第11章不等式与不等式组 期末综合复习训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以不等式性质为核心，通过阶梯式题型构建“概念理解-解集运算-参数探究-实际建模”的完整方法体系，强化推理能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|1,15|不等式基本性质（加减乘除方向规则）|从具体运算到抽象性质推导| |解集与不等式组|3,11,16|数轴表示法、口诀法（同大取大等）|解集概念→不等式组解法→整数解分析| |含参问题|4,5,12,17|逆向求解法（已知解集反推参数）|不等式解法→参数对解集的影响| |实际应用|6,13,19,20|建模法（设未知数列不等式）|实际问题→数量关系→不等式模型| |新定义问题|14|概念迁移法（理解“同根不等式”定义）|新定义→解集交集→整数解判断|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第11章不等式与不等式组》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．若，则下列不等式中，不能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 7．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：______________． 9．不等式的所有非负整数解的和是____________． 10．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 11．不等式组的整数解为________． 12．若不等式组的解集是，则______． 13．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 14．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式_____的“同根不等式”（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，则的取值范围是_____． 三、解答题 15．按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 16．解不等式及不等式组： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组：． 17．已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 18．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围； (3)在（）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 19．为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知A种路灯的单价是40元/盏，B种路灯的单价是60元/盏，该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 20．某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 参考答案 1．B 【详解】解：A选项，∵不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，∴，A成立，不符合题意； B选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，得，∴不成立，B符合题意； C选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，C成立，不符合题意； D选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，得，再两边同时减，不等号方向不变，得，D成立，不符合题意． 2．C 【分析】根据第三象限内点的横、纵坐标都小于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：点位于第三象限， ， ， ． 3．C 【分析】先求出不等式组的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 4．B 【分析】由第一个不等式的解集确定，且，化简第二个不等式可得，结合可得． 【详解】解：， ∴， ∵解集为， ∴，且， ∴， ， ∴， 移项并合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 5．B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 6．A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 7．A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 8． 【分析】“不大于”是“”，根据题目列式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 9． 【详解】解： ， 不等式的所有非负整数解为、、， 则所有非负整数解的和是． 10． 【分析】先将方程变形，用含的代数式表示，再根据解的非负性列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， 解得， ∵为非负数，即， ∴， ∴， 解得． 11． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为． 12．1 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 13．18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 14． 是 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义判断即可得出结果； （2）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义得出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：（1）解不等式得， 解不等式得， 两个不等式有公共整数解， 故是的“同根不等式”． （2）解不等式得， 解不等式得， 不是的“同根不等式”， 两个不等式没有公共整数解， ， 解得． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． 16．(1)，数轴见解析 (2) 【详解】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 由①得， 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 17．(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 18．(1) (2) (3)或或 【分析】（）把两个方程相加可得 ，即得，解方程即可求解； （）用第二个方程减去第一个方程可得 ，即得 ，再解不等式即可求解； （）由不等式可得 ，进而根据解集得到 ，求出的解集再结合（）得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②，得， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， ②①，得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴不等式的解集为， ∴， 解得， 又由（）得，， ∴， ∴的整数值为或或． 19．最多可以购买盏B种路灯 【分析】设可以购买盏B种路灯，则可以购买盏A种路灯，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：设可以购买盏B种路灯，则可以购买盏A种路灯， 由题意可得：， 解得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为， ∴最多可以购买盏B种路灯． 20．(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 学科网（北京）股份有限公司 $