第1章 丰富的图形世界（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 新教材北师大版九年级“丰富的图形世界”单元培优卷，通过10单选、6填空、9解答题（120分钟120分），覆盖立体图形识别、展开折叠、视图与体积计算等，强化空间观念与几何直观，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆柱抽象、展开图识别、视图判断|结合生活情境（如透明水杯水面形状），考查空间想象| |填空题|6/18|旋转体形成、柱体分类、正方体相对面|联系实际（硬币旋转成球），渗透几何直观| |解答题|9/72|棱柱计算、表面积体积、多面体欧拉公式|综合题（如长方体剪切粘贴、多面体探究），培养推理意识与创新应用|

第1章 丰富的图形世界·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，是某几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握常见几何体的展开图是解题的关键． 根据三棱柱展开图的情况分析即可解答． 【详解】解：由展开图可知：两个底面为三角形，侧面为三个长方形，即该几何体为三棱柱． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）李铭用如图所示的透明水杯（杯体为圆柱形）装了半杯水，他发现无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查认识平面图形，掌握圆柱体的截面形状是解题的关键． 根据圆柱体的截面图形，即可求解． 【详解】解：根据圆柱体的截面图形，可知 A、无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不可能为三角形，故选项A不可能出现，符合题目要求； B、当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形，故选项B可能出现，不符合题目要求； C、当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆，故选项C可能出现，不符合题目要求； D、当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆，故选项D可能出现，不符合题目要求． 故选：A． 4．如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从左面应该看到有3列，从左到右正方形的个数为2，1，1，即可解答． 【详解】解：选项A、C、D从左面看都可以看到有3列，且从左到右正方形的个数为2，1，1，故选项A、C、D不符合题意； 选项B从左面看只能看到2列，故B选项符合题意． 5．（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查棱柱的顶点数与侧棱数的关系，熟练掌握“棱柱顶点数底面边数，侧棱数=底面边数”是解题关键．先通过顶点数求出侧棱条数，再计算每条侧棱的长度． 【详解】解：由题意得，该棱柱的侧棱数为 ∴每条侧棱的长， 故选：C． 6．如图，下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的展开图有“141”型，“131”型，“132”型，“222”型，“33”型，且不能有“田”字和“凹”字，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项中的图形符合“141”型，是正方体的展开图， B选项中的图形不是正方体的展开图， C选项中的图形符合“141”型，是正方体的展开图， D选项中的图形符合“132”型，是正方体的展开图． 7．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是点、线、面、体，根据面动成体的特点进行逐一分析，能求出结果． 【详解】解：该平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是 故选：D 8．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，代数求值． 根据题意求出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得，最多需要的方块为，最少需要的方块为， ∴， 故选：B． 9．（2025七年级上·河北沧州·专题练习）如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题的关键． 根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案． 【详解】解：长方体的长为，宽为，高为1，则容积为． 故选C． 10．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级上·广东茂名·期中）“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去茂名森林公园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是________． 【答案】球 【分析】本题考查了常见几何体的特征，根据常见几何体的特征解答即可求解，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键． 【详解】解：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球， 故答案为：球． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）下面的几何体中，属于柱体的有_______． 【答案】①②③⑥ 【分析】本题考查的知识点是认识立体图形，解题的关键是熟练地掌握认识立体图形． 先要明确柱体的概念，然后根据图示进行解答． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：第①、②、③、⑥， 故答案为：①②③⑥． 13．如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面内都标注了汉字，则在原正方体中，与“真”字所在面相对面上的字是______． 【答案】静 【详解】解：根据正方体的表面展开图的相对面之间一定相隔一个正方形可得，与“真”字所在面相对面上的字是“静”． 14．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，则从正面看到的形状图___________发生变化．（填“会”或“不会”） 【答案】不会 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据挪动前后从正面看到的形状图即可得解． 【详解】解：将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，挪动前后从正面看到的形状图都是： ， ∴从正面看到的形状图不会发生变化． 故答案为：不会． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一个直棱柱，它有27条棱，其中一条侧棱长为10，底面各边长都为7． (1)这是几棱柱？它有多少个面？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)棱柱是九棱柱，这个九棱柱有11个面 (2) 【分析】本题考查直棱柱的定义、侧面积等知识，熟记直棱柱的空间结构特征是解决问题的关键． （1）对于直棱柱，上底面、侧面及下底面三部分的棱数均相同，从而由即可得到答案； （2）由（1）中的九棱柱有九个侧面，侧面面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：对于直棱柱，上底面、侧面及下底面三部分的棱数均相同，则由知，此棱柱是九棱柱， 这个九棱柱有11个面； （2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 18．（6分）我们知道，对于一些立体图形问题，常把它转化为平面图形来研究和处理，棱长为a的正方体摆成如图所示的形状，问： （1）这个几何体共有几个正方体？ （2）这个几何体的表面积是多少？ 【答案】（1）10个正方体；（2）36a2． 【分析】(1)先找出每一层中正方体的个数,然后相加即可; (2)由题可知上下左右前后露出的面都为6个正方形,故总共的表面为36个表面,由此得出表面积. 【详解】解：（1）上面一层有1个正方体，中间层有3个正方体，底层有6个正方体，共10个正方体； （2）根据以上分析该物体的表面积为6×6×a2=36a2． 【点睛】本题主要考查的是认识立体图形,几何体的表面积,判断出几何体表面正方形的个数是解题的关键. 19．（6分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图； (2)该几何体共有________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体， （1）根据从左面、上面看到的形状画图即可； （2）根据几何体求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据题意得，最底层有6个正方体，第二层有3个正方体，最上层有1个正方体， ∴ ∴该几何体共有10个小立方块． 20．（8分）将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【答案】(1) (2)三角形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查长方体的性质，长方体展开图的表面积以及长长方体的截面． （1）根据长方体的性质得对应面的面积相等解题即可． （2）用一个平面去截长方体，所得到的截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． 【详解】（1）解：由题意可知：E与C对应，B与D对应，A与F对应， 所以C、D两个面的面积之和是， A的面积的面积， 所以这个长方体的表面积为：． （2）三角形、长方形．（答案不唯一） 21．（8分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； 【答案】(1)圆柱体； (2)方式构造的圆柱的体积大． 【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体的体积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）长方形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵根据面动成体，长方形旋转一周得到圆柱体， ∴方式①、②得到的几何体都为圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：方式①的体积为：， 方式②的体积为：， ∵， ∴方式①构造的圆柱的体积大． 22．（9分）（24-25七年级上·全国·单元测试）一个长6厘米，宽4厘米，高9厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶． (1)制作这个牛奶盒至少需要多少平方厘米硬纸？（接头处忽略不计） (2)平平在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了（如图），洒出一些牛奶，也就是图中的空白部分．洒出多少毫升牛奶？ (3)如图中牛奶与盒子的接触部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)228平方厘米 (2)36毫升 (3)174平方厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积＝2（长×宽＋长×高＋宽×高），计算即可； （2）洒出牛奶的体积＝直角边长为6和3的直角三角形的面积×高4cm； （3）牛奶与盒子的接触部分的面积＝前后2个直角梯形的面积＋左面的边长为，的长方形的面积＋下面的边长为和的长方形的面积＋右面的边长为和的长方形的面积． 【详解】（1）解： （平方厘米）． 答：制作这个牛奶盒至少需要228平方厘米硬纸； （2） （立方厘米） （毫升）． 答：洒出36毫升牛奶； （3）∵牛奶与盒子的接触部分的面积＝前后2个直角梯形的面积＋左面的边长为，的长方形的面积＋下面的边长为和的长方形的面积＋右面的边长为和的长方形的面积， ∴牛奶与盒子的接触部分的面积 （平方厘米）． 答：牛奶与盒子的接触部分的面积是174平方厘米． 23．（9分）（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 24．（10分）（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 25．（10分）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了 条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有 种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8；（2）4；（3）这个纸盒的体积为． 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形得出剪开棱的条数， （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （3）设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】解（1）小明共剪了8条棱， 故答案为：8． （2）如图，四种情况． 故答案为：4； （3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为，则长与宽相等为， ∵长方体纸盒所有棱长的和是， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为． 答：这个纸盒的体积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 丰富的图形世界·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，是某几何体的表面展开图，则该几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）李铭用如图所示的透明水杯（杯体为圆柱形）装了半杯水，他发现无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，这是某个几何体从左面看到的形状图，则这个几何体不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025七年级上·河北沧州·专题练习）如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 10．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级上·广东茂名·期中）“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去茂名森林公园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是________． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）下面的几何体中，属于柱体的有_______． 13．如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面内都标注了汉字，则在原正方体中，与“真”字所在面相对面上的字是______． 14．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，将①号小正方体挪到②号小正方体的前方，则从正面看到的形状图___________发生变化．（填“会”或“不会”） 15．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是______（结果保留）． 16．（25-26七年级上·海南·开学考试）工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有______个，2个面涂色的有______个． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一个直棱柱，它有27条棱，其中一条侧棱长为10，底面各边长都为7． (1)这是几棱柱？它有多少个面？ (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 18．（6分）我们知道，对于一些立体图形问题，常把它转化为平面图形来研究和处理，棱长为a的正方体摆成如图所示的形状，问： （1）这个几何体共有几个正方体？ （2）这个几何体的表面积是多少？ 19．（6分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图； (2)该几何体共有________个小立方块． 20．（8分）将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 21．（8分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； 22．（9分）（24-25七年级上·全国·单元测试）一个长6厘米，宽4厘米，高9厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶． (1)制作这个牛奶盒至少需要多少平方厘米硬纸？（接头处忽略不计） (2)平平在准备喝牛奶时一不小心把盒子弄歪了（如图），洒出一些牛奶，也就是图中的空白部分．洒出多少毫升牛奶？ (3)如图中牛奶与盒子的接触部分的面积是多少平方厘米？ 23．（9分）（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 24．（10分）（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 25．（10分）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了 条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有 种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $