解题法（标准化答题步骤） 第一步：圈画不变量，判断是归一还是归总；第二步：统一题干所有单位（时间、重量、人数）；第三步：列式计算单一量/总数量；第四步：结合问题反向求解，验证结果合理性 （六）五大高频易错陷阱（小升初70%学生失分点） 1.单位不统一：题干同时出现小时、分钟，米、千米，未统一直接计算 2.结果取整：人数、车辆数、天数不能为小数，必须向上取整，不能四舍五入 3.双归一顺序颠倒：先除天数再除人数，和先除人数再除天数结果一致，但容易列式错误 4.隐含不变量：水管进水出水、耕地土地面积默认不变，题干不直接说明 5.效率叠加：增加人数/机器，容易忘记原有基数，只算新增数量 例题讲解 【典型例题1】一次正归一（校内基础培优） 题目：5支钢笔售价40元，照这样计算，买12支同款钢笔需要花费多少元？ 【跟踪训练1】 题目：3千克苹果18元，购买9千克苹果需要多少钱？ 【跟踪训练2】 【典型例题2】一次反归一（课内拔高易错） 题目：4台打印机3分钟打印60张纸，照这样速度，打印150张纸需要多少分钟？ 【跟踪训练1】 题目：6名工人2小时制作36个零件，制作90个零件需要几小时？ 【跟踪训练2】 题目：8米彩带可以做4个蝴蝶结，做13个蝴蝶结需要彩带多少米？ 【典型例题3】双归一问题（奥数核心重难点） 【跟踪训练1】 题目：2台抽水机3小时抽水48吨，5台抽水机6小时抽水多少吨？ 【跟踪训练2】 题目：5只小羊4天吃草80千克，8只小羊7天吃草多少千克？ 【典型例题4】基础归总问题（总量不变） 题目：工厂加工一批零件，每人每天加工20个，15人12天可以完成。如果改为20人加工，需要多少天完成？ 【跟踪训练1】 题目：一堆货物，每辆车装12吨，需要18辆车运完。如果每辆车多装6吨，需要多少辆车？ 【跟踪训练2】 题目：学生排练队列，每行站18人，一共站20行。如果每行少站3人，可以站多少行？ 【典型例题5】归一归总混合压轴题（择校真题） 题目：6名工人8天加工零件960个，现增加2名工人，工期缩短2天，一共可以加工多少个零件？ 【跟踪训练1】 题目：4台机器5小时生产产品400件，减少1台机器，增加2小时，可生产多少件？ 【跟踪训练2】 题目：5人3天收割稻田75亩，增加5人，时间减半，可收割多少亩？ 巩固练习 一、基础巩固10道（课内同步培优，适合课后巩固） 1. 3箱橘子重45千克，7箱橘子重多少千克？ 2. 2支圆珠笔14元，49元可以买几支同款圆珠笔？ 3. 一辆货车3次运货36吨，运84吨货物需要运多少次？ 4. 一本书每页排24行，每行25个字，一共排120页。如果每行改为30个字，每页还是24行，需要排多少页？ 5. 4名同学2次搬运书本80本，1名同学1次搬运多少本？ 6. 5分钟滴水25毫升，1小时滴水多少毫升？ 7. 一批布料做上衣，每件用布3米，可做40件。如果做裤子每条用布2米，这批布料可做多少条裤子？ 8. 6千克黄豆可以榨油1.2千克，15千克黄豆可以榨油多少千克？ 9. 工人修路，每天修45米，20天修完。提前5天完工，每天需要修多少米？ 10. 3只猫3分钟抓3只老鼠，1只猫1分钟抓几只老鼠？ （二）能力拔高10道（小升初统考高频，易错集中） 11. 4名工人6天组装设备192台，7名工人9天可组装多少台？ 12. 9辆货车4次运货288吨，12辆货车5次运货多少吨？ 13. 食堂储备粮食，20人可吃30天，新增5人，这批粮食可以吃多少天？ 14. 5台收割机3小时收割麦田75亩，收割200亩需要4小时，需要几台收割机？ 15. 一批零件，原计划12人18天完成，工作6天后，增加6人，剩余零件还需几天完成？ 16. 3个水龙头4小时放水96立方米，5个水龙头放水320立方米需要几小时？ 17. 用边长4分米的地砖铺地，需要225块。改用边长6分米的地砖，需要多少块？ 18. 6名工人5天修路180米，现要10天修路420米，需要增加几名工人？ 19. 4辆汽车7次运货168吨，5辆汽车运240吨需要几次？ 20. 书本装订，3台机器8小时装订4800本，增加1台机器，缩短2小时，可装订多少本？ （三）压轴拓展5道（择校分班真题，难度拔高） 21. 10人12天完成一项工程，工作4天后，撤走4人，剩余工期需要延长几天？ 22. 5头牛8天吃草200千克，现有草量900千克，12头牛可以吃几天？ 23. 搬运货物，8人6小时搬运完毕，搬运2小时后，新增4人，提前几小时完工？ 24. 甲乙两个车间效率相同，甲车间5人7天产量210件，乙车间9人11天产量多少件？ 25. 水池蓄水，3台进水泵5小时注满，5台进水泵同时开启，提前几小时注满？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：归一归总问题 学习目标 归一归总是小升初应用题第一高频考点，占应用题分值25%，同时是工程、行程、浓度问题的底层思维。核心解题逻辑只有两个：先求单一量，再推其他量（归一）；先求总数量，再拆分分配（归总）。本讲义区分校内基础与奥数培优拓展，重点攻克校内不讲解的双归一、变量归总、隐含不变量三类压轴题型。 知识讲解 一、三大核心基础量（所有题型通用） 1. 单一量（单位量）：1份对应的数量，是归一问题的求解核心，常见表述：1人1天工作量、1台机器1小时产量、1千克商品单价、1辆车1小时路程。 2. 份数：统计单一量的统计次数，常见表述：人数、天数、台数、数量、时间。 3. 总量：所有份数对应的总数量，满足基础公式： 二、归一问题细分（分为4类，培优必考） 1. 一次正归一（简单归一） 题干特征：已知多份总量，求更多份数对应的总量。关键词：照这样计算、同样速度、同等效率。 解题顺序：多份总量→单一量→更多份数总量 数量公式： 2. 一次反归一（包含归一） 题干特征：已知多份总量，求达到新总量需要的份数。 解题顺序：多份总量→单一量→新总量对应份数 数量公式： 3. 双归一（两次归一，奥数重难点） 题干特征：存在两个变量（人数+天数、台数+小时），无法一步求出单一量，需要两次除法。例：3人4天加工120个零件，求1人1天加工量。 细分两类：①同步变化型：人数、天数同时改变；②单一变化型：仅人数或天数改变。 数量公式： 4. 正反混合归一 题干特征：先反归一求份数，再正归一求总量，小升初填空高频陷阱题。 三、归总问题细分 核心本质：归一问题的逆运算，总量全程保持不变，所有条件变化都不改变总数量。 1. 基础归总 已知单一量、份数求总量，再更换单一量求新份数，或更换份数求新单一量。 公式： 2. 损耗型归总（培优拓展） 总量存在损耗、增加，不再是固定原值，需要先修正总量再分配，属于择校真题压轴。 四、归一、归总快速区分技巧 1.归一：已知“多份求1份，再求多份”，变量是份数，总量随份数变化 2.归总：已知“多份求总量，再拆分总量”，变量是单一量，总量固定不变 五、通用四步解题法（标准化答题步骤） 第一步：圈画不变量，判断是归一还是归总；第二步：统一题干所有单位（时间、重量、人数）；第三步：列式计算单一量/总数量；第四步：结合问题反向求解，验证结果合理性 （六）五大高频易错陷阱（小升初70%学生失分点） 1.单位不统一：题干同时出现小时、分钟，米、千米，未统一直接计算 2.结果取整：人数、车辆数、天数不能为小数，必须向上取整，不能四舍五入 3.双归一顺序颠倒：先除天数再除人数，和先除人数再除天数结果一致，但容易列式错误 4.隐含不变量：水管进水出水、耕地土地面积默认不变，题干不直接说明 5.效率叠加：增加人数/机器，容易忘记原有基数，只算新增数量 例题讲解 【典型例题1】一次正归一（校内基础培优） 题目：5支钢笔售价40元，照这样计算，买12支同款钢笔需要花费多少元？ 【分析】题干出现“照这样计算”，判定为正归一。先求1支钢笔单价（单一量），再用单价乘12支求总价，全程单位统一无需换算。 【详解】单一量（单支价格）：40÷5=8（元）；12支总价：8×12=96（元） 【答案】96元 【跟踪训练1】 题目：3千克苹果18元，购买9千克苹果需要多少钱？ 【分析】标准正归一，先求每千克单价，再计算9千克总价，也可利用倍数巧算（9÷3=3倍）。 【详解】单价：18÷3=6（元）；总价：6×9=54（元） 【答案】54元 【跟踪训练2】 题目：一辆汽车2小时行驶120千米，按照这个速度，5小时行驶多少千米？ 【分析】行程类正归一，单一量为每小时速度，速度恒定不变。 【详解】速度：120÷2=60（千米/时）；路程：60×5=300（千米） 【答案】300千米 【典型例题2】一次反归一（课内拔高易错） 题目：4台打印机3分钟打印60张纸，照这样速度，打印150张纸需要多少分钟？ 【分析】反归一题型，已知总量求时间份数。先求单台每分钟打印量，再用总张数÷单台效率得到时间，注意不混淆份数顺序。 【详解】单台每分钟：60÷4÷3=5（张）；所需时间：150÷5=30（分钟） 【答案】30分钟 【跟踪训练1】 题目：6名工人2小时制作36个零件，制作90个零件需要几小时？ 【分析】反归一，先求单人每小时产量，再反推工时。 【详解】单人每小时：36÷6÷2=3（个）；工时：90÷3=30（小时） 【答案】30小时 【跟踪训练2】 题目：8米彩带可以做4个蝴蝶结，做13个蝴蝶结需要彩带多少米？ 【分析】简单反归一，先求单个蝴蝶结用料，再求总用料。 【详解】单个用料：8÷4=2（米）；总用料：2×13=26（米） 【答案】26米 【典型例题3】双归一问题（奥数核心重难点） 题目：3名工人5天可以修路150米，照这样计算，4名工人8天可以修路多少米？ 【分析】双归一双变量（人数、天数），必须两次归一。第一步求1名工人1天修路长度（核心单一量），第二步同时乘新人数、新天数求总量，是校内完全不讲解的培优考点。 【详解】单人单日效率：150÷3÷5=10（米）；4人8天总量：10×4×8=320（米） 【答案】320米 【跟踪训练1】 题目：2台抽水机3小时抽水48吨，5台抽水机6小时抽水多少吨？ 【分析】设备+时间双变量，标准双归一，先求单台单小时抽水量。 【详解】单台每小时：48÷2÷3=8（吨）；总量：8×5×6=240（吨） 【答案】240吨 【跟踪训练2】 题目：5只小羊4天吃草80千克，8只小羊7天吃草多少千克？ 【分析】动物进食类双归一，变量为数量、天数，解题逻辑完全一致。 【详解】单只单日吃草：80÷5÷4=4（千克）；总量：4×8×7=224（千克） 【答案】224千克 【典型例题4】基础归总问题（总量不变） 题目：工厂加工一批零件，每人每天加工20个，15人12天可以完成。如果改为20人加工，需要多少天完成？ 【分析】归总核心：零件总数量不变。先通过原有条件求出零件总量，再用总量÷新人数÷单人日产量，求出新天数，注意人数变化不改变总任务。 【详解】零件总量：20×15×12=3600（个）；新天数：3600÷20÷20=9（天） 【答案】9天 【跟踪训练1】 题目：一堆货物，每辆车装12吨，需要18辆车运完。如果每辆车多装6吨，需要多少辆车？ 【分析】货物总量恒定，先求总吨数，再求新单车装载量，最后求车辆数。 【详解】货物总量：12×18=216（吨）；新车载量：12+6=18（吨）；车辆数：216÷18=12（辆） 【答案】12辆 【跟踪训练2】 题目：学生排练队列，每行站18人，一共站20行。如果每行少站3人，可以站多少行？ 【分析】总人数不变，典型队列归总问题，校内期末必考题型。 【详解】总人数：18×20=360（人）；新每行人数：18-3=15（人）；行数：360÷15=24（行） 【答案】24行 【典型例题5】归一归总混合压轴题（择校真题） 题目：6名工人8天加工零件960个，现增加2名工人，工期缩短2天，一共可以加工多少个零件？ 【分析】混合题型，先归一求单人单日效率，再归总结合变化后的人数、天数计算新总量。易错点：容易忽略工期缩短2天，直接用原天数计算。 【详解】单人单日效率：960÷6÷8=20（个）；现人数：6+2=8（人）；现天数：8-2=6（天）；新总量：20×8×6=960（个） 【答案】960个 【跟踪训练1】 题目：4台机器5小时生产产品400件，减少1台机器，增加2小时，可生产多少件？ 【分析】机器、工时双向变化，先归一、后归总，双重变量混合计算。 【详解】单台每小时：400÷4÷5=20（件）；现机器：3台；现工时：7小时；总量：20×3×7=420（件） 【答案】420件 【跟踪训练2】 题目：5人3天收割稻田75亩，增加5人，时间减半，可收割多少亩？ 【分析】人数翻倍、时间减半，混合变量，严格按照归一流程计算，不凭直觉估算。 【详解】单人单日：75÷5÷3=5（亩）；现人数10人，现天数1.5天；总量：5×10×1.5=75（亩） 【答案】75亩 巩固练习 一、基础巩固10道（课内同步培优，适合课后巩固） 1. 3箱橘子重45千克，7箱橘子重多少千克？ 【分析】简单正归一，先求单箱重量，再求7箱总量 【详解】45÷3=15（千克），15×7=105（千克） 【答案】105千克 2. 2支圆珠笔14元，49元可以买几支同款圆珠笔？ 【分析】简单反归一，先求单价，再反求数量 【详解】14÷2=7（元），49÷7=7（支） 【答案】7支 3. 一辆货车3次运货36吨，运84吨货物需要运多少次？ 【分析】反归一，先求单次运货量，再求次数 【详解】36÷3=12（吨），84÷12=7（次） 【答案】7次 4. 一本书每页排24行，每行25个字，一共排120页。如果每行改为30个字，每页还是24行，需要排多少页？ 【分析】归总问题，全书总字数不变 【详解】总字数：24×25×120=72000（个），新页数：72000÷24÷30=100（页） 【答案】100页 5. 4名同学2次搬运书本80本，1名同学1次搬运多少本？ 【分析】基础双归一，直接求最小单一量 【详解】80÷4÷2=10（本） 【答案】10本 6. 5分钟滴水25毫升，1小时滴水多少毫升？ 【分析】归一+单位换算，先统一分钟单位 【详解】1小时=60分钟，25÷5×60=300（毫升） 【答案】300毫升 7. 一批布料做上衣，每件用布3米，可做40件。如果做裤子每条用布2米，这批布料可做多少条裤子？ 【分析】布料总量不变，标准归总 【详解】布料总长：3×40=120（米），裤子数量：120÷2=60（条） 【答案】60条 8. 6千克黄豆可以榨油1.2千克，15千克黄豆可以榨油多少千克？ 【分析】农产品类正归一，单一量为每千克黄豆出油率 【详解】1.2÷6×15=3（千克） 【答案】3千克 9. 工人修路，每天修45米，20天修完。提前5天完工，每天需要修多少米？ 【分析】道路总长不变，归总变式，先求总长再求新日工作量 【详解】总长：45×20=900（米），新天数15天，900÷15=60（米） 【答案】60米 10. 3只猫3分钟抓3只老鼠，1只猫1分钟抓几只老鼠？ 【分析】趣味双归一，极易直觉出错，严格分步归一 【详解】3只猫1分钟抓1只，1只猫1分钟抓1/3只 【答案】1/3只 （二）能力拔高10道（小升初统考高频，易错集中） 11. 4名工人6天组装设备192台，7名工人9天可组装多少台？ 【分析】标准双归一拔高，双变量同步增大 【详解】单人单日：192÷4÷6=8（台），总量：8×7×9=504（台） 【答案】504台 12. 9辆货车4次运货288吨，12辆货车5次运货多少吨？ 【分析】车辆、次数双变量，双归一计算 【详解】单车单次：288÷9÷4=8（吨），总量：8×12×5=480（吨） 【答案】480吨 13. 食堂储备粮食，20人可吃30天，新增5人，这批粮食可以吃多少天？ 【分析】归总隐含不变量：粮食总量固定，人均食量不变 【详解】粮食总量：20×30=600份，现人数25人，600÷25=24（天） 【答案】24天 14. 5台收割机3小时收割麦田75亩，收割200亩需要4小时，需要几台收割机？ 【分析】双反归一，先求单台效率，再反求设备数量 【详解】单台每小时：75÷5÷3=5（亩），设备数：200÷4÷5=10（台） 【答案】10台 15. 一批零件，原计划12人18天完成，工作6天后，增加6人，剩余零件还需几天完成？ 【分析】分段归总，先算剩余工作量，再算新人数工期 【详解】总工作量：12×18=216份，已完成：12×6=72份，剩余144份，新人数18人，144÷18=8（天） 【答案】8天 16. 3个水龙头4小时放水96立方米，5个水龙头放水320立方米需要几小时？ 【分析】双反归一，先归一、再反求时间 【详解】单龙头每小时：96÷3÷4=8（立方米），时间：320÷5÷8=8（小时） 【答案】8小时 17. 用边长4分米的地砖铺地，需要225块。改用边长6分米的地砖，需要多少块？ 【分析】面积类归总，易错点：用边长直接计算，忽略面积平方 【详解】地面总面积：4×4×225=3600（平方分米），新地砖面积36平方分米，块数：3600÷36=100（块） 【答案】100块 18. 6名工人5天修路180米，现要10天修路420米，需要增加几名工人？ 【分析】归一+差值计算，先求所需总人数，再减原有人数 【详解】单人单日：180÷6÷5=6（米），所需人数：420÷10÷6=7（人），增加：7-6=1（人） 【答案】1人 19. 4辆汽车7次运货168吨，5辆汽车运240吨需要几次？ 【分析】车辆、次数双向反归一，小升初填空压轴 【详解】单车单次：168÷4÷7=6（吨），次数：240÷5÷6=8（次） 【答案】8次 20. 书本装订，3台机器8小时装订4800本，增加1台机器，缩短2小时，可装订多少本？ 【分析】归一归总混合，设备、工时同时变化 【详解】单台每小时：4800÷3÷8=200（本），新设备4台，新工时6小时，总量：200×4×6=4800（本） 【答案】4800本 （三）压轴拓展5道（择校分班真题，难度拔高） 21. 10人12天完成一项工程，工作4天后，撤走4人，剩余工期需要延长几天？ 【分析】工程类分段归总，先算剩余工期，对比原工期求差值 【详解】总工程量120份，已完成40份，剩余80份，现人数6人，剩余工期80÷6≈14天（向上取整），延长：14-8=6天 【答案】6天 22. 5头牛8天吃草200千克，现有草量900千克，12头牛可以吃几天？ 【分析】牲畜进食双归一，纯奥数拔高题型 【详解】单牛单日：200÷5÷8=5（千克），天数：900÷12÷5=15（天） 【答案】15天 23. 搬运货物，8人6小时搬运完毕，搬运2小时后，新增4人，提前几小时完工？ 【分析】动态人数变化归总，计算实际总工时，对比原工时 【详解】总工作量48份，2小时完成16份，剩余32份，12人需32÷12=8/3小时，实际总工时=2+8/3=14/3小时，提前6-14/3=4/3小时 【答案】4/3小时 24. 甲乙两个车间效率相同，甲车间5人7天产量210件，乙车间9人11天产量多少件？ 【分析】跨车间归一，利用效率相等直接套用单一量 【详解】单人单日：210÷5÷7=6（件），乙车间总量：6×9×11=594（件） 【答案】594件 25. 水池蓄水，3台进水泵5小时注满，5台进水泵同时开启，提前几小时注满？ 【分析】水池容积不变，隐含归总，总量为水池容量 【详解】单台每小时注水量1/15水池，5台每小时1/3水池，新工时3小时，提前5-3=2小时 【答案】2小时 学科网（北京）股份有限公司 $