小升初奥数培优应用题：最佳购买方案问题（讲义）2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：最佳购买方案问题 【知识点梳理】 “最佳购买方案”问题是小学数学中常见的优化类应用题，主要考察学生在多种约束条件下，通过比较、计算和逻辑推理，找出成本最低或收益最大的方案。这类问题通常涉及价格差异、优惠活动、数量限制等变量。 1. 核心解题思路 (1) 统一单位：将所有商品的价格转化为“单位价格”（如元/个、元/千克），以便直接比较性价比。 (2) 枚举与比较：当方案数量有限时，列出所有可能的购买组合，计算总费用，选取最小值。 (3) 优先原则：在混合购买场景中，通常优先购买单价更低或优惠力度更大的商品，直到满足需求或达到优惠门槛。 (4) 临界点分析：注意优惠活动的门槛（如“满100减20”、“买五送一”），计算刚好达到门槛和超过门槛少许的情况，避免为了凑单而多买导致总成本上升。 2. 常见题型分类 (1) 单一商品的不同包装/促销 1　 特点：同一种商品有大包装和小包装，或者有不同的促销活动（如打折、满减、买赠）。 2　 策略：计算每种包装或促销下的实际单价。若存在“买赠”，需将赠品价值分摊或计算实际获得数量的平均成本。 公式：实际单价 = 支付总金额 ÷ 实际获得商品总数 (2) 多种商品的组合购买 1　 特点：需要购买A、B两种或多种商品，不同商店对组合有不同优惠。 2　 策略：分别计算在各商店购买的总费用，或根据各商店的优势商品进行拆分购买（如果允许）。 (3) 分段计费与阶梯价格 1　 特点：购买数量不同，单价不同（如批发价、零售价）。 2　 策略：确定需求量落在哪个价格区间，或者计算是否值得多买一些以进入更低价的区间。 (4) 租车/租船/住宿等资源分配 1　 特点：虽然名为购买，但逻辑相通。要求在满足人数/容量前提下，空位最少且总租金最低。 2　 策略：优先租用“人均成本”最低的车型/房间，并尽量坐满/住满，减少空置浪费。 3. 解题步骤规范 (1) 审题：明确需求总量、可选方案、限制条件（如必须整包买、不可拆分等）。 (2) 算价：计算各方案的单位成本或总成本表达式。 (3) 列案：列举几种最可能的优选方案（通常是全买A、全买B、混合买）。 (4) 比对：计算各方案最终花费。 (5) 结论：选出最小值，并检查是否符合所有限制条件。 【培优练习】 基础巩固篇 1. 超市里牛奶有两种包装：大盒装250ml，售价3元；小盒装100ml，售价1.5元。小明需要买1000ml牛奶，怎样买最省钱？ 2. 某公园门票成人票20元，儿童票10元。团体票（10人及以上）每人15元。李老师带9名学生去公园，怎样买票最省钱？ 3. 笔记本每本5元，买5本送1本。班级需要买48本笔记本，最少需要花多少钱？ 4. 甲商店铅笔每支0.8元，乙商店铅笔每支1元，但乙商店实行“买10送2”。若需买60支铅笔，去哪家商店更划算？ 5. 某种饮料大瓶2升装10元，小瓶500毫升装3元。要买恰好5升饮料，最少花多少钱？ 进阶提升篇 6. 旅行社推出两种购票方案：A方案：大人全价200元，小孩半价；B方案：团体5人以上（含5人）每位160元。现有4位大人和3位小孩，选哪种方案省钱？ 7. 某书店图书定价相同，甲店打八折，乙店“满100减25”。小明要买标价总额为300元的书，去哪家店便宜？ 8. 租车问题：大车限乘40人，租金800元；小车限乘25人，租金550元。全校175人去春游，怎样租车最省钱？ 9. 某商场袜子“买四送一”，每双5元。妈妈想买12双袜子，最少花多少钱？ 10. 同样的袜子，如果商场改为“满50元打八折”，买12双怎么买便宜？ 11. 照相馆冲洗照片，前10张每张1元，超过10张的部分每张0.5元。全班45人每人一张，共需多少元？ 12. 某市出租车起步价10元（3千米以内），超过3千米每千米2元（不足1千米按1千米算）。小红家离学校8.2千米，打车需多少钱？ 13. 两个游泳馆，A馆每次30元，办年卡300元后每次10元；B馆每次25元，无年卡。一年游多少次时，两家费用一样？ 高阶思维篇 14. 某品牌牙膏大号120克10元，小号60克6元。现有一家超市促销：买2支大号送1支小号。若要买至少600克牙膏，最少花多少钱？ 15. 某果园苹果采摘，入园费20元，园内苹果每千克5元，每人限摘5千克。另一果园无入园费，苹果每千克8元，不限量的。一家三口要去摘12千克苹果，去哪个果园划算？ 16. 某手机套餐，A套餐：月租20元，通话0.2元/分钟；B套餐：月租0元，通话0.4元/分钟。每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？若每月通话150分钟，选哪种？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：最佳购买方案问题 【知识点梳理】 “最佳购买方案”问题是小学数学中常见的优化类应用题，主要考察学生在多种约束条件下，通过比较、计算和逻辑推理，找出成本最低或收益最大的方案。这类问题通常涉及价格差异、优惠活动、数量限制等变量。 1. 核心解题思路 (1) 统一单位：将所有商品的价格转化为“单位价格”（如元/个、元/千克），以便直接比较性价比。 (2) 枚举与比较：当方案数量有限时，列出所有可能的购买组合，计算总费用，选取最小值。 (3) 优先原则：在混合购买场景中，通常优先购买单价更低或优惠力度更大的商品，直到满足需求或达到优惠门槛。 (4) 临界点分析：注意优惠活动的门槛（如“满100减20”、“买五送一”），计算刚好达到门槛和超过门槛少许的情况，避免为了凑单而多买导致总成本上升。 2. 常见题型分类 (1) 单一商品的不同包装/促销 1　 特点：同一种商品有大包装和小包装，或者有不同的促销活动（如打折、满减、买赠）。 2　 策略：计算每种包装或促销下的实际单价。若存在“买赠”，需将赠品价值分摊或计算实际获得数量的平均成本。 公式：实际单价 = 支付总金额 ÷ 实际获得商品总数 (2) 多种商品的组合购买 1　 特点：需要购买A、B两种或多种商品，不同商店对组合有不同优惠。 2　 策略：分别计算在各商店购买的总费用，或根据各商店的优势商品进行拆分购买（如果允许）。 (3) 分段计费与阶梯价格 1　 特点：购买数量不同，单价不同（如批发价、零售价）。 2　 策略：确定需求量落在哪个价格区间，或者计算是否值得多买一些以进入更低价的区间。 (4) 租车/租船/住宿等资源分配 1　 特点：虽然名为购买，但逻辑相通。要求在满足人数/容量前提下，空位最少且总租金最低。 2　 策略：优先租用“人均成本”最低的车型/房间，并尽量坐满/住满，减少空置浪费。 3. 解题步骤规范 (1) 审题：明确需求总量、可选方案、限制条件（如必须整包买、不可拆分等）。 (2) 算价：计算各方案的单位成本或总成本表达式。 (3) 列案：列举几种最可能的优选方案（通常是全买A、全买B、混合买）。 (4) 比对：计算各方案最终花费。 (5) 结论：选出最小值，并检查是否符合所有限制条件。 【培优练习】 基础巩固篇 1. 超市里牛奶有两种包装：大盒装250ml，售价3元；小盒装100ml，售价1.5元。小明需要买1000ml牛奶，怎样买最省钱？ 【详解】 方案一：全买大盒。1000 ÷ 250 = 4盒。费用：4 × 3 = 12元。 方案二：全买小盒。1000 ÷ 100 = 10盒。费用：10 × 1.5 = 15元。 方案三：混合买。例如3大盒（750ml）+ 3小盒（300ml）= 1050ml > 1000ml。费用：3×3 + 3×1.5 = 9 + 4.5 = 13.5元。 比较可知，全买大盒且正好满足数量时最便宜。 【答案】买4盒大盒装最省钱，共12元。 2. 某公园门票成人票20元，儿童票10元。团体票（10人及以上）每人15元。李老师带9名学生去公园，怎样买票最省钱？ 【详解】 方案一：分开买。1张成人票 + 9张儿童票。费用：20 + 9×10 = 110元。 方案二：买团体票。共1+9=10人，满足团体票条件。费用：10 × 15 = 150元。 110 < 150，所以分开买更省钱。 【答案】分开买票最省钱，共110元。 3. 笔记本每本5元，买5本送1本。班级需要买48本笔记本，最少需要花多少钱？ 【详解】 “买5送1”相当于花5本的钱得到6本。 每组成本：5 × 5 = 25元，每组数量：6本。 48 ÷ 6 = 8组。 需要买8组，即实际付款购买 8 × 5 = 40本。 总费用：40 × 5 = 200元。 【答案】最少需要花200元。 4. 甲商店铅笔每支0.8元，乙商店铅笔每支1元，但乙商店实行“买10送2”。若需买60支铅笔，去哪家商店更划算？ 【详解】 甲商店费用：60 × 0.8 = 48元。 乙商店：“买10送2”即付10支钱得12支。 60 ÷ 12 = 5组。 需付款支数：5 × 10 = 50支。 乙商店费用：50 × 1 = 50元。 48 < 50，甲商店更便宜。 【答案】去甲商店更划算。 5. 某种饮料大瓶2升装10元，小瓶500毫升装3元。要买恰好5升饮料，最少花多少钱？ 【详解】 5升 = 5000毫升。 大瓶单价：10 ÷ 2000 = 0.005元/毫升。 小瓶单价：3 ÷ 500 = 0.006元/毫升。 大瓶更便宜，应尽可能多买大瓶。 5000 ÷ 2000 = 2瓶……1000毫升。 剩余1000毫升需买小瓶：1000 ÷ 500 = 2瓶。 方案：2大瓶 + 2小瓶。 费用：2×10 + 2×3 = 20 + 6 = 26元。 若买3大瓶（6升），费用30元，虽满足量但浪费且贵。 【答案】最少花26元。 进阶提升篇 6. 旅行社推出两种购票方案：A方案：大人全价200元，小孩半价；B方案：团体5人以上（含5人）每位160元。现有4位大人和3位小孩，选哪种方案省钱？ 【详解】 总人数：4+3=7人。 A方案费用：4×200 + 3×(200÷2) = 800 + 300 = 1100元。 B方案费用：7×160 = 1120元。 1100 < 1120。 【答案】选A方案省钱。 7. 某书店图书定价相同，甲店打八折，乙店“满100减25”。小明要买标价总额为300元的书，去哪家店便宜？ 【详解】 甲店：300 × 80% = 240元。 乙店：300元里有3个100，可减 3×25 = 75元。 实付：300 - 75 = 225元。 225 < 240。 【答案】去乙店便宜。 8. 租车问题：大车限乘40人，租金800元；小车限乘25人，租金550元。全校175人去春游，怎样租车最省钱？ 【详解】 大车人均：800÷40=20元/人。 小车人均：550÷25=22元/人。 优先租大车。 175 ÷ 40 = 4辆……15人。 方案一：4大车 + 1小车。 费用：4×800 + 1×550 = 3200 + 550 = 3750元。 空位：小车坐15人，空10位。 方案二：尝试减少大车，增加小车，看能否更满载。 3大车：3×40=120人，剩55人。 55人需小车：55÷25=2辆……5人，需3辆小车。 费用：3×800 + 3×550 = 2400 + 1650 = 4050元。（更贵） 方案三：调整方案一的余数。 若租3大车，剩55人。55人刚好可以坐2辆小车（50人）还多5人，不行。 若租2大车，剩95人。95÷25=3辆...20人，需4辆小车。 费用：2×800 + 4×550 = 1600 + 2200 = 3800元。 对比：3750 < 3800 < 4050。 【答案】租4辆大车和1辆小车最省钱，共3750元。 9. 某商场袜子“买四送一”，每双5元。妈妈想买12双袜子，最少花多少钱？ 【详解】 “买四送一”即5双为一组，花费4×5=20元。 12 ÷ 5 = 2组……2双。 前10双花费：2 × 20 = 40元。 剩余2双按原价买：2 × 5 = 10元。 总费用：40 + 10 = 50元。 【答案】最少花50元。 10. 同样的袜子，如果商场改为“满50元打八折”，买12双怎么买便宜？ 【详解】 原价总额：12 × 5 = 60元。 因为60 > 50，可以享受八折。 折后价：60 × 0.8 = 48元。 对比上一题的50元，48 < 50。 【答案】利用满减折扣买，花48元更便宜。 11. 照相馆冲洗照片，前10张每张1元，超过10张的部分每张0.5元。全班45人每人一张，共需多少元？ 【详解】 前10张费用：10 × 1 = 10元。 剩余张数：45 - 10 = 35张。 剩余费用：35 × 0.5 = 17.5元。 总费用：10 + 17.5 = 27.5元。 【答案】共需27.5元。 12. 某市出租车起步价10元（3千米以内），超过3千米每千米2元（不足1千米按1千米算）。小红家离学校8.2千米，打车需多少钱？ 【详解】 里程计费：8.2千米按9千米计算（因为不足1千米按1千米算，8.2>8，故进位到9）。 超出部分：9 - 3 = 6千米。 超出费用：6 × 2 = 12元。 总费用：10 + 12 = 22元。 【答案】需22元。 13. 两个游泳馆，A馆每次30元，办年卡300元后每次10元；B馆每次25元，无年卡。一年游多少次时，两家费用一样？ 【详解】 设一年游x次。 A馆费用：300 + 10x B馆费用：25x 令 300 + 10x = 25x 15x = 300 x = 20 【答案】一年游20次时，两家费用一样。 高阶思维篇 14. 某品牌牙膏大号120克10元，小号60克6元。现有一家超市促销：买2支大号送1支小号。若要买至少600克牙膏，最少花多少钱？ 【详解】 目标：≥600克。 促销组合：2大+1小 = 2×120+60 = 300克。 费用：2×10 = 20元（小号免费）。 需要600克，即需要2个这样的组合。 总重量：300 × 2 = 600克。 总费用：20 × 2 = 40元。 若不参加促销，全买大号：600÷120=5支，5×10=50元。 全买小号：600÷60=10支，10×6=60元。 【答案】最少花40元。 15. 某果园苹果采摘，入园费20元，园内苹果每千克5元，每人限摘5千克。另一果园无入园费，苹果每千克8元，不限量的。一家三口要去摘12千克苹果，去哪个果园划算？ 【详解】 果园一： 每人限5千克，3人最多摘15千克，满足12千克需求。 费用：3人入园费 3×20 = 60元。 苹果费：12 × 5 = 60元。 总计：60 + 60 = 120元。 果园二： 费用：12 × 8 = 96元。 96 < 120。 【答案】去第二个果园划算。 16. 某手机套餐，A套餐：月租20元，通话0.2元/分钟；B套餐：月租0元，通话0.4元/分钟。每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？若每月通话150分钟，选哪种？ 【详解】 设通话x分钟。 20 + 0.2x = 0.4x 0.2x = 20 x = 100分钟。 当通话150分钟时： A套餐：20 + 0.2×150 = 20 + 30 = 50元。 B套餐：0.4×150 = 60元。 50 < 60。 【答案】100分钟时费用相同；150分钟时选A套餐。 学科网（北京）股份有限公司 $